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模式识别快报 22 （2001）959-969
使用仿射变换改进霍夫变换收集过程
Eugenia Montiela，Alberto S. Aguadob，Mark S. Nixonc
a海军陆战队空陆情报系统，罗纳—阿尔卑斯，欧洲ZIRST-655大道，蒙特邦奥圣马尔坦38330，法国
b电子与电气工程系，萨里大学，吉尔福德镇，萨里GU2 7XH，英国
c电子和计算机科学，南安普敦大学，南安普敦SO17 1BJ，英国
收到2000年4月27;在修订后的形式收到于2001年1月 23
摘要
在本文中，我们表明了，当霍夫变换（HT）被用于在刚性变换下提取任意形状时，就会生成明显的错误证据。为了减少这种误证据的数量，我们考虑了两种类型的约束条件。 首先，我们通过考虑不变特征来定义约束。 其次，我们通过梯度方向信息来考虑定义约束。我们的研究结果表明，这些约束可以显着改善得到正确参数识别的收集策略。所给出的公式对于由仿射映射表示的任何刚性变换都是有效的。埃尔塞维尔出版有限公司copy;2001保留所有权利。
关键词：形状提取；Hough变换；外形歧视；对象识别；几何不变性；几何
限制；仿射
1.介绍
模型形状提取的问题可以被看成一个估计问题，其中确定方程的自由参数，从而使得它们定义一个对应于图像基元的曲线（Roth和Levine，1993）。霍夫变换（HT）是一种成熟的形状提取技术（Stockman和Agrwala，1977; Sklansky，1978; Illingworth和Kittler，1993; Leavers，1993）。该技术通过将图像点映射到自由曲线参数定义的空间中，从而来收集定义形状方程的潜在参数数据。在收集所有图像点的证据之后，形状由确定参数空间中的局部最大值（即局部峰值）定义。
HT首先被应用于提取直线，然后扩展到提取二次曲线，如圆和椭圆（Illingworth和Kittler，1993; Leavers，1993）。 在更广泛的定义中，HT通过改变检测曲线的方程（Sklansky，1978），可以推广到任意模型的提取。任意模型都可以通过将形状的方程与参数化变换相结合来定义（Aguado等人，1998）。因此，模型的参数实际上是表示图像中形状的不同外观的变换参数。
尽管近来有人对仿射变换和其它种类的变换（Aguado等，1997; Dufresne和Dhawan，1995; Lo和Tsai，1997; Yuen和Ma，1997）感兴趣，相似变换还是主要使用HT这种概括方法来定义（Ballard，1981; Ser和Siu，1995; Yip等，1995）。
几何哈希和聚类技术（Grimson和Huttenlocher，1990; Aguado等人，2000; Grimson和Huttenlocher，1991; Bhan-darkar和Su，1991年; Chakravarthy和Kasturi，1991; Lamdan和Wolfson，1991） 和HT紧密相关。两种方法都收集了形状的证据，然而，几何散列使用诸如线或曲线的原语， HT却通过考虑边缘点的二元性来收集证据，这使得两种技术从根本上不相同。作为其定义的结果，几何散列和聚类技术比HT需要更少的计算资源。然而，当原始图像未被准确计算时，这些技术可能会受阻（Grimson和Huttenlocher，1990; Aguado等人，2000）。为了分析几何哈希算法的性能和提出可以替代其的计算策略，他们进行了大量工作。（例如，Grimson和Huttenlocher，1991; Bhandarkar和Su，1991; Chakravarthy和Kasturi，1991; Lamdan和Wolfson，1991）。相反，这种工作却很少用到HT算法上，一些研究已经表明，HT可以实际上被推广成在刚性变换下提取任意形状。然而，对该过程的分析很少。一般来说，对几何哈希的分析不能应用于HT（Aguado等人，2000）。
本文考虑了HT在仿射变换下提取形状的方法。本文主要有两个贡献。 首先，我们表明了HT的性能可以由于转换的一般性而降低。直观地使用定义模型形状的外观作为变换，会变得更一般，从而使局部图像信息失去意义。也就是说，模型增加了要匹配的可能形式的数量。因此，模型可以容易地与噪声或与不对应于整个形状描述的对象的段相匹配。 因此产生的假证据可能严重干扰检测过程，从而导致不准确或甚至不正确的结果。第二个贡献，我们考虑了包含几何关系约束是否会改善聚集过程。 我们考虑两种类型的约束。 首先，我们定义基于不变特征的约束。 其次，我们考虑通过梯度方向信息定义的约束。 先前已经使用梯度约束来提取线，二次曲线形式（Aguado等人，1996）和用在相似性变换下的形状（Ballard，1981）。 我们的结果表明，不变的和梯度方向的约束可以显着提高HT的收集算法。
本文组织如下。 第2节介绍本文中所使用的符号。为了完整性，第3节给出了任意形状的HT定义。任意形状在仿射映射表示的刚性变换下被连续曲线参数化。我们的公式对于一般的几何变换是有效的，然而，我们的示例和结果仅针对采用仿射变换的。在第4节中，我们讨论了 HT中的错误证据的来源。 注意这是不同于在（Grimson和Huttenlocher，1990）中讨论的组合误差。 在HT测试中，只有当模型与错误数据匹配时，才会产生错误数据。在第5节中，我们考虑在收集过程中减少假证据的约束。 第6节介绍实现和示例。 第7节包括结论.
