一种新型的计算椭圆球面波函数和小波的友好算法
摘要
近来，椭圆球面波函数，由于其卓越的性质及其带来的许多新的应用领域，引起了大量研究人员的兴趣。它可以被定义为微分算子的特征函数数或者积分算子的特征函数（正如斯莱皮恩在20世纪60年代所发现的）。计算它们的值有着多种多样的方式。其中的一种标准算法使用了基于勒让德多项式系的近似，但是这种方法仅仅在一个有限的区间内有效。另一种选择，在无穷远处仍然有效，则使用贝塞尔函数近似。在本文中我们提出一种基于矩阵算子（等同于积分算子）特征值问题的新方法。它的解可在整个实轴上给出值并且计算效率更高。
关键词：抽样定理，椭圆球面波函数
1简介
本文主要关注的是椭圆球面波函数的构建方法和与之相关的椭圆球面小波变换。前者在贝尔实验室的大卫德斯莱皮恩和他的同事的论文中有过介绍，他们将之介绍为对一种能量集中问题的解决方案。这一直被认为是斯特姆-刘维问题的解决方案，凭借这种算法，椭圆球面波函数的许多特性都能被得到。对小波变换的尺度函数的介绍便是基于对PSWF的研究。
这两套函数有很多有趣的，甚至是独特的，使它们成为理想的性质。其中的一些性质将在下一章节中介绍并且将会被用于将能量集中问题从积分相关转移到序列相关。这反过来是我们能根据离散的特征值问题来构建PSWF和ps的尺度函数。需要指出的是，这里的离散问题不是指通过标准的数值方式所产生的，而是单独针对本函数产生并且可以得出与连续积分函数相同的特征值。这些特征值有着惊人的阶跃函数性质：当时，它们接近1；而n较大时接近于0。
在斯莱皮恩、波拉克和兰道在20世纪60年代发现PSWF与能量集中函数的联系后，PSWF显示出其作为在信号处理和电信领域的重要工具的意义。但它们无法用标准的三角函数形式表示因而目前仍是个难题。它们很少用于实践的原因就在于此，并且PSWF函数的计算本身就是一个复杂的数学问题。大多数计算PSWF的标准算法都是在t取较小值使用勒让德多项式的展开而在t取较大值时使用贝塞尔函数展开。实际应用中，使用公布的表列值来构建PSWF常常更为方便，但这样做的影响就是将其值限制于表中的参数。尽管有些计算机程序可以计算PSWF，但大多数都不那么方便或者并没有经过完备的测试。我们的方法可以在maple中方便的编程，对所有的t适用，易于扩展到高维，并且不涉及积分。应当将这种计算方法广泛应用于教学和研究中。
2背景
椭圆球面波函数（PSWFs）{},在实轴上构建了一组带限函数的正交基底，也就是傅里叶变换在区间[-,]的函数。PSWF极大的集中于区间[-,]，因而在某种意义上可以由参数和来描述。以下是几种特征化方法：
由椭圆球面的赫尔莫兹等产生的微分算子的本征函数：
;
在区间[-,]上带限函数的最大能量集中：既是总能量1（=）即为： 的最大值。是与相正交的并且具有最大能量集中的函数。
以正弦函数为核心所产生的微分算子的本征函数：
这些惊人的巧合被斯莱皮恩称为“幸运的意外”，它使得人们可以同时使用微分算子和积分算子的性质来研究PSWFs的性质。除上面的式子外，在上在同样的核心下满足一个积分方程：
人们可能会认为PSWFs与他们的傅里叶变换联系紧密。确实，的傅里叶变换如下：
其中是的特征函数。利用以上的定义和公式找到函数在不同范围的联系。
利用以上的定义和公式可能找到这些函数在不同范围的联系。经过对积分等式（1）的范围的直接变换，我们发现对同一特征值问题，和都是它的解。既然每个特征值的解具有多重性，并且每一个解都是其他解的倍数，经过归一化后，我们得出：
由（4）我们又可以在相应区间特别是n=0时得到如下关系：
这其中的一些性质曾用来在n=0处定义椭圆球面小波变换，即大部分集中于区间的带限函数。这些函数都是完整的函数因此不能在任何区间失去定义，当足够大时它们可以在以外的小范围内视为均匀。因此在计算上它们能被当做具有严密支持的函数。在这个区间外的函数的总能量仅仅只有，这对于不大的值来说也是微小的。例如，当，，这个值大概是0.00006（详见表1）。
为了构建椭圆球面小波，首次引入了范围函数，其中是任意正数。在空间中，这个空间即为带限函数的帕利维纳空间，形成的里斯准则的整数转换也可以在同样的空间中组成一组正交基底，无论PSWFs的取值为多少。
