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1.简介
刀具相对于工件的定位误差，机床的体积误差，对加工零件的尺寸和几何误差都有着直接的影响。典型体积误差的来源是准静态误差（包括错误运动，轴对准误差，热机械误差，负载引起的误差），动态误差和控制误差。热误差是准静态误差中最主要的方面，它会导致机床形变，以及由于机床内部或外部热源引起的温度变化导致的扩张。在工业上主要采取两种方法来解决这个问题，即热误差减少法和补偿法。热误差减少法通常在设计阶段开始实施，它包括冷却系统，特殊材料，对称设计等方面，以及数控机床的FEM模拟。另一方面，补偿法需要测量热误差并对热误差进行建模处理，从而进行预测并通过直接集成CNC控制器进行实时校正，这些都是通过改变机械编码或者插入反馈循环系统来实现的。
国际上已经采用过多种方法对热诱导体积误差进行测量，包括不受限的激光，干涉仪，双球杆，接近传感器，接触位移传感器和触摸式触发探头。ISO 230-3国际标准[4]定义了三个测试来测量由于工具中心位置以及不同方向上环境温度变化，主轴操作以及轴线两端的直线操作产生的影响所产生的不同热效应。新的测试旋转轴热误差的方法会在最近的[5-7]中介绍。他们通过R测试装置[8]来测量沿着预编程的轨迹的热误差。一个相似的无接触的仪器，Capball，已经得到发展并用来估计数控机床的几何和动态错误[9,10]。跟踪干涉仪也被用来表征三轴铣床的体积热弹性能。
这篇文章采用Capball仪器的一个新的版本，适用于热效应测量，测量由于所有机床轴采用规模丰富的chase-the-ball方法[12]导致的机床热体积失真误差。第二节提供实验测试方法以及使用的软件。在第三节介绍热误差模型的建立方法。第四节提供并讨论最后的实验结果及讨论。
2.实验测试设计
2.1.测试顺序
这个测试在Mitsui-Seiki HU40-T五轴卧式机床上进行，该机床具有WCBXFZYST拓扑结构（Fig.1）
这个测试的步骤以下表格中总结出来。此测试通过一个校准周期开始，它指出Capball结构在机械结构中的位置和方向，紧接着开始一个交替序列，它由体积误差测量周期组成。（2.6节），再接着是一个机床轴的加热或者制冷循环（2.7节）。这个序列每15分钟循环一次，从而能够及时捕捉到机床的状态的变化。体积误差测量包括在一个单一的Capball中读数，以及在一个Chase-the-ball系统中，在两个球中进行读数从而实现参考比例尺。
2.2.坎贝尔结构
该结构用来测量相关工具和工件的距离，Capball可用来计算机床的体积失真误差。它是一个无接触的系统，原理类似于R测量装置[8]。相比于以前的仪器都是在内部开发，然后更新它的外部结构，当测量高速机器运动时这使其显得十分的僵硬，相比来说Capball V3是一个更先进的系统。
新的Capball版本设计用来进行长时间的持续测试。系统的框架和所有其他附件都是由Invar组成的，这是一种有着近零热膨胀系数合金钢并且由36%镍组成。热稳定材料的使用对于测量由于非夹具造成的工件形变的机械运动的影响十分重要。Capball的主体能够容纳三到五个电容位置传感器。传感器冗余能够减少噪声误差，也能够恢复测试数据以防传感器发生故障，这种情况在之前的测试过程中出现过，我们用的是一个没有冗余的Capball系统，结果由于一个传感器的故障导致一个星期的测试数据无效。假如系统没有冗余，当传感器提供错误的数据时，我们可能不会注意到一个故障的发生。该设计结构允许测量旋转轴的全过程，C轴全旋转角度为360度，而B轴是plusmn;90度。Capball传感器安装在机台上。这些电容传感器的线围绕着一个轴共线连接到C轴，形成一个电缆管理卷轴，因此在一个Capball与线之间可进行没有任何关联的plusmn;180度表旋转。一个相关球通过Invar夹持器安装在主轴上。球表面上每个电容传感器之间的平均测量距离是100次读数的距离，系统在预编程时采用1000赫兹采样频率。通过所有传感器之间的距离来决定主轴球在Capball框架中的位置，而这是通过最小二乘法球体算法来计算的。当所有测试都做完以后，最小二乘球算法计算的最大残差为2毫米。
2.3.坎贝尔框架校准
