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数学与计算机建模
1介绍
资源配置是企业管理中的一个重要问题。它是指将有限的资源分配到组织的不同部分，以满足总体目标的过程。在现实生活中，资源总是有限的，所以如何分配资源在确定公司的增长方面起着关键的作用。因此，资源分配对于业务经理和研究人员来说都是一个有趣的话题。最近，使用数据包络分析（DEA）为其研究带来了新的视角。
DEA是决策单元（DMU）效率评估的非参数方法。 DEA的一个主要优点是它不需要对输入和输出之间的底层功能关系的任何先前的假设。它是一种数据驱动的前沿分析技术，它将一个分段线性曲面浮动在经验观察的基础之上[1]。因此，它可以为公司的决策者（DM）提供一些建议，以考虑资源（即投入）和基于经验分段线性函数的预期产出来制定一个计划。
DEA资源配置研究可分为两类。一个类别假设DMU的效率是恒定的[2-5]，而另一个假定DMU的效率是可变的[3,68]。应该注意的是，这些类别在[3]中都有提及。在本文中，我们考虑了分配后可以改变DMU效率的后一种情况。
到目前为止，以前有很多关于通过DEA分配资源的研究。 Hadi-Vencheh等人提出了一种用于资源分配的反DEA模型，以估计输出向量的输入向量的增加需求[5]。 Karabati et al。考虑了一类具有最小最大和目标函数的离散资源分配问题[9]。 Basso和Peccati提出了一种动态规划算法，以实现最小和最大激活水平和固定成本的最优资源分配[10]。 Amireimoori和Tabar开发了一种基于DEA的方法来分配固定资源，而输出目标可以在预先确定总输出的同时确定[11]。 Beasley建立了一个资源分配模型，旨在最大限度地提高所有DMU的总效率[6]。 Golany等人提出了一种用于分配资源的目标定位模型，该模型考虑了整个组织的目标[12]。此外，Korhonen和Syrjauml;nen[3]和Hadi-Vencheh等人[5]也建立了一些基于效率分析的资源分配模型。
然而，尽管环境因素非常重要，但很少有研究人员提供了考虑经济和环境因素来分配资源的方法。经济因素通常指生产过程产生的理想产出，如利润。环境因素通常是指不合需要的产出，如烟雾污染和废物。受到公共和政府环境政策的驱动，这些不良因素受到越来越多的关注，资源配置应予以考虑。尽管Lozano等提出了一种相对方法。 [7]只从集中的角度考虑，一定要延长。
研究不良产品也受到DEA的普遍追捧。它首先由Fauml;re等人提出。 [13]并且在很大程度上延续了。这一领域的文献可分为两类：一个是直接的方法，另一个是间接的方法。直接的方法是基于Fauml;re等人的工作。 [13]，其替代了产出的强大的一次性，假设产出很少一次性，然后大大扩展（见[14-20]）。间接方法可以进一步分为两组。第一个处理不良输出作为处理的输入[21,22]。这种方法只需要数据是否必须最小化或最大化的信息，但它不能反映真正的生产过程[23,24];第二个是为不期望的输出转换数据，然后使用传统的效率模型进行评估[23-26]。在这项研究中，应用直接方法来处理不良产出。
作为以前研究的延伸，这项研究需要考虑资源分配中所需要的和不良的产出。同时，与Lozano等人的工作不同[7]，本研究考虑在下一个时期分配给定的资源。给定的资源可能大于，等于或小于当前时期。这三种情景在相应的模型中是指三种不同的约束组合。在每种情况下，为了最大限度地提高所需输出并同时最小化不期望的输出，提出了两种备选方案用于资源分配。两种替代方案都涉及两个阶段。在第一种选择中，最大限度地提高所需输出是一个优先事项这种替代方案可能适用于某些情况，如排放量少的高科技企业。在第二种替代方案中，最小化不期望的输出是先前的考虑。许多公司可能会接受这种替代方案，例如高排放的造纸厂。
本文的其余部分安排如下。所提出的方法将在下一节中进行描述。应用中国淮河实证的例子来说明第3节的方法。结论见第4节。
2资源分配
2.1环境DEA技术
我们考虑一个生产过程，其中期望的产出和不期望的产出是共同生产的。假设X =（x1，x2，...，xn），U =（u1，u2，...，un），Y =（y1，y2，...，yn） ，不良输出和期望输出。生产技术可以描述为
T = {（X，U，Y））：X可以产生（U，Y）}. （1）
