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基于模糊数学形态学的生物图像分割
【摘要】
由于图像采集设备引起的误差，现实世界中的图像，诸如生物学图像可能会有较差的对比度，而且被噪声污染，以至于图像中的一些区域呈现出模糊的边缘，这就使得图像中的区域分割相当困难。模糊数学形态学方法可以成功的应用于具有模糊和不精确等特性的的生物学图像分割。本文介绍了一种基于模糊数学形态学分割人类卵母细胞图像的方法，将卵母细胞区域从整个图片中提取出来。这个方法利用模糊形态学算子来检测卵母细胞图像的模糊边缘，然后利用形态学重构算子分离出卵母细胞区域。本文大致介绍了模糊数学形态学方法的主要概念，在低对比度的人类卵母细胞图像中给出了应用模糊形态学算子的结果。
关键词： 生物学图像；图像分割； 模糊边缘检测； 模糊形态学
1 介绍
处理现实世界中的数字图像有一个主要的问题，那就是数字图像可能有较低的对比度，而且由于噪声而变得模糊或者恶化。在过去几年中，模糊技术已经被引进到图像处理的很多领域，用来处理具有模糊性和歧义性的图像数据【1,14,15】。模糊数学形态学是一个例子，对于利用模糊技术的灰度图像来说，模糊数学形态学是一种二值形态学的延伸【2,4,6,7】。模糊集理论在被用于由于被分割的结构之间软限制的存在而导致的不准确的图像的时候表现出了很强的优势。在被应用到低对比度或者含有噪声的图像时，模糊集理论给出了很好的结果，而其他最标准的图像处理技术却不能给出好的结果。
本文面对的主要问题就是将卵母细胞区域与图像中的其他成分（背景，注射微针等等）分开，从而促进卵母细胞区域中重要区域，诸如细胞质和透明带的提取。这个过程是分析卵母细胞成熟时至关重要的一步，可能会直接影响到卵胞浆内单精子注射技术（ICSI）【11,21】的成功率。目前有很多公认的用来评价卵母细胞的质量（作为成熟度的指标）的参数：卵母细胞的细胞质的直径，间隔尺寸（不管是在中心还是边缘，均匀的或者非均匀），细胞质颗粒和液泡的存在和尺寸，透明带的厚度，第一极体的直径（或者是最终的分裂），关于第一极体的卵黄周隙的容积，纺锤体双折射和细胞外的先天性畸形【5,18】。所以，能否将卵母细胞从图像中分离出来作进一步处理的过程对于这个医疗应用领域有着至关重要的意义。
卵母细胞区域提取的问题也被叫做利用形态学重建算子来移除触碰到其他物体的边界的问题。确实，与卵母细胞相连接的区域与后续的图像分析毫不相关。更重要的是，一张图片里面可能会出现不止一个卵母细胞。所以细胞分割的过程一定要能够准确的将图像中不同的卵母细胞区域分隔开来以便于进一步的分析。
本文提出了使用模糊形态学算子进行边缘检测，来作为图像分割的第一步。上面提到的方法是基于一种原始的模糊边缘检测和二值化图像的分割。然后，为了提高分割的效果，形态学重建算子被用于二值图像。换句话说，本文的工作就是为了将卵母细胞的形状从整幅图像中提取出来。我们的方案包含两个主要的步骤：模糊形态学梯度方法应用于灰度图像来提取模糊边缘，形态学重建算子提取卵母细胞区域。但是，为了给出理想的结果，需要给出边缘检测之后的二值化图像。
本文的内容安排如下。在第二部分，介绍了模糊数学形态学的基本概念。第三部分，叙述模糊形态学处理图像的过程。第四部分，介绍提出的方法的主要步骤。第五部分，基于一系列卵母细胞图像给出实验结果。最后，在第六部分给出一些结论。
2 模糊数学形态学
形态学是一个用于分析空间结构的数学框架。它以几何学、代数学、拓扑学和集合理论为基础。隐藏在数学形态学方法背后的主要思想是通过在同一幅图像中不同的部分堆叠小的结构（称作结构元素）来评定图像的几何结构。最开始的时候，数学形态学被发展用于处理二值图像，而且使用了集合理论和几何学中的一些基本概念，比如集合包含，交集，并集，互补和平移。这就产生了一系列的工具，叫做形态学算子，非常适用于二值图像中形状和结构的分析。二值形态学的基本算子在附录中给出。一个更为完善的数学形态学理论可以在【10,17】中找到。
