有界高阶对流格式的设计原则 — 一个统一的方法外文翻译资料

 2022-07-26 14:54:17

英语原文共 26 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

有界高阶对流格式的设计原则 — 一个统一的方法

N.P.Watersona,* , H.Deconinckb

a. 帝国理工学院航空航天部，英国伦敦SW7 2AZ亲王路

b．冯卡门流体动力学研究所，比利时圣尼斯路B-1640，Waterloosesteen72

摘要：有界高阶对流格式的设计是以选择既能给出尖锐梯度的良好分辨率，同时在应用到平滑的循环流动中时能够提供有竞争力的精度和收敛性的离散化的观点来考虑的。目前的工作包含一个详细的分类、分析，以及到目前为止在单元格中心和有限体积框架下提出的大部分非线性标量对流格式的大量表格。这个分析包括对两个最常用的非线性方法（通量限制器（FL）和正则化变量（NV））的回顾和比较，以及通常采用的三个主要的有界性条件：总变差减小（TVD），正性以及对流有界条件（CBC）。所有考虑过的NV格式都被转换为FL形式，以允许对大量格式的直接比较和分类。考虑了正性非线性格式的几个特定设计准则，并且展示了它们如何被用于理解不同方法的相对性能。最后，基于两个标量对流测试案例（一个平滑的和一个不连续的）比较和排列了大量现存格式的性能，这展示了不同格式在精确度和收敛性上的性能的广泛差异以及所考虑的设计原则的有利性。

关键词：对流；离散化；非线性；有界；高阶；TVD；通量限制器；正则化变量

1.引言

代表对流输运项的离散化仍然是流体流动现象的数值模拟中最有挑战性的方面之一。在本文考虑的单元格中心和有限体积离散化的背景下，自上世纪60年代起二阶迎风偏置格式的引入，使更多的高雷诺数下对流主导流动的精确的解决方案成为可能。

这样的线性对流格式，虽然比纯中心差分格式（CD）更加稳定，比一阶迎风格式（FOU）更加精确，但在一些情况（特别是存在尖锐梯度）下，仍然容易受到非物理振荡。这个限制是由Godunov的著名定理-没有二阶或更高精度的线性对流格式是单调的，所预测的。对策是使用非线性离散化，这是根据局部解决方案来调整自身以保持有界的特性。

虽然现在众所周知，非线性对流格式的使用能够得出结合有界性和精确性的解决方案，但是从出版文献和工业实践中可以明显地看出，这些格式性能上的广泛差异以及合适选择它们的原则是很不好理解的。在文献[59]中，本作者进行了一项研究来分类和分析非线性格式，并设计了一个新的适用于工业应用中广泛的典型流动的格式。特别关注了那些在尖锐梯度处能给出良好的分辨率，同时在应用于平滑循环流时能够提供有竞争力的精确度和收敛性的离散化方法。目前的工作较先前的研究有了重大的扩展和更新，包括一个更加详细的分类和分析，以及到目前为止在单元格中心、有限体积框架下提出的大部分非线性标量对流格式的广泛的表格。

这个分析包括对两个最常用的非线性方法（通量限制器（FL）和正则化变量（NV））的一个回顾和比较，以及通常采用的三个主要的有界性条件：总变差减小（TVD），正性以及对流有界条件（CBC）。所有考虑过的NV格式都被转换为FL形式，以允许广泛格式的直接比较和分类。考虑了正性非线性格式的几个特定设计准则，并且展示了它们如何被用于理解不同方法的相对性能。最后，基于两个标量对流测试案例（一个平滑的和一个不连续的）比较和排列了大量现存格式的性能，这展示了不同格式在精确度和收敛性上的性能的广泛差异以及所考虑的设计原则的有利性。

仅考虑了对流守恒定律的稳态的以单元格为中心的有限体积解决方案，其中一个典型问题就是线性标量对流方程：

（1）

其中， 是对流速度场 中的一个标量变量。

对整个单元的有限体积离散化可以总结如下：

（2）

其中， 是储存于单元中心的变量的单元平均值， 是邻近单元的变量值， 是离散化系数。这个方程组的具体解决过程不会在这里被考虑。所有考虑的离散化都将是以单元为中心的有限体积类别，并且都将是维数分离的。也就是说，二维和三维的实现是由分别沿每个网格方向应用的一维格式组成的。

在定义以单元为中心的有限体积离散化中的关键问题是从对流变量的单元平均值到单元界面值的插值。这里考虑的所有格式，计算界面值都最多使用三个单元中心值（对整个单元给出五节点模块），并且如图1所示，所有的都能用迎风偏置模块来描述。应当注意，当与一个合适的时间离散和时间步长限制相结合时，这里描述的所有对流离散化都可能被应用于时变问题。

图1 迎风偏置模式和符号图示

2.线性格式

很多著名的线性高阶格式可以被方便地表示为最初作为Van Leer的变量外插MUSCL方法的一部分发展而来的所谓的-格式的一类[52,53]。这里将回顾-格式的公式化，既因为它构成了一个在其中能分析线性格式的有用的框架，也因为它为非线性格式的建立和解译提供了一个平台。

2.1.-格式的公式化

由-格式预测的对流变量的单元界面值，能够用上述概括的符号写出，或者作为由一个附加的反扩散项增强的一阶迎风格式：

（3）

或者作为附加了稳定化处理的迎风偏置人工耗散项的中心差分格式：

(4)