为了表示在机器框架中测量的体积误差，通过执行校准周期来找到用来表示C轴框架中的Capball框架的均匀变换矩阵。主轴球相对于Capball框架的位置据测量是3d网格（5*5*5）中的125点，覆盖立方体积名义是0.4*0.4*0.4mm3周围的一个体积。一个额外的未测量的位置会被加入每当任何一个轴改变它的位置，以便消除反弹效应。
2.4.参考比例尺
对于这个特殊的测试，一个参考比例尺习惯性在内部进行设计。这两个参考球的安装确定了在Capball系统中的可访问性。为了确保系统的热稳定性，主体部分是由Invar组成的。校准检验显示工件的热扩张系数大概是1.3mu;m/m°C，这是一个幅度小于正常钢材的大小。比例尺动态地安装在其支架上，从而允许支撑件扩展或者收缩但不影响比例尺的长度。三个球每一个都是被两个气缸支撑，并与三个永磁体保持合适的位置。
比例尺的测量允许识别机器的等距扩张。没有比例尺的话，当机器朝每个方向成比例的扩张时，那么可能不会被测量系统发现，因为工具的轨迹形状不会受到影响，从而工具和工件空间中点的相对位置保持不变。当加入了一个比例尺后，通过模拟和实验，我们会发现所有三线轴位移误差可以被预测。假如没有比例尺，仅仅只有各向异性误差可以被预测。
2.5.参考电容传感器
为了测量以及弥补Capball电容传感器的温度漂移，一个参考电容传感器被安装在接近Capball的位置。一个Invar框架提供参考传感器，用来测量一个精密球和安装在机械主轴上精密球的热不变距离。这个参考电容传感器在五天的持续测试时间内测出的一个最大变化是3.5um。这个误差和托盘的温度变化有关。这个误差的主要部分（2.5um）来自38mm长度的球和传感器的热误差，这由于它们不是由Invar材料构成的。
2.6.测量策略
坎贝尔装置被安装在机台上，在主轴上的人工制作的球允许主轴进行循环运动。因此一个加热程序包括主轴的旋转是可能的。比例尺被安装在主轴非旋转部分上。
测量策略以主轴的360度标准开始，B轴和C轴都是从0度开始，接着根据图6所示的策略进行索引，B轴和C轴分别从-90度到 90，从-180度到 180度。它们的轨迹是连续的，预编程时在索引点时停止大概0.3秒，从而能够得到轨迹点准确的位置。完成这个轨迹之后，就可以探测到这两个球的比例尺。这个方法的优点是测量时间短（3分钟），这是进行热测试的关键因素。
2.7加热程序
每个运动轴的加热程序需要花费12小时，每个轴都在它的限定位置内做连续不断地往复式运动。这个运动首先在第一个设定点开始运动四小时，接着在第二个设定点运行另外四个小时，最后停下来冷却四个小时。这个加热程序每15分钟暂停一次来执行体积误差测量周期。主轴的加热过程执行了超过28个小时，因为机器制造商要求的主轴预热程序必须得到重视。，从2000rpm到12000rpm，七个速度设定值会被执行，每一个设定值都要持续四小时，紧接着是对整个机器进行24小时的冷却。加热过程会在图7中显示，其中水平轴代表时间，但是以四小时为间隔来表示机器轴的运动。
平均功率也在图7中显示。主轴是迄今为止功率最大的发动机。为了克服重力的影响，垂直方向的Y轴需要连续施加扭矩以保持其位置，因为当通电的情况下，制动器会被释放。这反映在能耗测量上，假如Y轴保持不变，将会持续产生125W的能耗。当Y轴向下移动时，测量的能耗将下降到接近零。因此需要一个更高的扭矩使其向上移动。Y轴的功率曲线表明了功耗的平均值。因为主轴被设计成维持回转状态以避免球的回旋，因此主轴也需要持续的消耗能量（40W）。
现代机床的NC控制器通常足够提供驱动所需的能量。因此正常情况下不需要额外的传感器。在此次实验中，外部功率传感器安装在驱动输出上，因为控制器仅能够显示电流，但不能显示功率。功率与电机负载成线性关系，对于高负载和低负载有着相同的敏感性。
3.体积误差模型
机械工具的热诱导体积失真误差}EVT会被定义成球和Capball装置EV之间位置的变化，这可能是由于机器热条件改变造成的。这些热误差可以通过从所有后续测量值EV中减去初始测量值EV0观察到。这个实验消除初始机器准静态几何误差的影响，也可以消除主轴球安装误差。
Capball传感器组测量值展现了EV在Capball本机框架中的体积误差。为了使这些误差与机器框架实现框架对齐，对原始数据执行以下转换：
当R为时，b就是B轴的标称位置，当R为时，c就是C轴的标称位置
R=从Capball本机框架(O)到附加到Capball并与C轴框架对齐的参考框架(R)的旋转矩阵
