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离散灰色预测模型及其应用
刘思峰，谢乃明
经济管理学院，南京航空航天大学
摘要：尽管灰色预测模型已经在各个领域取得了广泛的成功，并且取得了很好的结果，相关文献显示它的预测精度还有待一步改进。由此，本文提出了一种新型离散灰色预测模型DGM模型以及一系列DGM的改进模型。本文改进了GM（1，1）模型从而提高了其捕捉发展趋势的能力，并讨论了两种模型的关系以及基于原始序列的DGM模型的预测精度，进一步研究了DGM模型的三种基本模式和三种改进形式。分析结果表明，本文提出的模型及其改进模型能够很好地提高预测精度。当系统相对稳定时，DGM模型及其改进模型能够有效地预测系统的发展趋势。本文在改进灰色预测理论以及提出一系列新的预测模型方面做出了贡献。
关键词：灰色预测模型； 离散； 纯指数增长序列
1.引言
基于差异性的现代科学和技术，已经呈现了一种综合趋势，即跨科学的系统科学理论。至今为止，系统科学理论与很多学科产生了广泛而深刻的联系，在很大程度上推动了现代系统科学一体化的进程。基于这些新的理论，很多复杂的或未解的问题得到了很好的解决。这些理论包括系统科学理论、信息理论、控制论、协同工作理论等。由于人们获得的信息往往是不确定的和有限的，一系列不确定理论得以产生。例如Zadeh提出了模糊数学理论，Pawlark提出了粗糙集合理论。同时由于信息和知识的缺乏，只有很少的系统能够被完全了解和识别，基于此问题，邓聚龙教授提出了灰色系统理论。
灰色系统理论自提出以来，被广泛用于工农业生产、经济、能源、气象等各个领域，解决了诸多生产、生活以及科学研究中的预测问题。GM（1，1）模型是灰色预测理论的基本模型，经过二十多年的发展，该模型不断得到完善与发展，众多学者对其进行了改进，但是仍然存在一些问题。 比如GM(1,1)模型中参数的估计采用的是离散形式的方程，而模拟和预测时采用的是连续形式的方程，并且这两个方程是完全不同的形式，从离散形式的估计到连续形式的预测这一过程本身就是一种近似，是一个跳跃，无法精确等同，这正是GM(1,1)模型预测不准确的问题所在，也正是众多学者无论如何对发展系数进行优化，只能提高数据预测精度，却不能达到完全吻合的原因。针对这个模型预测误差问题，本章将通过建立一种离散灰色模型来解决，该模型中参数估计采用离散形式的方程，模拟和预测也采用离散形式的方程，并且这两个方程形式相同，而不存在任何近似变换，该模型能够弥补GM(1,1)模型的近似变换这个理论缺陷，并能够解决GM(1,1)模型预测不准确的问题。
2.离散灰色模型
本节我们研究提出离散灰色模型，给出其定义并研究它与GM（1，1）模型之间的关系。最后基于纯指数增长序列分析模型的精确性。
2.1离散灰色模型的构造
定义2.1称
为离散灰色模型（Discrete Grey model，DGM），或称为GM(1,1)模型的离散形式。
定理2.1设为非负序列
其一次累加生成序列为
其中；
若为参数列，且
，
则灰色微分方程的最小二乘估计参数列满足
证明：将数据代入灰色微分方程，得
也就是,对于的一对估计值，以代替式子左边的 可得误差序列，设
使最小的应满足
从而解得
由得
但
所以
定理2.2设如定理3.1.1所述，，则
(1)取，则递推函数为
；
或
(2)还原值
；
证明：(1)将求得的代入离散形式，则
取，则
(2)
2.2 DGM模型与GM(1，1)模型关系研究
从定理3.1.1、定理3.1.2和GM(1,1)模型的研究，可以知道GM(1,1)模型和DGM模型的构造，将代入GM(1,1)模型，有
为便于和离散灰色模型比较，可以让上式中从1取值，则上式变为
；
形式与离散灰色模型完全相同，因此假设有关系式
则有
对应于GM(1,1)模型的解方程，也称时间响应函数为
（2.1）
对应于离散模型的解方程，称作离散递推函数为
（2.2）
下面来研究两者之间的关系。将式3.1右边进行分离，得
（2.3）
将和用麦克劳林公式展开
由于值较小，高次项影响微乎其微，如果只考虑前四项时的情况，则有
令差值，则
对应于不同的值，取值如表3.1。
表 3.1 不同值差值分析表
|
值 |
-0.1 |
-0.2 |
-0.3 |
-0.5 |
-0.8 |
-1 |
|
|
0.000083 |
0.000667 |
0.00225 |
0.010417 |
0.04267 |
0.08333 |
因此，当取值较小时，，用代替，则式2.3变为
形式与式2.2完全相同。因此离散灰色模型与GM(1,1)模型可以认为是同一模型的不同表达方式，在取值较小时可以相互替代。
2.3纯指数增长序列预测分析
GM(1,1)模型预测的稳定性一直是众多学者探讨的问题之一，但一直没有取得共同认可的科学合理的解释，在参考文献[173]中，刘思峰教授用纯指数增长序列数据做模拟，得出结果是GM(1,1)具有一定的适用范围，即使使用纯指数增长序列数据进行模拟，在做长期预测时仍存在较大的误差。下面用离散灰色模型做纯指数模拟分析。
设初始发展数据序列为
则以后的发展趋势为
将进行一次累加生成得
，
还原值
