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关于时滞谣言传播的研究，具有饱和控制功能的模型
摘要：本文通过建立函数提出了一种具有饱和控制的时滞谣言传播模型。将时间延迟作为分岔参数，对Hopf分岔进行了研究。通过标准形式和中心流形定理，提出了确定Hopf分岔方向和分叉的公式，周期解的稳定性，以及通过一些数值模拟来说明相关的理论结果。仿真结果表明该方法是正确的。政府控制可以使系统的周期振荡行为更加稳定，以改善社会制度的平衡。
MSC: 34C23; 34D23
关键词:谣言;传播;延迟;霍普夫分岔
1、引言
紧急情况发生后，政府部门作为紧急事件的主体。就政府而言，应该制定相关的应急计划。迅速启动，包括应急物资分发、救援和信息。在紧急处理过程中，各种谣言可能会传播开来。它影响政府形象、应急处理过程和官方应急。策略。对谣言传播规律和影响因素的研究的最终目的是有效地控制和防止谣言，引导舆论，降低谣言的传播。谣言传播造成的损害。谣言传播控制策略研究。在大多数情况下都是定性的。探索控制谣言传播的资格已成为近年来热点[1-10]。为相应的理论成果，大多集中于谣言传播规律。政府利用媒体等手段进行外部环境的实施。干预策略和个体免疫法。
通过媒体等，政府利用外部环境干预。控制谣言传播的策略，这种方法越来越受到重视。学者和管理者的关注。需要对谣言传播控制进行研究。充分把握谣言传播规律、受众心理特征、外部环境干预等，有效处理相关问题。近年来，学者们从不同的视角和视角，取得了一定的研究成果。加强媒体报道和及时信息。摘要政府发布是目前谣言传播控制的有效手段。据霍等。[11],媒体报道和等因素在传播和扩散过程中引入了政府信息透明度。扩展D-K谣言传播模型;此外，还利用最优控制理论讨论了谣言传播的最优控制策略。最近,张和黄(12)提出了一个状态ICSAR谣言传播模型政府监管和控制。在他们看来，高传播率和低传播率。谣言有可能导致重复的传播。
谣言传播与传染病传播相似，从免疫的方法衍生出谣言传播控制的个体免疫方法。对抗传染病。许多学者对传染性疾病的免疫策略进行了相关研究，研究成果较多。也是获得[13-16]。毫无疑问，理论指导和方法。为有效控制谣言传播，通过个人豁免提供参考。在控制感染性疾病的过程中，治疗和治疗。免疫起着至关重要的作用。为了预防和控制麻疹、结核病和流感等传染病的传播，治疗是一个重要且有效的方法。的方法。对于经典的传染病模型，感染者的治愈率被认为是。这样的感染人数成正比(17]。因此，应研究应用治疗的动态特性对这些疾病的影响。建立适当的治疗功能是一个值得关注的问题。学者们在对疾病的流行性进行理论分析的时候。在文献[18-25],他们采取不同的治疗功能,为探讨控制流行病疾病和建立相应的流行病模型提供了不同的有限的药物资源。
在关于谣言传播的研究中，不考虑外部干预策略。为了控制它，在考虑到各种资源的有限性时，不能无限制地提高政府的控制能力。同样的, 我们可以从传染病研究的研究成果和引用治疗能力受限的感染性疾病的饱和治愈率研究中获益。
在本文中，对通过以上的研究成果传播的谣言的特性也进行了分析。通过这些谣言构建了考虑政府控制范围的模型，以及相关的动态。
本文的结构安排如下。第二节，建立模型。第三节,我研究当地的稳定和霍普夫分岔的存在相关特征方程的研究。第四节,我研究霍普夫分岔的方向和稳定性。第五节中,给出了一些数值模拟来支持我们理论预测。最后，本文以一个简短的结论结束。
2、模型
本节描述一个延迟的谣言传播模型。我们的目标是创造一个现实的模型，可以提供广泛的洞察预测和控制谣言。
节点状态转换关系，如图1
根据经典的SIR流行病模型，在这项工作中，人们可以分为。三种不同的状态:无知的人(那些不知道谣言的人)，传播者(传播它的人)，和stiflers(那些知道谣言但在遇到已经通知的人后停止交流谣言的人)。为简单起见,我们使用S(t)、I(t)和R分别表示无知用户的密度，传播用户和窒息用户。为了模拟谣言的传播，下面的假设是实施步骤：