Or=起始表示在框架（O）中框架（R）的坐标。
这个从框架（0）到框架（R）的转换是通过最小二乘法浊点拟合算法得到的，一个最小二乘法是通过找到转换矢量和取向角度不断迭代拟合得到的，以下将详细介绍。它利用坎贝尔框架校准周期中收集到的数据。
给定的微调方程的向量形式迭代形式是：
当向量i为：第i点的残差向量；
当向量D为：从框架（0）到参考框架（R）的解答；
当向量OMi为:点i在框架（O）中的坐标；
当向量R为：从（O）到（R）的小旋转矩阵；
Ei=0:错误向量必须是0（或者是最小化超定系统）；
以矩阵形式：
扭转t的解如以下形式所示：
X 是X的伪逆。最后可求出R和Or。
通过收敛算法后，剩余的误差会被显示为校准区域的所有点的载体。校准区域中心的误差规模小于1um。所有向量指向中心，它们的规模随着离中心的距离的增加而增加。当距离中心不超过100um时，残差的规模比4um还要小。残差的形状预测着那些可能来自传感器和目标球面线性或者非线性的传感器增益所产生的系统效应。我们没有做任何尝试利用这些数据来纠正这个效应，因为机器线性定位不能可靠的用作参考。
4.结果和讨论
每经过15分钟，在160种不同点下测量热诱导体积误差，从而完成机器的循环轨迹。在机器开始的预热阶段每隔四小时测量一次准静态几何误差分量，该误差被认为是与热误差无关，因此每次都从后续的测量值中减去。图10显示了主轴球不同方向的位移导致的体积误差读数。
测量轨迹周期160个点中的6个被挑出来进行更深入的研究，因为在这些点中发现了很大的误差。B轴和C轴的索引（b,c）在这些点中分别是（0，-90），（0,0），（0,90），（0,180），（-90,90），（90，-90）。图11显示了这个机器六个不同状态的X,Y,Z分量的误差。这六个点包括这160个点中热误差的最大值，还显示了线性和旋转轴的热体积误差的联合效应。这个误差是以时间为标准绘制的。但是，横轴显示加热或者制冷过程是以四个小时为单位的。数据点代表着体积误差在十五分钟内的变化。
通过分析这些热体积误差图，从这些机械工具的热行为可以推断出来更多的信息，虽然这些信息不是直接得到的关于机器连接错误和运动错误的结论。
由于机器沿X轴的几何对称，所以当B轴和C轴为0度时，沿X轴的热稳定性很明显。在不管机械运动的情况下，热误差EVTX比5um小。当B轴和C轴旋转远离0度打破系统平衡时，EVTX对于旋转轴的加热活动很敏感。当加热B轴时，EVTX达到最大值20um。
Y轴方向的热诱导体积失真误差是误差的最大组成部分。它的最大值达到35um。和EVTX类似，旋转B轴和C轴也是产生EVTY最主要的原因。dEVTY/dt的标志取决于加热活动在运动链的哪一侧产生。加热X轴，B轴，C轴将导致工件分支在Y方向的膨胀上升。Capball框架向上运动，结果导致EVTY的减少。当Z轴，Y轴和主轴是热源的时候，工具分支向上的Y方向形变是可见的。换句话说，主轴球相对于Capball框架向上移动时，EVTY在增长。结果，EVTY是工具和工件分支伸长率之间的区别，当不断加热的时候，它们尝试着中止对方的影响。我们应该同样注意到，无论B轴和C轴位置如何，EVTY变化都是真正存在的。对于所有160个轨迹点都可以看到相同的效果。
Z轴方向的热诱导体积失真误差EVTZ几乎完全与B轴和C轴的位置无关。当主轴以1200rpm运行的时候，最大误差幅度达到25um。当加热X轴的时候，EVTZ将增长，这说明工件分支具有向后的Z变形。当Z轴造成发热时，由于工件分支具有向前的Z变形，我们可以观测到相同的行为。加热B轴和C轴将导致工件分支向前的Z形变，因为这会减小EVTZ。EVTZ的变化在很小程度上取决于旋转C轴的位置。当B轴为0度，C轴为180度，Capball位于桌子的上方时，EVTZ的变化大于当Capball位于桌子的下方时。Y轴的运动将减小EVTZ，这由于工件分支向后的Z形变或者由于主轴的伸长，或者两种原因都有。
主轴的伸长导致EVTZ最大的下降。HU40-T主轴配备有一个油冷却系统和一个油冷却器，通过测量主轴温度来减小主轴的热变形。主轴的影响远小于B轴的影响，尽管主轴的功率是7倍于B轴的功率。然而仍然有一些热效应存在，正如
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