和完全相等，因此具有预测无偏性，而和可以任意取值，因此只要原数据序列具有近似指数增长规律，都可以用离散灰色模型来模拟和预测。分析离散灰色模型和GM(1,1)模型预测结果的不同，可以知道，GM(1,1)模型预测发生偏差的原因在于白化型式中的与SDGM模型中的之间存在微小的差异，在做短期预测或发展系数较小时，微差对整个预测模型的影响较小，所以预测精度较高，而做长期预测或发展系数较大时，微差对整个预测模型的影响急剧增大，预测精度降低，有时甚至结果无法接受。
3.DGM模型的拓展和优化
上节所研究的离散灰色模型是以整个数据序列第一个数据保持不变而获得的结果，事实上，在整个序列中第一个数据是最旧的信息，以此为基础建立模型与实际情况是有差异的，为了提高模型的预测精度，可以根据具体需要选择初始迭代值。比如和GM(1,1)模型一样，取序列初始点为迭代基准，或者取中间任意一点、序列终点为迭代基准，根据不同的迭代初值，可以建立三种离散灰色模型。
1.1离散灰色模型的三种形式
设系统某行为特征序列的观测值为
其一次累加生成序列为
其中；
根据不同的迭代基值（即在建模时假定原始值和模拟值相等的序列数据），离散灰色模型可以表示为如下三种形式：
（1） ；其中，是原始序列数据的拟合值，、为待定参数，为迭代基值。称该模型为始点固定的离散灰色模型(Starting-point fixed Discrete Grey Model，SDGM)。
（2） ；其中，是原始序列数据的拟合值，、为待定参数，为迭代基值。称该模型为中间点固定的离散灰色模型(Middle-point fixed Discrete Grey Model，MDGM)。
（3） ；其中，是原始序列数据的拟合值，、为待定参数，为迭代基值。称该模型为终点固定的离散灰色模型(Ending-point fixed Discrete Grey Model，EDGM)。
3.2迭代初始值的影响
从上节分析可以看出，对于同一数据序列，运用不同的迭代初始值将获得不同的结果，但是离散灰色模型也不是最优的模型，在模型的计算过程中过多地依赖于序列初始值，序列初始值的微小变动可能造成模拟序列的较大变化，这对预测是十分不利的，下面来分析这一问题。
这里主要对模型SDGM的情况进行讨论，模型MDGM、EDGM可以得到相同的结论，在模型SDGM中，迭代基值，这样拟合得到的曲线在坐标平面上必然通过点，而根据最小二乘原理，最优拟合曲线不一定要通过迭代基值点，因此将作为初始条件的理论依据并不存在，直观地可以从图形分析，如图3.1所示：
图3.1 SDGM模型迭代初值分析 图3.2 MDGM模型迭代初值分析
图3.3 EDGM模型迭代初值分析
假设曲线a是符合最小二乘原理的曲线，那么曲线a也将通过迭代基值点a，即，而事实上可能大于也可能小于，即当真实数据时，拟合得到的曲线为曲线，而当真实数据时，所求得的曲线为曲线。都偏离了曲线。从理论上同样可以证明，已知SDGM模型的递推函数形式为：
那么，还原值为
由于、可以通过最小二乘方法唯一确定，因此，和
两项是唯一确定的，所以当不在最小二乘原理的拟合曲线上时，即或时，所求得的也相应地偏大或偏小。对于模型MDGM、EDGM可以对应得出结论，从图3.2和图3.3中分别可以看出MDGM模型的迭代基值偏离，EDGM模型的迭代基值偏离时也同样会影响拟合值，理论上也可以类似证明，因此可以知道，迭代基值、和的取值不同会影响整个序列的拟合值，必须对迭代基值加以修正。
3.3优化离散灰色模型
为了解决迭代初始值对模型拟合值的影响问题，考虑给迭代初始值增加一修正项，通过修正项来反向抵消初始值带来的偏差，则原离散灰色模型的三种形式变为：
（4） ；其中，是原始序列数据的拟合值，、和为待定参数，为迭代基值。称该模型为优化始点离散灰色模型(Optimized Starting-point Fixed Discrete Grey Model，OSDGM)。
（5） ；其中，是原始序列数据的拟合值，、和为待定参数，为迭代基值。称该模型为优化中间点离散灰色模型(Optimized Middle-point fixed Discrete Grey Model，OMDGM)。
（6） ；其中，是原始序列数据的拟合值，、和为待定参数，为迭代基值。称该模型为优化终点离散灰色模型(Optimized Ending-point fixed Discrete Grey Model，OEDGM)。
3.4优化离散灰色模型参数求解
优化离散灰色模型中，有、、三个未知参数，参数、的求解和一般的离散灰色模型所使用的方法一样，采用最小二乘方法，可得
参数的求解中，以OSDGM模型为例， OMDGM模型、OEDGM模型可以得到类似结论，对于的求解采用类似最小二乘原则的方法，建立一个无约束优化模型，求解和误差平方和最小，也就是求解优化问题：
将所求得的、代入，令
有
可以解得
将参数求解方程联立可得
（3.4）
显然，优化后的OSDGM模型、OMDGM模型和OEDGM模型都可以和最优的拟合曲线重合，对于同一数据序列，分别建立这三个模型可以获得相同的模拟和预测效果，因此，在模拟和预测时可以任意选取其中的一个建立模型。
3.5优化离散灰色模型的递推函数
通过求解参数、、的值，可以给出模拟和预测序列的求解公式，也称为优化离散灰色模型的递推函数。
定理3.2.1 对于OSDGM模型，参数值如式3.4所述，则
（1）递推函数为
；
或
(2)还原值
；
证明：
(1)将求得的代入离散形式，则
取，则
得证。
(2)
得证。
定理3.2.2 对于OMDGM模型，参
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