2.符号
在本文中，我们将图像和模型形状视为二维欧几里德空间中的点的集合。 图像中的点的集合被表示为大写粗体字母，并且模型中点的集合被表示为大写希腊字符。图像点表示为小写粗体字母，模型中的点表示为小写字符，几个点由子指数区分。因此表示三个图像点的集合, 表示三个模型点的集合。每个点的坐标通过使用子索引x和y来指示，因此.形状由任意函数的曲线定义，并表示为, 参数模型是具有两个自变量的函数的曲线，并且表示为.这里，我们将参数分成平移参数b和我们称之为变形参数的a。基于单个点或点的集合的几何性质获得的数值被称为特征或度量，并且被表示为函数。因此，例如便是点的梯度方向。
3..任意形状下的映射
3.1 一般HT
HT通过在图像空间和参数空间之间定义的映射来收集模型形状的数据。在本节中，当模型由一个任意形状在一个仿射映射下给出时，我们有兴趣获得这种映射的形式表示。
通过考虑模型定义中的两个分量，可以为任意形状定义HT。首先，我们可以考虑没有任何自由参数的方程表示的形状。其次，可以通过应用一个定义形状潜在外观的参数变换来获得模型。因此，变换的参数变成模型的参数。为了举例说明这些概念，我们可以考虑具有统一半径并且以原点为中心的没有任何参数的的圆。如果我们缩放圆（在x和y方向），旋转它并平移它，然后我们获得一个由椭圆定义的模型。椭圆五个参数中的每一个参数都与变换的参数相关。因此，如果我们想在图像中找到一个椭圆，我们需要找到将圆形映射到椭圆形的参数转换。这个想法可以通过将圆替换为定义任意对象的形状的另一曲线来概括。 因此，我们将致力于找到将对象的形状映射到图像中的形状的参数。在这个过程中，值得注意的是抽取过程的复杂性和形状的复杂性是相互独立的。也就是说，如果我们用复杂的形状，如山的轮廓或河流的过程来代替圆，那么控制它的外观的模型将仍然具有相同数量的自由参数。 因此，用于圆的HT映射和复杂形状都具有五维累加器空间，并且提取过程涉及相同的复杂性。
如果我们考虑由曲线v()给出的任意形状，那一个参数模型是由点组成的
（1）
这里的函数表示一个通过根据变形参数a映射v（）的点来定义新曲线的变换。
如果我们考虑图像点p，那么我们可以将该点与模型中的点匹配。这也就是意味着。因此，通过方程（1）求解b，我们可以得到
(2)
这里，函数b(p,v,a)表示在给定图像点p和模型点v的情况下获得参数a的每个势值的位置参数的映射。也就是说，它定义点扩散函数（psf）。 此函数跟踪参数空间中的曲线。 HT通过累加器定义参数空间。 因此，通过增加由psf定义的元素来收集证据。 在收集所有证据之后，参数空间中的最大值就是表示将模型映射到图像中变换的最佳值a和b。
3.2 仿射变换
方程(2)中的映射可以定义成几个变换函数f（a,v）。对于仿射变换或线性变换，我们有
=
这种变换包括其他变换，例如尺度变换，旋转变换和剪切变换，并且在刚性运动下估计物体的外观是非常有用的。让我们假设我们有图像中点p的集合和模型中点T的集合，而不是考虑图像中的单个点p和模型中的单个点v。因此我可以得到和。通过考虑方程（2），我们可以得到如下的联系方程： (4)
因为一般来说，我们可以重新定义方程（2）变成一对 (5)
且,。这里的函数从集合P和获得变换参数。也就是说，它由公式（4）定义。
等式(5)定义HT的一般参数分解。第一个方程独立地得到关于a参数的位置参数，第二个等式独立地求解位置参数中a的变性参数。这种方法相对应于二次形式的参数空间分解的泛化，参数空间的尺寸的减小使得方程（5）对比方程（2）更容易在实际中实现。
