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非二进制正则LDPC循环码的结构
Jie Huang, Shengli Zhou, and Peter Willett
电气与计算机工程系，康涅狄格大学，斯托斯,CT，06269
摘要：
在本文中，我们研究了非二进制规则LDPC周期代码的奇偶校验矩阵有固定列权重2和固定的行权重d。我们证明的任何常规循环码的奇偶校验矩阵可以被放入一个级联一排排重排的块对角矩阵的形式列排列，如果d为偶数，或者，当d是奇数和代码的相关图表包含至少一个不相交的边缘的支撑子图。利用这种结构，能够并行处理中线性时间编码和并行处理的顺序的置信传播解码，这增加了吞吐量，而不会牺牲性能或复杂度。数值结果比较循环码的性能和解码复杂度。
关键词 - 非二进制，LDPC，循环码，伽罗瓦场，图论。
一 介绍
Gallager的二进制低密度奇偶校验码（LDPC）[1]是优秀的纠错码，实现性能接近香农容量预测的基准[2]。LDPC扩展到非二进制伽罗瓦域GF（q）是凭经验首先调查了戴维和麦凯比二进制输入AWGN信道[3]。自那时以来，非二进制LDPC码已被积极地研究。
列权重J =2的LDPC码的奇偶校验矩阵H被称为循环码[4]。虽然二进制代码周期的距离性能不如列权重的LDPC码j≧3一样好，它已在GF（q）循环码(5)被证实可以达到接近香农极限Q的性能增加。另外，在NU-merical结果[5]表明周期的GF（q）代码可以跑赢其他LDPC码，包括度分布优化的二进制不规则LDPC码。对于高阶领域qge;64，由置信传播（BP）解码最好的GF（Q）-LDPC代码应该是超稀疏[3]，具有很好的例子有J =2，降低了复杂算法的循环码解码一般LDPC以上代码GF（q）的已在被提出[6]，[7]。为任何的GF（q）循环码的通用linearcomplexity编码算法isavailable在[8]。关于性能和执行优势，GF（Q）循环码的实际应用前景十分看好。
在本文中，我们研究的检查LDPC码周期矩阵具有固定的行权重d，称为D-正常周期码。利用图论，证明了通过行列排列的d定期的奇偶校验矩阵H周期的GF（q）的代码可以总是被放入一个级联行置换块对角矩阵的形式，如果d为偶数，或者，当d是奇数和代码的相关图形包含至少一个支撑子图，由不相交的边缘。这等价表示带来了一些好处。第一，可以进行编码规则周期的GF（q）的码
在线性时间并行。其次，它使并行处理的定期连续置信传播解码周期的GF（q）的代码，这大大提高了解码吞吐量而不损害性能和复杂。它也减少了校验矩阵H的存储用于编码和解码，并且便于代码设计[13]。仿真结果表明非常良好的性能和定期循环GF（Q）代码降低译码复杂度。
二 在代码结构上所得的主要计算结果
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一次循环代码的GF（q）的代码是一个每一列都具有重量J =2，mtimes;n个奇偶校验矩阵的LDPC码。因此，它可以通过有m个顶点关联图G =（V，E）表示V ={V1，...，VM}和n边E ={E1，...，EN}，其中每个顶点表示一个约束对应于H的行节点，并且每个边缘表示对应于H的一列的可变节点[8]。
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如果循环代码GF（q）的代码，也有一个固定的行d位于H中，如图G，d-定期在每个顶点位于d的边缘[9]。我们称这种代码为正常周期GF（q）代码。很显然，我们可以得到正常周期GF（q）代码的规律周期为2n = DM。
我们首先可以从图论中推断出两条定义：
···1 1.窗体顶端
1.k-因子：一个由k因子常规生成的包含所有顶点的子图称为G的k系数。
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显然，因素1是不相交的边的一个生成子，而因素2是一个跨越子，它是不相交的周期。 2.K-可分解因子：图G为假设k-可分解因素存在边缘不相交的K系数G1，G2，...，GL使得G= G1cup;G2···cup;GL的示意图。