这一空间后来成为了多分辨率分析（MRA）的嵌套子空间族的一部分。其他的空间则如往常一样获得了通过扩张的因素分析的两个并组成了帕利维纳空间。这一MRA已经被广泛的研究过了并且有着标准的范围函数，即上文提到的正弦函数。这个函数有着良好的频域定位性质但不太好的时域定位性质。这使得它作为小波的基底使用相对于多贝西小波（在时域性质良好）有了局限。然而，这种MRA的性质使它可以在空间中进行分析，在使用其他MRA时这一点是做不到的。尤其在重现中的函数的衍生和转化时和利用缩放函数逼近公式时。我们可得出下面的结果：
命题1：假设是PS的尺度函数，那么并且展开系数可如下给出：
用（）来表示转换算子，，则并且展开系数可如下给出：
因此，通过这些结果，在内的任何函数的衍生式和变换式都能找到它的尺度函数展开。
表1 的算子的5个最大特征值
3离散最大化
上文提到的极大值问题由带限函数的比率的最大化。
这些函数可以根据香农抽样定理表示为：
其中S(t)是正弦函数。这一函数序列{S(t-n)}同样也是的一组正交基底，因此它的展开系数满足。我们便能够将这个函数系列代入（6）中的积分中，在经过交换积分次序和累加处理后。
分子为：
分母为：
前者是有效的，因为收敛定理占主导地位，而后者是内积可表示为的的正交基底的一种帕西瓦尔均衡的结果。
现在用二维无限矩来表示：
因此（6）中的比值可表示为：
其中的f表示序列{f(n)}，内积则就是的内积。这个二维无限矩阵显然是真是且对称的。我们用相同的符号表示（产生于这个矩阵并且自伴）。它也必然是正数，因为（8）中分子的内积是：它也必然是正数，因为（8）中分子的内积是：
对非0的f 来说，它必须为正值，因为如果是不完整的函数，f在区间可能为0，这是不允许的。这个算子也是一个希尔伯特施密特算子，因为有许瓦尔兹不等式
因此
它遵循：
其中。
命题2：若是（7）中关于的算子，它是自共轭的、正值的、紧密的，它的特征值都是正值且满足。
关于特征值的结论满足所有的这类算子除了这一句描述：它们总是小于1的。但这也很容易直接显示出来。它们总是小于1的。但这也很容易直接显示出来。
现在我们来关注如何把（8）中的商最大化。这是优化中的标准问题并且可以通过找到算子的最大特征值和特征向量来解决。也就是找到序列和满足的（是这个比率的最大值并且的意义上）。
然后我们再考虑最初的最大值问题，并使用（8）中的结果来加以解决。事实上我们发现这个函数将等式（6）最大化为：事实上我们发现这个函数将等式（6）最大化为
只要当时，式（6）就达到最大值。函数就是椭圆球面小波变换的尺度函数同时也是第一个椭圆球面波函数。同时也是第一个椭圆球面波函数。
我们可以利用常见手段把这个结论扩展到的其他特征值和特征向量。令为的正交序列，因此（8）式为这类序列的最大化。令为和的正交序列，则（8）式为最大值，等等。那么正交向量序列是的正交基底。函数的序列如下给出：
上式相对于 的内积仍是正交的，原因是的变换与到的变换是等距的。事实上，构成了的一个正交基底（都经过了归一化且这个对应的核心是0序列）。（都经过了归一化且这个对应的核心是0序列）。
式子（6）的原始的最大化问题由这些函数解决。因此它们必须是在同样的理论下是这种问题的唯一的解的椭圆球面波函数。我们将这一结论总结在下文。
命题三：式（11）给出了椭圆球面波函数，其中是（7）中给出的上的离散算子的特征函数，同时特征值由得到。
可以观察到的是集合也构成了的正交基底，但与中的归一化方式不同，就是需要由特征值来归一化。就是需要由特征值来归一化。
4有限逼近
实际应用中任何矩阵和特征值的计算必定是基于有限逼近的。其中最自然的方法就是截断矩阵；我们将截断后的行和列的矩阵表示为：
我们对由组成、加入一些0构成的有限矩阵也可以这样表示。根据（9）和前面的不等式，我们可以得出对的一些约束：
假设。此外，若假设它们都被约束为的倍数，，则：
因此只有在时和之间才会出现最大的错误。如果同时参数p对任意满足：
那么它就直接服从于式（12），上述错误将会达到任意小。的特征值和特征向量就会被用来近似。上述错误将会达到任意小。特征值和特征向量就会被用来近似。