如果（x，y）isin;T，则对于每个y#39;le;y，输出（x，y）isin;T，如果（x，y）isin;T，则表示（x，yy）isin;T每个0le;mu;lt;1。为了合理地模拟产生期望和不期望的输出的生产技术，我们采用Fauml;re等人提出的假设。在T [13]。在这些假设下，产出很弱，只有理想产出的子向量才是一次性的。为了推广，我们将投入区分为两部分：一种是酌情输入X，如材料;另一个是非自愿投入D，如机器和房屋。该变量返回缩小弱化一次性的技术集
T = {（X，D，U，Y）|lambda;TXle;x，lambda;TD = d，lambda;TU =mu;u，lambda;TVge;mu;v，lambda;ge;0，lambda;Te = 1，mu;ge;1}. （2）
2.2提出的方法
假设我们对具有输入，不期望的输出和对于j = 1,2，...，n的期望输出向量（xj，dj，uj，yj）的n个DMU进行n个观察。每个DMU消耗m个自由选择输入Xj =（x1j，x2j，...，xmj）T和k个非排他性输入Dj =（d1j，d2j，...，dkj）T以产生p个不期望的输出Uj =（u1j，u2j， ...，upj）T和q期望输出Yj =（y1j，y2j，...，yqj）T。我们喜欢在分配给定的资源后尽可能少地产生尽可能多的输出和不希望的输出。两个目标函数如下所示。
（1）最大化期望的输出：最大化，其中r是所需输出的指标。
（2）最小化不需要的输出：最小化，其中t是不希望的输出的索引。
使用新的DMU输出（或输入）对旧DMU输出（或输入）作为指标的比例可以消除维度。 之后，我们可以直接对其进行总结，并将其平均化作为企业资源配置的目标。
鉴于生产可能性设置为（2）和两个目标，现在有可能找到一个解决方案给出一些一般的限制。
如果下一期的新资源大于此期间的资源，目标产出不得低于任何期望的产出。
y′ rj ge; yrj, forall;r forall;j. （3）
如果下一期的新资源小于本期的新资源，目标产出不得因任何不良产出而增加。
u′tj le; utj, forall;t forall;j. （4）
如果下一期新资源相当于此期间的新资源，目标产出不得低于任何期望产出，同时目标产出不得因任何理想产出而下降，也就是说，它同时满足两个条件（3）和（4）。显然，这两个限制在现实生活中是合理的。如果我们在下一个时期投入更多的资源，那么期望比这个期间更多的产出。如果我们输入的资源较少，那么这个期间预期的产出就会减少。如果我们输入与本期相同的资源，则可以考虑这两个期望。
此外，我们假设在下一期间分配新资源G =（g1，g2，...，gn）时，生产可能集（PPS）不变。
当新的给定资源大于此期间。分配资源的两种方法如下所示。备选方案1包含两个阶段。
阶段1：
该模型旨在最大限度地提高所需的输出，因此DMU不会输出。 令y#39;* rj是指示r中DMU j的目标的最优值。 目前的情况是模型（5）的解，所以它的目标函数值等于统一。 因此，最优目标函数值将大于（或至少等于）一致。 基于从模型（5）获得的y#39;* rj，我们可以在阶段2中进一步得到模型
这种替代方法首先追求更理想的输出。 可能适合某些情况，如一些排放量少的高新技术企业。 对于这些情况，它们在生产过程中几乎没有污染。 他们不需要太重视环境。 他们的主要目标是产生更理想的产出。
类似地，备选方案2也包含两个阶段。
阶段1：
与模型（5）相比，该模型旨在最大限度地减少不需要的输出，否则DMU会减少其期望的输出。 令u#39;* tj是指示r中DMU j的目标的最优值。 目前的情况在（7）中是可行的，所以它的目标函数值等于统一。 因此，最优目标函数值将小于（或最多等于）统一。 基于从模型（7）获得的u#39;* tj，我们可以在阶段2中进一步具有模型。它被示为阶段2：
在这种替代方案中，最小化不期望的输出是先前的。许多公司可能更喜欢或被要求接受这种替代方案，例如排放量高的造纸厂，特别是当环境问题成为世界各地可持续社会发展的障碍时。现在，许多国家积极采取措施解决全球变暖和水污染等环境问题。因此，第二种选择在现实生活中也是有价值的。
类似于下一个时期的资源小于这个时期的资源，相对模型可以很容易地建立起来来分配资源，即我们只需要使用u#39;tkle;utk，k = 1，.. ，而不是y#39;rkge;yrk，k = 1，...，n的约束。如果下一个时期的资源与此期间的资源相同，则相对模型的约束应包含u#39;tkle;utk，k = 1，...，n和y#39;rkge;yrk，k = 1。 ..，n同时。