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对于图G的子图Grsquo;,让HGrsquo;成为H的矩阵模型。现在让我们介绍与边缘相关联的H双子矩阵和图形G的一个周期。对于每一个边缘时，子矩阵是：
（1）
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其中，alpha;和beta;对应向H由为两个非零项。对于一个由k个连续边E1，E2，...，EK的长度为k周期C，我们可以这样定义它：
（2）
其中，代码ɑis和beta;is对应着被ei边包含的H的纵行的两个非零项。如果一个矩阵H 1可以简单地通过行和列置换被转化成另一种矩阵H 2。我们就可以认为H1,H2满足H1≌H2。
我们就可以得出以下结论：
理论1：对于循环矩阵GF(q)，如果它相关联的图G是d定期与d=2r，校验格式为mtimes;n的矩阵H就可以表示为：
（3）
其中Pi就是mtimes;m的置换矩阵。HI就是mtimes;m，其中 1 le; i le; r，矩阵Hi的等效置换形式为：
（4）
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其中矩阵来自于2式，其中ki，ltimes;ki，l满足。
理论2：考虑到 d = 2r 1的常规循环GF（q）代码，如果其相关联的图G包含至少一个1因子，矩阵Hi的等效置换形式为：
（5）
其中pis和pe 是置换矩阵，Hi是一个mtimes;n的矩阵，它来自于公式4，i=1，hellip;，r，He是一个的矩阵，他可以等=等效置换为：
（6）
是式1中的一个向量。
定理1的证明：如果G D-定期与D =2R，Rgt;0，G是2-可分解如可以从推论2.1.5推断[9，第33页]。表示图G中的R边不相交的2因子由G1，G2。 。 ，Gr。安排H的列以这样的图案通过G1的边缘建立索引的列被放置在第一m列，接着通过该索引的m列G2的边缘，直到它被索引的m列的Gr的边缘。通过这种方式，H被分配到的R子矩阵尺寸Mtimes;M的每个。排列为H〜= [HG1。 。 。 ，HGR]，其中HGI是与GI相关联的H的子矩阵。
现在，我们可以表明，每个mtimes;m的矩阵HGi，都具有等效置换，如4，每个2-因素都可以分解成一组不相交的周期，假设GI由一组不相交的周期Cil中的Li组成，其中1le;lle;Li。
其中Cil长度为kil，它满足。排列行和在由索引行和列的序列HGI的列
CI，1，CI，2。 。 。 ，CI，LI，所得矩阵将具有对角加边形式诊断（H〜C I，1，H〜C I，2，。。，H〜C I，锂），其中H〜C I，1表示与C相关的矩阵
I，L和具有形式，如（2）。因此，我们有HGI=PIHmacr;IRI，其中Hmacr;我在定义（4），和Pi和Ri是置换矩阵，1le;Ile;r因此，矩阵H可设置为等效形式 ，
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我们可以进一步重排矩阵H的行让P1为单位矩阵的置换HGI的列，让每个Ri都是单位矩阵。
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所得矩阵将具有像（3）的形式。这就完成了证明。
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这里省略了由于空间限制不够定理2的证明（可在[13]中同理得到）。
三. 编码和解码的好处
第二节中的代码结构带来了很多好处在编码、解码、存储、和设计的常规循环代码,如前所述
3.1线性时间编码并行
定理1和2中的表现进行有效的编码如下,d=2r, 分区的x为r sub-codewords大小m码字.
