基于阿贝原理的转台角定位误差分析新方法
摘要
阿贝误差是线性位移测量中固有的系统误差，因为测量轴与移动轴不在一条直线上。产生的间隙称为阿贝偏移，它将移动台的角俯仰误差乘以线性台沿移动轴的定位误差。类似于阿贝原理，在旋转阶段，旋转编码器用于检测工作台的旋转角度。编码器通常安装在离轴承一定距离的地方。该距离也可视为阿贝偏移。由于旋转轴的固有倾斜和径向运动，编码器的旋转部件，即圆形光栅，将导致相对于其固定在载物台外壳内的传感头的横向位移。因此，实际测量的角度不同于指令角度，导致机床和开环控制系统中旋转台的角度定位误差。本文对主轴的倾斜运动误差和径向运动误差、编码器的偏移量和尺寸引起的转台角定位误差进行了分析和实验验证。
关键词
旋转台，阿贝误差，角度定位误差，倾斜误差，径向误差
收到日期:2016年4月30日；接受日期:2016年12月21日
介绍
1890年，恩斯特·阿比德(Ernst Abbe1)提出了设计尺寸测量仪器的测量原理，该原理被翻译成英语:“测量仪器的排列方式应确保测量的距离是用作标尺的刻度的直线延伸。Bryan2认为这种所谓的阿贝原理是机床设计和尺寸测量的第一原理，并将这一概念扩展到直线度测量，提出了Bryan原理，即“直线度测量系统的有效点应位于垂直于滑道运行方向的直线上，并通过要测量直线度的功能点。如果不可能，传递直线度的滑道必须没有角运动，或者必须使用角运动数据来计算偏移的结果。张3后来用一个新的定义修改了阿贝原理:“连接参考点和传感点的线应该位于敏感方向。他将这一原理应用于所有维度测量的情况，包括一维(1D)、二维(2D) 和三维(3D)测量；直线度和圆度测量；和溢出测量。Jaeger等人4将阿贝原理应用到超高精度纳米定位和纳米测量机器的三维设计中。今天，世界各地的工程师和研究人员在设计直线运动机器时都使用阿贝和布莱恩原理作为指导，例如直线定位平台、机床和坐标测量机。(CMMs).5–8
除了直线机器，现代工业还使用各种旋转分度装置，例如旋转平台、机床中的C轴、坐标测量机和机器人。旋转台的旋转精度与线性台的位置精度一样重要。由于设计、制造和装配误差，两个平台在6个自由度(6-DOF)上都有固有的系统几何误差，包括3个平移误差和3个角度误差，这些误差的定义和测试代码在ISO230-1:20129 ，ISO 230-7:200610和ASME B89.3.4-2010.11中有规定。确定数控轴定位精度和可重复性的方法在ISO 230-2:2014.12中有规定因此，精确测量转台的六自由度误差与测量线性转台一样重要。众所周知，测试时间越长，对环境的影响越大。因此，许多以前的研究已经提出了多种多自由度(MDOF)测量方法，用于旋转轴(用于主轴)和转台13–25，但是它们都研究了组合误差中的误差分离技术。由其他有效误差，如倾斜和径向误差引起的旋转角定位误差很少被研究。
大多数线性工作台的位移传感器，如线性标尺或旋转编码器，安装在移动工作台下方的固定参考轴上。这产生阿贝偏移，并且根据阿贝原理，沿着除参考轴之外的任何功能轴的定位误差主要是由角度俯仰误差乘以阿贝偏移引起的。类似于应用于线性平台的阿贝原理，在旋转平台中，旋转编码器通常用作参考传感器，并且通常安装在离功能旋转平面下方的轴承一定距离处。由于旋转轴的固有倾斜和径向运动，编码器的旋转部件，即圆形光栅，将导致相对于其固定在载物台外壳内的传感头的横向移动。因此，实际测得的角度将不同于指令角度，从而导致机床和开环控制系统中旋转台的角度定位误差。这一现象尚未得到详细调查。本文对主轴的倾斜运动误差和径向运动误差、编码器的偏移量和尺寸引起的转台角定位误差进行了分析和实验验证。
旋转台的几何误差
旋转台在工业上也称为旋转台或旋转定位器。在本文中，整个结构称为旋转台，顶部移动台称为旋转台。旋转台具有由主轴表示的旋转轴。与现有的线性阶段的6自由度误差相似，设计、制造和装配误差在旋转阶段产生6自由度几何误差，包括3个平移和3个旋转误差，如图126所示9，10。平移误差可分为一个轴向运动误差(delta;z)和两个径向运动误差(delta;x和delta;y)；旋转误差可以分为两个倾斜运动误差(εx和εy)和一个角度位置误差(εz)。与阿贝原理类似，阿贝原理适用于在存在角运动误差的情况下，沿线性平台的功能轴引起的定位误差，旋转平台的角定位误差也应由其他几何误差引起。这一假设的详细解释将在下面几节中阐述。