2.3更多讨论
显然，所提出的方法是灵活的，因为可以将不同的相对权重delta;r（或sigma;t）给予不同的期望生产输出r（或不期望的输出t）以最大化（或最小化）它们。只需要通过最小化 u′tk/.来最大化 y′rt/和模型（6）来代替模型（4）中的目标函数。
3.一个例子
在本节中，为了说明我们提出的方法，使用了中国安徽省淮河32个造纸厂的实际数据。每个造纸厂雇用劳动力和资本来生产纸张产品，同时排放生化需氧量（BOD）。劳动是指造纸厂的人力资源。资本指当期使用的资本。生产纸是其目的，反映了公司的生产能力。 BOD伴随着生产中的纸张，可能会污染环境。显然，
“纸制品”是理想的产品，“BOD”是不受欢迎的产品。数据来自安徽省环保厅，阜阳环保局，淮南市环保局。详细数据如表1所示。
每个DMU有两个输入和两个输出，如表1所示。表1第六列的BOD配额是不需要的输出“BOD”的上限。生产投入按劳动和资本两项产出分类。生产性产出分为两个产出，纸张产量和BOD。为了便于说明，我们假设原始数据适用的时间称为“此期间”。
因为任何DMU，即淮河每个机构的劳动相对固定，我们假设下一个生产周期的劳动力与每个DMU的这个时期相同。与“劳动”投入相比，总资本变动。我们假设在下一个时期是15 000。由于这一时期的总资本大于15 000。那么我们应该在y#39;1kge;y1k的限制下分配资源，也因为每个都有“BOD”的上限
DMU，所以它也必须满足u#39;1kle;uupperik的限制。
备选方案1首先使期望的输出最大化，然后使不期望的输出最小化。对于这种特殊情况，我们建立模型如下。
表1淮河原始资料。
和
表2 模型（9）和模型（10）的结果
其中x1k表示DMU k的“劳动”，x2k，x#39;2k表示DMU k的“资本”，g2表示下一个生产周期中“资本”的总资源。 y1k，y#39;1k表示期望的输出“纸的生成”，u1k，u#39;1k表示DMU k的不期望的输出“BOD”。应该注意的是，x1j，x2j，y1j，u1j，j = 1，...，n，g2是常数，x#39;2k，y#39;1k，u#39;1k，k = 1，...，n， ，j = 1，...，n是变量。
通过上述模型，可以得到分配资源的解决方案，如表2所示。
“资本”的给定资源在32个DMU中完全分配。在这一时期，理想的产出“纸”总数只有两倍多。有两个因素可能导致这种情况。首先，使用更多的输入。第二，系统中的DMU预期在生产可能的集合中更有效率，并且模型追求更理想的输出。同时我们也发现不良产量“BOD”比这个时期多一点。
另一个替代方案，称为备选方案2，首先使不期望的输出最小化，然后最大化期望的输出。对于这种特殊情况，我们建立模型如下。
和
变量的符号与模型（9）和（10）中的符号相同。通过这两个模型，我们可以找到分配资源的解决方案，如表3所示。
表3 模型（11）和模型（12）的结果
表3中的“BOD”为111.2030。它比原始数据小得多，即使整个系统中都会产生更多的输入。然而，不幸的是，期望的输出不会增加，但与原始数据保持一致。可以看作是减少不良输出的成本。
将表2与表3进行比较，我们可以很容易地发现，表2中的总“纸”，理想输出大于表3，表3中的总“BOD”，不合需要的输出小于表3这是由于两种选择的不同目的造成的。另外，在替代方案2中投入的“资本”少于替代方案1.目前，为了实现可持续的节能减排目标，中国对环境保护给予了大量的关注，并制定了许多政策减少或限制污染，如鼓励低污染产业的发展，禁止一些高污染，低效率的企业的经营。根据这些因素，造纸厂的备选方案2可能是一种有效和有效的选择。
4结论
资源分配由于其在管理中的重要性，已成为数据包络分析中的热门话题。由于经济因素通常伴随环境因素的生产，这两种因素往往具有一定的关系。本文考虑经济和环境因素，更全面地研究这一话题。我们相应地考虑了三种不同的场景和三种不同的约束。对于每种情况，提出了两种主要的替代方案用于资源分配。一个是首先最大化期望的输出，然后最小化不期望的输出。另一个是首先最小化不需要的输出，然后最大化所需的输出。我们分析了中国淮河地区造纸厂资源配置问题。在这个例子中，假设“资本”被分配在两种替代方案下，它们在第一步可以实现最大“纸”的条件下追求最小的“B
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