（1）我们认为，不学无术的人的招募率是一个常数。
（2）当一个无知的用户受到传播用户的感染时，就会有传播。传染媒介在网络上发展的潜伏期。只有在那个时候，受感染的用户才会变得具有传染性。因此,定义传播潜伏期的延迟更合适。
（3）通常，当谣言传播时，政府会采取有效措施。控制并删除正在传播的用户。
我们的假设在动力传输节点图1中描绘。作为一个结果，我们的模型可以表示为:
S是无知的，我是传播者，R是stifler。是无知者的招募率，beta;是无知的接触率和撒布机,mu;是死亡率的节点,alpha;是撒布机的接触率，斯蒂夫勒tau;是一个非负常数代表蔓延潜伏期。当I变大时，是政府控制函数趋于1饱和水平。
在下面，我们找到所有可能的非负平衡。显然，这个系统有两个。可行的非负平衡,即
- 边界平衡E1(,0,0)表示 spreader和stiflers消失时对应的状态。
- 内部的均衡表示为Elowast;(Slowast;,Ilowast;,Rlowast;)
在内部的均衡点，我们必须有：
为解决（2）和（3）的等式，我们有S=和R=，用S,R代替第二个方程，我们有：
我们做出以下假设:
下面的结果是显而易见的
引理2.1。如果(H1)持有,那么系统(1)至少有一个积极的平衡Elowast;(Slowast;,Ilowast;,Rlowast;),
3、局部稳定性和霍普夫分岔
在本节中,我们通过分析对应的特征方程讨论的局部稳定性和霍普夫分岔系统(1)
定理3.1。如果beta;Slowast;-mu; beta;1lt;0持有,那么平衡E1局部渐近稳定。
证明：相对应的特征方程平衡E1是容易获得的，如下:
所以,我们获得lambda;= -mu;lt;0和lambda;=beta;Slowast;-mu; beta;1。因此,如果(H2)持有,然后lambda;2lt;0。它意味着平衡E1是局部渐近稳定的。在下面,我们考虑Elowast;正平衡态的稳定性。在积极的平衡Elowast;,对应的特征方程：
根据Routh-Hurwitz的标准，我们得到了如下结果：
引理3.1：如果P1 P2gt;0，P3 P6gt;0，(P1 P4)(P2 P5)-P3 P6gt;0，然后积极的一面的平衡系统(1)与tau;=0局部渐近稳定。
现在对积极平衡系统的稳定性延迟的影响进行了讨论。提供有情商的根源。它应该满足以下方程:
方程9两边同时加上平方项
令
引理3.2如果下列条件
成立，则方程11至少有一个正的根，我们有：
如果条件(13)成立,并且p3 p6gt;0和p3- p6lt;0。显然,limz→infin;h(z)= infin;。因此,至少有zisin;(0，infin;),所以,h(z)=,0。也就是说方程11至少有一个正的根。
根据引理3.2。方程11有一个独特的正根,用z0表示,因此方程10有一个独立的正根omega;0=radic;z0.通过方程9，我们有：
因此，如果我们表示：
然后plusmn;iomega;0是（10）的一对纯虚根且tau;=tau;j。显然,序列{tau;j }infin;j =0正在增加
因此，我们定义：
让lambda;(tau;)=alpha;(tau;)plusmn;iomega;(tau;)成为（6）的根，附近的满足，。假设，当定义（12) 成立。则下面的横截性条件是适用的:
并且的符号和 hrsquo;(Z0)是一致的
证明表示：
方程6可以写为
并且（10）可以转换成以下形式
因此，将（11）和（12）合并，有
区分（12）两边方程。关于omega;,我们获得
如果iomega;0并不简单,然后omega;0必须满足
通过方程（22），我们有
因此，通过方程（23）和（24），我们有