,对d=2r 1，分区x为r 1 subcodewords码字。，i的尺寸，1le;i小于等于r，尺寸为. 不失一般性，假设是满等级，令，1 包含x的平价符号和其他包含符号信息。导致代码(dminus;2)/ d。一个有效的码字满足=0.这意味着
来自（4），是是块对角诊断接头。，根据的尺寸，让我们分区xc、1和(7)成L1块的右边对于和。分别的，计算xc 1需要解决以下L1方程
一个线性时间算法求解这些方程提出了引理4[8]。注意,L1解决这些方程可以并行执行，因此在线性时间编码可以并行执行。这提供了很大的灵活性在高效的编码器的实现。这是相当理想的，特别是当码字长度较大。请注意,[8]中给出的通用线性时间编码算法只能以串行的方式工作。
3.2并行处理的BP译码顺序
最近,一个完全连续版本的标准信念传播(BP)解码提出了加快收敛的解码,表示打乱BP在[10]在[11]和顺序更新进度。与标准的BP解码而在完全平行的方式工作相比，顺序BP解码工作在一列逐列方式。已经通过仿真表明，该顺序BP算法的迭代的平均数量可以是大约一半，该并行BP算法，其中，并行的BP和顺序BP解码达到类似的错误性能的[10，11]。对于两种算法每次迭代的复杂性是相似的，从而为顺序的BP算法[10，11]降低总的复杂性。
为了减少连续BP的解码延迟和保持平行BP，命名为部分并行解码方案的并行优势“洗牌BP集团”在开发[10]，在该集团对BP算法进行了改组,H的列分成若干组，在每一组中,并行处理消息的更新,但团体的进动仍是连续的。如果组数是1,集团重组减少并行BP算法。因此，组洗牌BP（部分并行BP）算法的高效解码器的实现提供了更好的吞吐量/复杂的权衡。
对连续的BP算法,如果有连续列互相正交的H,即。,没有两列相交于一个共同的行,然后这些列的更新可以同时进行。同时通过执行更新连续正交列,我们可以改善的吞吐量连续BP算法误差性能没有任何处罚或全部解码复杂度。我们表示这个顺序BP译码算法与并行处理，原则上这是类似的部分并行BP算法列在每组是正交的。
周期GF(q)代码,一组列H是正交当且仅当相应的边缘在相关图G是独立的。第二节中给出的结构,很容易找到正交列正则循环GF(q)代码。我们发现对于任何常规周期GF(q)代码H的列可以分割成最多正交组(更多细节见[13])。
具有顺序BP解码，其工作在一列逐列方式和列中的每个正交组同时进行n步，通过运行更新相比。我们可以通过一个因子大大提高常规周期的GF（q）的代码顺序BP解码算法的吞吐量的至少。请注意，n是通常较大d时通常是很小的。大吞吐量的提高高效解码器的实现非常有吸引力。注意，顺序BP解码的性能和复杂性的优点不受到损害。
四.仿真结果
在所有模拟中码字都通过二进制相移键控（BPSK）调制AWGN信道传输。对于每一个SNR，我们运行模拟，直到已经找到40多分段
错误或高达1，000，000分段解码。在这里，我们只给出的分段长度为1008位的结果;更多不同的分段长度的模拟结果在[13]提供。
测试用例1（定期与不定期GF（Q）代码）。图1比较在BP码译码高达80迭代的标准下定期和不定期GF（Q）代码的性能，其中码率
是1/2和码字长度是1008位。在GF（26）的周期代码具有84码元长度，在GF（28）的循环代码具有63码元长度。同样被计算的是一个由渐进边缘增长算法[12]和的1/2速率麦凯常规-（3,6）码构成的二进制不规则速率为1/2的LDPC码的性能，同时具有1008位的码长和由标准BP高达80次迭代解码。从[14]的表Ⅰ中，这个二进制不规则码具有一个可以实现一个0.3347分贝优秀的迭代解码阈值的密度进化优化程度分布。
GF（Q）的不规则周期代码可以超越二元度分布优化LDPC码已经在[5]被证实。我们从图1观察 ，定期循环码也可以超越二元度分布优化的LDPC码。实际上，图1示出常规循环码和不规则周期码具有类似的性能。
测试案例2（顺序与并行BP解码）。图2和3表示在误差性能和并行处理和标准BP解码为那些常规周期GF提议顺序BP解码之间迭代的平均数量的比较二进制度分布优化的不规则LDPC码中所示的（q）的码和麦凯的（3,6）常规代码;码长是1008位在图1中迭代的最大数量被设置为80。
我们从图2观察，与并行处理顺序BP解码实现了比标准并行BP解码表现略好。更重要的是，图3示出迭代顺序BP解码的平均数量比在高信噪比的标准BP解码的低约30％。因此，总的解码复杂度的算法比标准BP译码算法降低了30％。此外，所提出的并行处理使得能够在通过连续的BP解码的加速通过一个因子至少为2n =10.5经常GF（28）的代码和至少为2n =14的经常的GF（26）的代码。
图1 不规则和规则循环码的性能比较二度分布优化的不规则LDPC码
麦凯的（3,6）常规代码；代码长度为1008位。
图2 顺序和标准BP译码的性能
图3 标准值译码的平均迭代次数和拟议的序列译码
五.结论
通过图论的分析，我们提出了非二进制规则LDPC循环码的奇偶校验矩阵的行置换块对角矩阵的等效串联形式。利用这种形式的编码可以在并行线性时间内进行。利用这种格式解码能够在连续的BP解码，这大大增加了解码的吞吐量，而不影响性能和复杂并行处理。仿真证实，经常周期
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