但不幸的是，随着的不断变大，这种离散的特征值--特征向量计算法就会失效。当集中参数增大直到4之前，都可以达到很好的效果。但对于更大的，特征向量就很难找到了。表1中的数据解释了这一现象的原因。表中包含对的值从0.5到6变化时，算子的5个最大的特征值（为获取这些值，式（10）中的序列被截断到N=15）。随着的变大，的值越来越接近1。这使得寻找我们所感兴趣的特征值的问题成为了一个不适定问题。由于有这么多的特征值接很近于1，就有许多的特征向量可以近似的解出方程。也可以更加高的精确度来绕过这一问题，但这样就不再是有好的算法了。
即使对于，在集中区间外的能量也是可以忽略的，在n的值很小时计算椭圆球面波函数最好的方法就是在此区间使用勒让德逼近，区间外为0。无论使用多少次，特别是在构建小波的时候，大多使用更小的集中区间同时接近于1。
与此相似的，当时，正弦函数中的会变得难以辨别。这也并不是一个坏消息，因为这个函数在区间也不具有很好的集中性，因此利用勒让德多项式来进行逼近也不能得到较好的结果。当的条件满足时，使用式（10）的优势就会比较明显。它除了可以用来直接估计椭圆球面函数，也能够使得椭圆球面波函数的微分和积分运算变的非常简单，原因是这些运算都是基于三角正弦函数及其整数变换的。利用可加性，上述所有都能应用于带限函数。利用可加性，上述所有都能应用于带限函数。
5正交
我们也可以利用椭圆球面波函数的其他性质来获得对一些问题的简单的解，这些问题只与式（8）中可以直接获得的这些函数的离散值有关。例如，带限函数的正交问题可以简化。我们可以使用椭圆球面波函数的离散正交性。我们可以使用椭圆球面波函数的离散正交性。
则对任意，椭圆球面波函数的展开为：
其系数可以表示为：
这使得我们能够得到一个只与椭圆球面波函数的整数值有关的简单的公式，针对于积分：
类似的，我们也可以在集中区间上找到这一积分的表达。它源自于以下推算：
但其中，最后一积分可以表示为：
因此我们可以得到一个与（13）类似的公式：
级数（14）可以被截断到n的取值小的范围，因为对于n的所有整数值都满足其中并且对，特征值都接近于0。这两种级数中，所有的值都可以由离散特征值问题计算得到。这两种级数中，所有的值都可以由离散特征值问题计算得到。
图1 由正弦函数得到的第一个椭圆球面波函数（实线），勒让德-贝塞尔逼近方式（点线）。
图2 由正弦函数得到的椭圆球面波函数（实线），勒让德-贝塞尔逼近方式（点线）。
图2 由正弦函数得到的第一个椭圆球面波函数（实线），勒让德-贝塞尔逼近方式（点线）。
图2 由正弦函数得到的第一个椭圆球面波函数（实线），勒让德-贝塞尔逼近
6例子
图1到图4包含了=1、1.5、2、3时，利用我们的算法算出的的图像。为了方便我们进行对比，每一个图像也都包含了由在集中区间上的勒让德多项式对同一函数得到的图像和在区间外部利用贝塞尔函数得到。在前三幅图中，可以看出两种方式的得到的图像十分的接近，而当=3时，可以看到基于勒让德-贝塞尔的图像在时的值要大于我们的方式所得的图像。这些失真在我们的基于正弦函数的方式得到的图像中完全的避免了。图5和图6则对于和的图像得出的结论是两种方式得到的图像十分的接近。为了方便我们进行对比，每一个图像也都包含了由在集中区间上的勒让德多项式对同一函数得到的图像和在区间外部利用贝塞尔函数得到。在前三幅图中，可以看出两种方式的得到的图像十分的接近，而当=3时，可以看到基于勒让德-贝塞尔的图像在时的值要大于我们的方式所得的图像。这些失真在我们的基于正弦函数的方式得到的图像中完全的避免了。图5和图6则对于和的图像得出的结论是两种方式得到的图像十分的接近。
为了方便我们进行对比，每一个图像也都包含了由在集中区间上的勒让德多项式对同一函数得到的图像和在区间外部利用贝塞尔得到。在前三幅图中，可以看出两种方式的得到的图像十分的接近，而当=3时，可以看到基于勒让德-贝塞尔的图像在时的值要大于我们的方式所得的图像。这些失真在我们的基于正弦函数的方式得到的图像中完全的避免了。图5和图6则对于和的图像得出的结论是两种方式得到的图像十分的接近。
图3 由正弦函数得到的椭圆球面波函数（实线），勒让德-贝塞尔逼近方式（点线）。
图4 由正弦函数得到的椭圆球面波函数（实线），勒让德-贝塞尔逼近方式（点线）。
图5 由正弦函数得到的椭圆球面波函数（实线），勒让德-贝塞尔逼近方式（点线）。
图6 由正弦函数得到的椭圆球面波函数（实线），
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