当处理灰度图像时，布尔逻辑运算不再适用，所以很有必要延伸二值形态学算子从而可以适用于灰度图像。为了达到这个目的，提出了很多不同的方法。最重要的方法有Umbra方法，阈值设置法和完整晶格法。一个与集合理论相关的更为深入的研究是模糊逻辑方法，这个方法利用模糊逻辑和模糊集合理论中的概念来设计形态学算子。
模糊数学形态学【4,6】是一个使用基于模糊集合理论【22】的算子的二值形态学的一般化。在经典的或者最新的集合理论体系中，集合的边界都是准确的，所以关系也是唯一确定的。一个对象只会属于或者不属于一个集合。然而，在现实世界中的案例中，大多数的集合和命题都不能准确的描绘。相应的，模糊集合理论能够代表不准确的概念。一个模糊集合A是这样定义的，对于一个相关的全集X，任何一个元素xisin;X，都有一个值A(x)isin;[0.0，1.0]来描述x在A中的关系度。利用模糊集合在形态学中的概念，我们可以从信号层面到最高的决策层面诸如灰度模糊和几何模糊来表示不准确性和不确定性。被用来构造模糊形态学算子的模糊算子是与和蕴含算子。基本的想法是利用在膨胀的腐蚀的定义中相互关联的模糊与和蕴含算子。
2.1 算子
模糊算子是通过拓展逻辑算子而得到的。举个例子，从布尔集合{0,1}times;{0,1}拓展到矩形[0,1]times;[0,1]的算子。考虑到模糊结合C和模糊蕴含I，许多形式都被提出过。在接下来的部分我们叙述参考文献【8】中给出的方式。
定义1：A映射到C：[0,1]times;[0,1]→[0,1]如果两个输入都在增加而且，
C(0,0)=C(1,0)=C(0,1)=0 且 C(1,1)=1. (1)
则称为一个模糊结合。
A映射到I：[0,1]times;[0,1]→[0,1]，如果第一个输入在减少，第二个输入增加，而且满足如下关系：
I(0,0)=I(0,1)=I(1,1)=1 且 I(1,0)=0. (2)
则可称为一个模糊蕴含。
定义2：当C(x,z)le;y harr; zle;I(x,y), x,y,zisin;[0,1]， (3)
蕴含I和结合C在[0,1]是共轭的。
所以当对于每一个xisin;[0,1]，(I(x,∙),C(x,∙))在[0,1]形成一对共轭，则I和C是共轭的。自然地，我们可以说(I,C)对是一个共轭对。这就意味着在[0,1]，I(x,∙)是一个腐蚀，而C(x,∙)是膨胀。
连接和共轭的蕴含的例子如下所示：
Lukasiewicz：
C(x,z)=0(x z-1)=sup(0,x z-1) (4)
I(x,y)=1(y-x 1)=inf(1,y-x 1) (5)
Kleene-Dienes：
(6)
I(x,y)=sup(1-x,y) (7)
Reichenbach
(8)
IR(x,y)=1-x x∙y (9)
使用延伸过的算子结合和蕴含，二值膨胀和二值腐蚀的定义可以按照如下方式定义。我们利用集合U作为模糊集合来模拟灰度图像。为了定义模糊形态学算子，我们需要模糊化在附录中给出的定义中关于集合包含和集合交集的概念。
令A,Bisin;P(U)，为U的两个子集，然后包含定义为，
I是经典的二值蕴含，上述的集合包含关系在P(U)可以被延伸到所有模糊集合的母集F(U)。给定F,Gisin;F(U)，我们定义|| GF||为作为模糊集合G包含于模糊集合F的程度（从0到1）。
(13)
其中，I是给定的模糊蕴含。
类似的，令A,Bisin;P(U)，则：
其中，C是经典的二值连接C(a,b)=ab，a,b0,1。
令F,GF(U)，我们使用来表示模糊集合G和模糊集合F的相交的程度。
其中C是一个给定的模糊连接。
模糊关系式（13）和（16）可以用来扩展二值膨胀和腐蚀（在附录中有定义）为F(U)。为了这样做，我们令G扮演一个模糊结构元素的角色。一个模糊化的图像F在点xU被结构元素G的腐蚀，等于：
其中Gx是G关于x的缩写，比如，。
类似的，膨胀定义为：
其中，。
3 用于图像处理的模糊形态学