4.错误数据
在等式(2)我们将图像中的点p与模型中的点v相关联。 在一个简单的实现中，我们可以考虑每个点v形成模型的所有点p。 然而，这产生了错误的数据，因为我们没有考虑给出正确变换的函数对（p,v）。这个错误的数据与psf的扩展无关，如在聚类技术的情况下（Califano和Mohan，1994），错误的证据对应于没有定义原语的psfs。
只有当p和v是由等式（1）得到时，等式（2）才会提供a和b的正确值。也就是说当
（6）
其中和是将模型形状映射到图像基元的变换参数。因此，只有在psf中的点才会生成正确的数据，而剩余的数据是错误的。这个问题对于等式(5)更重要，因为可以从与点的集合相关联的组合中生成更多对。在这种情况下，只有当点与转换模型匹配时才会获得参数的正确值。也就是
（7）
如果我们考虑方程（5）中的n个图像点（即）,那么对于m个模型点，它们是可能存在的函数对的集合。这些对函数给出了正确的数据，而其它的则生成了错误的数据。正如我们将在第6节的例子中所示，这种错误的证据很容易导致不正确的结果。很明显的可以看出这个问题的解决方案是控制P和C中的点的选择。解决这个问题的明显方案就是控制点P和点的选择。
5.收集约束
5.1不变的约束
为了减少错误的证据，我们可以建立一个目的是选择点P和点的机制去满足等式（7）。因此，我们可以考虑验证阶段，它确保在等式(5)中仅使用在模型和图像中共享测量特征的点，如果点共享特征，那么它们则可能对应于模型中的相同点和图像中的形状。 因此，它们可能满足等式(7)。先前的工作已经考虑使用强度或色彩属性作为图像点可能存在的表征（Grimson和Huttenlocher，1990），这里我们关注更多的是获得几何特征而不是色彩约束。
作为起始点，我们可以定义一个约束，使得每对p和v都具有相同的梯度方向。也就是说，假设（Ballard，1981）。然而，如果变换包括旋转，则该信息不能表示该点的信息。因此有效表征应该独立于指示形状外观的变换之外。因此，只有,我们才应该考虑这样的一对点p和v，其中点Q相对于变换和相对于平移是不变的。也就是
。从等式(5)，我们有，其暗示着点集合之间的不变对应。
不变性表征不是唯一的，因此，给定点p或点P的集合，我们可以分别标识多个点v或.因此，如果我们使用像W(P)这样的相同不变特征表示模型中的这些特色点，那么
（8）
是模型{v}中点的所有组合。基于这个约束，我们可以按照以下方程重写等式(5)
(9)
这些等式表明，只有当模型和图像中的不变特征Q相同时，数据才会被收集。
5.2 梯度方向约束
方程(9)中的约束是通过考虑选择过程来减少错误数据，选择过程确定局部几何信息在模型中和在图像中是否具有相同的特征。然而，这种约束依赖于假设W(P)基数较小而且它不考虑背景物体和其它场景伪像产生的假数据。
我们可以考虑一种验证过程，其以类似于映射的方式，确定由点P和定义的变换何时与图像数据一致。这可以通过考虑方程(9)中定义的，将点映射到点P的变换参数的解来形式化。也就是说，我们可以考虑等式(7)中等式(9)的解。因此，我们有 (10)
这意味着如果我们应用由方程(9)定义的变换到模型点v，那么我们会获得图像中的点的坐标。因此，为了验证变换的有效性，我们可以考虑是否将模型中的附加点映射到图像中。 一般来说，我们可以预期，对于模型中的每个点，我们在图像中有一个相对应点。然而，这种变换并不会实现完美匹配，因为可能存
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