旋转角定位误差分析
常见的旋转级有两种类型，即蜗杆传动型和直接传动型。显示径向运动误差和倾斜运动误差的主要旋转体如图2(a)所示。对于蜗杆传动类型，轴与蜗杆一起旋转，而对于直接传动类型，轴由轴承约束。假设旋转轴的倾斜和径向运动发生在轴和约束轴的部件的交点处。为了检测旋转角度，旋转编码器通常用作安装在轴近端的传感器，如图2(b)所示，
其中圆形移动光栅与轴同轴连接。所发射的光(发光二极管(LED))、次级固定光栅和编码器的光电检测器(PD)被固定到外壳上，并被分组为传感器头。为清楚起见，此处未显示轴的支撑旋转轴承。由于实验限制，只研究了蜗杆传动旋转级。为了用其他有效的几何误差来表示角定位误差的原因，图3(a)中示出了上倾斜枢转平面和下光栅平面之间的简化关系。倾斜枢转平面是蜗杆的平面。在本研究中，假设移动光栅没有耦合误差。该图还显示了没有任何几何误差的上蜗杆平面(a)和下光栅平面(b)的理想对应点，并且当前的X轴通过蜗杆平面上的点a。点a的分度角由光栅在点b的旋转角来测量，两者都是相对于旋转轴的。旋转轴的径向运动将导致包括轴、蜗杆、圆形光栅和顶部旋转台在内的所有运动部件同时垂直于旋转轴横向移动。仅观察圆形光栅相对于编码器固定部件的运动，当光栅盘沿光栅标尺的径向移动时，编码器不会读取任何角度变化。然而，如果光栅盘移动到标尺的切线方向，如图3(b)所示，圆形光栅上的原点b也将移动，传感器头将读取更多的标尺。类似地，如果轴围绕X方向倾斜，它将引起相对于倾斜中心的方向上的刻度运动，如图3(c)所示。图4(a)显示了图3(a)的X-Z平面的侧视图，其中a点表示固定的传感器头位置，Zs是光栅平面相对于倾斜中心的偏移，rE是编码器传感器头的半径，a点和b点与图3相同。从图4(b)中可以看出，在旋转台的任何瞬时旋转角度theta;下，Y方向的径向误差(delta;y(theta;))和围绕X方向的倾斜角(εx)都将使标度盘在切线方向(Y)上移动(delta;y(theta;) delta;y、(theta;))的总距离。从几何关系可以发现
图5显示了光栅平面的俯视图。可以清楚地看到，光栅上的传感点从理想点b到实际点的总位移 b、将屈服于编码器的角度读数误差(εz),该误差可由下式表示
从等式(1)和(2)可以清楚地看出，角度定位误差是由轴在光栅盘的切向方向上的径向和倾斜移动、光栅平面相对于顶部工作台平面的偏移以及传感器头的半径引起的。偏移量和传感器半径可以从载物台设计中获得，或者可以在载物台组件小心打开时进行测量。要测量径向误差、倾斜误差和角度定位误差。测量方法将在下一节讨论。
几何误差测量
在改进的蜗杆传动转台上进行了旋转角定位误差、径向误差和倾斜误差的测量实验。ISO 2307:2006规定在机床主轴上安装精密测试球或精密气缸，并将位移传感器安装到机床的工作台上，以测量主轴的倾斜和径向运动。然而，球或圆柱体相对于旋转轴的偏心必须手动最小化，这容易出错。所有其他方法也测量顶部转台或外部主轴的误差运动13–25。顶部转台相对于旋转轴(即内部主轴)的偏心率和倾斜被忽略。从等式(2)可以估计，即使工作台在光栅盘的切线方向上的非常小的径向运动也会产生光栅的明显误差，因为编码器尺寸通常很小。因此，本研究采用不同的方法直接测量转台内轴的径向和倾斜误差。
在所研究的蜗杆传动旋转台(Parker Hannifin，型号200RT)中，分度角由步进电机的指令脉冲计数，而不使用旋转编码器，因此该台通过增加一个旋转模块进行了专门修改，该旋转模块包括一个顶台、一个轴和一个旋转编码器(佳能M-1H)，全部同轴固定在一起，如图6所示。旋转台由支撑架悬挂，以便通过联轴器在轴下安装旋转编码器。顶部工作台和轴通过转动制成一体，因此偏心误差可以忽略。两个分辨率为1毫米的千分表用于测量轴和顶部工作台的径向运动误差 两个选定的点(L1为5厘米，L2为7厘米)。这些径向误差测量仅对光栅的切向有效，即图4(b)中的方向。让最高点成为倾斜中心；两个测量的径向误差可以通过简单的计算来区分倾斜和径向误差。根据国际标准化组织230-1:2012，9角度定位误差测量可以使用精密光学多边形作为参考角度伪像，使用自准直仪或参考分度台，使用角度激光干涉仪来完成。由于缺少昂贵的参考分度台，本研究采用自准直仪和多边形测量角度定位误差。图7显示了实验设置。