令A为灰度图像，B为灰度结构元素，都用函数表示。而且使用集合来表示二值图像是很方便的， 在灰度图像中，我们可以使用模糊集合在表示它们。A和B集合中的值是用[0,1]来映射的，为了用模糊集合来表示他们【9】。事实上，一幅图像的灰度可以合适的缩放到区间[0,1]之间，我们可以是用在表达亮度属性的高值像素集合的关系程度来表示一个像素的灰度。因此，一个灰度图像可以使用一个模糊集合来模拟【13】。当然，关系函数的定义（也称作模糊化）取决于想在图像上做的预处理。如果没有必要进行预处理，可以使用只标准化一次的N函数，这是一个使图像强度值归一化到区间[0,1]之间的函数。在图像处理中使用到的其他模糊化方法是著名的单-sigmoid S函数和双-sigmoid对称pi;函数。总的来说，pi;函数是当S函数允许提高强度带宽时用来选择强度宽带。它们两者符合对比增强器。
一旦A和B都被模糊化处理之后，我们可以在模糊集合的框架之中应用形态学算子。令C为一个模糊连接算子，I为模糊蕴含算子。A和B的模糊膨胀和模糊腐蚀是作用于灰度图像的：
模糊关和模糊开在二值情况下是如下定义的：
其中，模糊化的结构元素B的映射是这样定义的： 。
结合上述的C和tau;在（19）和（20）中的定义，我们可以得到不同形式的模糊膨胀/腐蚀，叫做Kleene-Dienes算子，Reichenbach算子和Lukasiewicz算子，如表1所示。
表一 不同种类的模糊膨胀和腐蚀算子
3.1 梯度算子
膨胀和腐蚀可以相结合用于图像分割，来获得其他算子比如梯度算子。特别需要注意的是，形态学梯度，也叫作Beucher梯度【2】，是膨胀和腐蚀之间的差异，膨胀和原始图像之间或者是原始图像和腐蚀图像之间的差异。形态学梯度算子的应用增强了像素亮度在一个给定的邻域之内的变化。所以梯度算子经常用于边缘检测和图像分割。
模糊形态学梯度算子的定义和形态学梯度定义类似，但是需要使用模糊膨胀和模糊腐蚀。
这提供了一个合适的方法，可以起源并代表直觉的模糊边缘的概念。本文中，我们使用了最新的模糊形态学梯度算子的概念来提取卵母细胞的模糊边缘，具体可见下一部分。
4 提出的方案
给定一张卵母细胞的显微图像，我们的目标是从图像中移除不需要的部分来孤立我们感兴趣的部分，就如卵母细胞和它的细胞质。每一幅原图像都显示了一个卵母细胞的主要部分：除了细胞质，还有许多其他部分诸如极体，透明带和其他围绕在细胞质附近的部分。其他出现在许多图像中的元素但却不是我们感兴趣的部分是载体和注射微针（如图一所示）。
图1 一个样本卵母细胞图像和直方图
由于卵母细胞的一些重要的特征与它的细胞质相关联，所以十分有必要进行图像分割处理，从而孤立卵母细胞，与周围的环境相互隔离。值得注意的是，图一中的例子表明图像在背景与卵母细胞的细胞膜之间表现出了很低的对比度，如图1中的直方图所示。这就使得卵母细胞的边缘检测更为困难。
为了将卵母细胞从整幅图像中提取出来，我们提出了一个方案，主要由两部分组成，基于模糊形态学梯度算子的边缘检测和形态学重建过程。值得注意的是，为了简化形态学重建的步骤，边缘检测的图像是二值化的。由于模糊形态学梯度算子的结果是一个模糊集合，我们使用了基于最小化模糊度非去模糊化方案的模糊阈值法【13】。
4.1 模糊边缘的检测
在进行模糊形态学梯度处理之前，图像必须要被模糊化。正如第三章中解释的，利用关系函数可以实现上述要求，这取决于我们想要运用到图像上的预处理。在我们的案例中，我们使用只有一次标准化的没有对比修正的N函数：
（26）
其中，a是图像的最大灰度值，b规定了灰度范围的带宽。如果没有要求进行预处理，使用将强度归一化到[0,1]的N函数是非常便利的。其他的经常用于图像分析的模糊化函数是单sigmoid S函数，用于提高高强度带宽。双sigmoid函数，用于选择强度带宽。使用这样的关系函数增强对比度是不方便的，因为这会放大不需要的噪声而使得边缘检测的处理更为困难。而且，卵母细胞通常都会在背景和细胞膜之间表现出较低的对比度（可参见图1），所以将关系函数用于平滑的操作是不便利的。因为这个原因，我们考虑使用简单的N函数。为了支持这个选择，我们做了一个关于N函数和S函数的比较，S函数如下所示：
（27）
图2 S函数的定义
其中，参数c的值表明了函数横坐标的反射点，参数gamma;控制了对比度（gamma;的值超过5会引起对比度的增强）。图2展示了S函数的定义。令
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