因为tau;0是真实的i.e.,Im0，我们有hrsquo;()=0
我们得到了一个矛盾的条件hrsquo;()!=0。这证明了第一个结论。区分关于tau;的方程（22）的两边。我们获得
这意味着
它和（25）一起
显然的符号是由hrsquo;(Z0)决定的。从上面的分析，我们得到了以下定理：|
从引理3.1-3.3。，以下是真实情况:rsquo;
（1）当tau;isin;(0,tau;0)，(1)的正平衡点渐近稳定；
（2）霍普夫分岔发生在tau;=tau;0。也就是说,系统(1)在正平衡解分支附近tau;=tau;0有周期
4、Hopf分岔的方向和稳定性
在本节中,我们通过方程（26），利用范式理论和中心流形得出明确的公式来确定霍普夫分岔的属性在关键值
首先，我们让
由表示 和引入新的参数。通过时间尺度规范延迟tau;。表示
然后系统可以被重写为空间中的一个抽象微分方程的形式
当
并且
因为
然后在积极的平衡中的（30）线性化系统是
基于第3部分的讨论中,我们可以很容易地知道=,特点方程(6)有一双简单纯粹的虚构特征值={ iomega;0,-iomega;0}。让C:= C([-1,0],R3),在C上考虑以下FDE：
显然,L()是一个连续的线性函数映射C([-1,0],R3)。由黎兹表示定理,存在一个33矩阵函数eta; (–1 le; theta; le; 0)，它的元素的变化是有界的。
事实上，我们可以选择
其中delta;是狄拉克delta;函数。让()通过(35)的解决方案表示半群的无穷小发生器诱导,让的正式伴随A()双线性配对
因为isin;C,isin;= C([-1,0],R3)。然后A()和是一对伴随矩阵。从第三部分的讨论中，我们知道A()有一双简单纯粹的虚构的特征值的plusmn;i，并且它们也是特征值，让P和Plowast;成为中心空间，也就是说，广义特征空间的A()和分别与相连。然后是P的伴随矩阵，且dimP=dim=2。直接计算给出如下结果。
引理4.1 让
然后
是一个基于P与相连，并且
是一个基于Q与相连
并且
因为theta; isin; [–1, 0]
因为s isin; [0, 1]，从（38）中，我们可获得
和
因此，我们有
如今，我们定义
并为Q构建一个新的基础psi;
显然
此外，定义=()，当
则c被定义为
然后线性方程(34)的中心空间是由给出的
并且C=oplus;,这里表示的补子空间并且lsaquo;·,·rsaquo;是欧几里得的产品
让Atau;lowast;被定义为
令
然后Atau;lowast;是无穷小发生器诱导的解决方案(34),并且(30)可重写为以下算子微分方程:
使用分解C=oplus; 和(42),(30)的解决方案可以重写为
并且）和h(0, 0, 0) = Dh(0, 0, 0) = 0.特别是,（30）的解决方案中心流形是由下式给出
设且注意到 ,然后（48）可被改写为
此外，通过（26），z满足
让
且
根据（49），我们有
令
然后通过（51），（52）和（53），我们能够获得如下的量
因为,，出现在,所以我们仍然需要计算。这是很容易从方程(52)中得出
且
此外，通过（26）
满足
因此，根据（49）和（54）—（56），我们可得出
注意, Atau;lowast;只有两个特征值plusmn;iomega;0为零真实的部分,因此,(56) 在给定的方程中有一个独特的解决方案(i j=2)
从（57）中，我们知道-1le; theta; lt; 0
因此，因为-1le; theta; lt; 0
并且
通过Atau;lowast;的定义，我们从（59）中可得
注意到
因此
使用Atau;lowast;的定义并结合(59)和
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