测量倾斜和径向误差的结果
如图7所示，测量系统不能直接测量移动光栅的位移，因为它被密封在编码器中。因此，只有在两个指定位置的Y方向上的径向误差可以通过分别由delta;y(theta;)和delta;y，L1(theta;)表示的两个刻度盘指示器来测量。如图8所示，设delta;y(theta;)为轴的径向误差。轴的倾斜误差可以由等式(3)和(4)分开。光栅在Y方向上的切向位移可以通过等式(5)获得等式(5)中的最后一项表示等式(1)中的delta;、y(theta;)。
图9显示了旋转台完全旋转时光栅盘平面上的倾斜和径向误差的组合图。倾斜运动仅围绕X方向，即εx(theta;)，径向运动仅在Y方向，即delta;y(theta;)。
测得的角度定位误差结果
使用自准直仪和24边多边形的系统设置如图8所示。自准直器是自制的27。该自准直器由HP5529A角干涉仪校准，在plusmn;150测量范围内，残余误差小于1毫秒。该方法使用两个自准直仪来校准多边形，这两个自准直仪被设置成从相邻的多边形面给出反射28。
转台的旋转角度由步进电机开环控制，这表明该角度不同于编码器和自准直仪。在每一步，编码器读数和 同时记录自准直仪读数。计算这两个读数在一个完整周期后的差值，以获得编码器的角度定位误差。结果如图10所示。自准直仪和编码器测量的结果中有12次谐波角定位误差。它们可能是由开环控制的蠕虫传播引起的。
实验验证
从等式(2)的理论分析，如果倾斜和径向误差已知，则可以预测旋转台的角定位误差。图11绘出了图9的计算误差和图10的测量误差。图12显示了比较后的残差。可以看出，预测的角度定位误差接近测量数据(在plusmn;10弧秒内)。由此验证了所提出的误差模型。这表明旋转轴的倾斜和径向运动是导致转台角定位误差的关键因素。编码器平面相对于倾斜枢转平面的偏移以及编码器的小尺寸也会增加角度定位误差。剩余的残余误差可能是由编码器的不当耦合误差、所用百分表的精度和编码器的刻度误差造成的。
讨论
从方程(2)的推导中，发现光栅盘相对于传感头的切向位移是转台角定位误差的主要原因。影响切向偏移的因素可能来自盘安装的偏心率、轴的倾斜和径向误差以及所用百分表的精度。该研究解决了轴的径向误差和倾斜误差的影响，这些误差通常是不完美轴承的结果。所研究的蜗杆传动旋转台只有一个支撑蜗轮的轴承。正常的直接驱动旋转台应该有两个相隔相对较大距离的轴承，以减少轴的倾斜运动。一些高精度旋转台采用圆柱形密集滚珠轴承 以最小化倾斜误差。其他两个因素讨论如下:
1.因为光栅盘的半径通常很小，所以本实验中使用的编码器半径为32毫米。因此，从误差方程(方程(2))可以看出，即使1毫米的位移测量误差也会导致大约6毫秒的角定位误差。因此，在实验中应该使用更精确的位移传感器，如干涉仪型。
2.将光栅盘安装到轴上的偏心误差是旋转台上不可避免的一个术语。为了消除这种误差，采用具有多个读取头的编码器可能是一种可行的解决方案29。然而，许多商用编码器都配备有单个读取头。搜索具有至少两个读取头的编码器可以提高预测精度。编码器到旋转轴的精确装配也是一个重要的过程。
结论
本文基于阿贝原理的概念，提出了一种分析转台角定位误差的新方法。理论分析表明，转台或主轴的角定位误差与转轴的瞬时倾斜和径向运动有关。轴承系统的长度对于减少倾斜误差运动非常重要。编码器和轴承系统之间的距离对由倾斜误差运动引起的测量误差有显著影响。直径越小的编码器，工作台的角度定位误差越大。使用多个读取头是消除径向和倾斜误差运动以及光栅盘相对于轴的偏心误差的影响并提高角度测量精度的最有效方法。本研究仅调查蜗杆传动型旋转工作台。对有效误差项进行了实验，验证了所提出的方法。在不久的将来将研究其他类型的旋转级。
利益冲突声明
作者声明与本文的研究、作者身份和/或出版没有潜在的利益冲突。
资助
作者没有获得任何资助来研究、创作和/或发表这篇文章。
参考
1. Abbe E. Meszlig;apparate fuuml; r Physiker. Zeitschrift fu uml;r Instrumentenkunde 1890; 10: 446–448.Figure 11. Comparison o
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