这两种表达式都假定了网格间距均匀，但对非均匀网格间距的推广是相当简单的：

（5）

这里， ，并且：

（6）

可以很明显地从迎风公式（5）中看到，高阶修正运用了对流变量的两个局部梯度的线性加权平均：一个是跨越问题中的单元界面，第二个是如图1中的直接迎风节点。加权是由变量控制的，当变量的值为1时，消除了迎风梯度，的值为-1时消除了中心梯度。类似地，可以从等式（4）中的人工耗散形式看出，等于1消除了人工粘性项，而对于 ，随着减小它的大小反而增加。对于在[-1,1]范围内的取值，梯度的平均值是凸状的。

几个著名的高阶对流格式由不同的值表示，这里按渐增的迎风偏置次序给出（并且也总结在了表A1中）：

：中心差分（CDS）-唯一的无迎风偏置的-格式，界面值由两个邻近的节点值的线性插值计算而来。

：二次迎风插值（QUICK）[25]-界面值由三个节点（两个迎风和一个下风）的二次插值计算而来。这给出了三阶近似的界面值，虽然整个单元只有二阶近似。

：三次迎风插值（CUI）[1]-唯一的三阶-格式，由Agarwal在文献[1]中基于有限差分环境提出的，它相当于通过一个四点迎风偏置模块来拟合三次多项式。术语CUI不是与“LUI”或“QUICK”严格一致，但是它将是本文中将要服从的一个方便的速记法。

：Fromm格式[13]-特别设计以减小色散误差，并且由于均匀加权中心和迎风梯度而唯一的对称。

：线性迎风插值（LUI）[4,36,57]-唯一的完全迎风-格式，界面值由两个迎风节点值的线性外插计算而来，有时候被称为二阶迎风（SOU）。

这些格式在一个维度上都至多需要一个五点模块，并且当被应用于线性对流方程时它们都是线性的。另外，可以表明上述的所有格式都不是有界的，并且在一些情况的解决方案下都允许非物理的空间振荡，正如Godunov定理所预测以及下文即将讨论的。

2.2. 精确度以及修正的微分方程

这里有趣的是使用修正的或等价的微分方程来检查这些线性格式的精度，该方程给出了实际所解决方程的一些暗示，并且在一定程度上不同于原始的连续性方程。针对一维条件下的稳态线性对流方程，运用-格式进行离散化的改进的微分方程，可以被写作：

（7）

在方程中，左边出现的项代表原始的连续性方程，而右边的项代表由离散化引入的截断误差的主导项。截断误差中的两个主导项，第一个是本质弥散的，而第二个是耗散的，例如在文献[28]中讨论了它们的含义。在非稳态的情况下，等式右边将出现附加项，这取决于所考虑的特定的时间离散方式。

改进后的方程立即揭示了所有的-格式都至少具有二阶的截断误差。只有对于的CUI格式，是完全消除了的截断误差的主导弥散项，从而导致三阶精度。应当注意的是，从实际应用的观点来看，截断误差的大小可能不是唯一的重要因素。正如下文将要进一步讨论的，它的本质对收敛性也有严重的影响。表1总结了不同-格式的相对斜率加权因子，以及改进后的方程右侧的两个主导项的系数。

对于一个单元含有不同的-格式的情况(和分别被应用于如图1中的单元面u和f),考虑改进的方程也是有益的：

（8）

表1 梯度加权因子以及不同-格式的修正方程的系数

-格式

中心加权

迎风加权

系数

系数

1

1

0

0

0

0

-1

0

1

可以看出，上式引入了一个主导的一阶项，其系数取决于值的差异并处于[-1,1]的范围，其极值表示和的结合。因此，这个系数的大小甚至可能比一阶迎风格式的系数更大。下面考虑的大部分非线性格式，即使是对于平滑解决方案，也都运用了-格式的结合，因此也将在不同程度上倾向于引入一阶项。

应当注意的是，上述的分析仅仅严格应用于均匀网格下的一维稳态情况，并只应用于平滑解决方案。然而，其在给出不同格式的相对性能的定性理解方面还是非常有益的。虽然-格式不能在不均匀网格中保持严格的二阶精度，但是如果用（5）的形式实现，它们仍然是线性精确的（考虑一个线性解决方案）。

2．3．线性格式的相对性能

在文献[58]中，上述的-格式以及一些以延时校正形式实现的非线性格式的性能，在几个具有重要再循环的高雷诺数层状不可压缩流中被检测。并且在文献[59]中，针对两个标量对流案例的类似的评估被实施。从文献[59]中的标量对流测试得出的结果被总结于表B1中，并且在第七部分进行了更多细节的讨论。在实践中发现，针对平滑的情况，CUI，Fromm以及QUICK格式给出了类似的结果，这与已经处于中等网格水平的参考解决方案相接近。然而，CDS和LUI格式是明显不够精确的。就收敛性而言，Fromm格式与被考虑的其他高阶格式相比，展示了重大的优势。它需要较小的松弛系数，并且用比CUI和QUICK格式大约少25%的CPU计算时间实现了指定的收敛性条件，这是其自身在一定程度上比LUI和CDS格式更快。这种良好的收敛性也普遍反映在下文考虑的Fromm格式的不同通量限制形式中。

3．非线性格式-通量限制器方法

线性格式，特别是使用迎风偏置高阶离散化的-格式系列，已经被成功地运用于对流项的离散化很多年了。这些线性格式，虽然比纯中心差分更稳定，但是在某些情况下仍然容易受到非物理的空间振荡。

这个缺陷被Godunov定理[40]所预测，定理表明没有任何具有高于一阶截断误差的线性对流格式是单调的。这个难题的解答是非线性离散化方法的使用，也就是根据局部解的值在某种程度上调整自身以保证有界性的格式。构建非线性格式的最有效的方法之一已经被证明是通量限制器的使用，即基于求解区域的局部梯度比例来定义对流格式的简单函数[46,47]。

3.1.通量限制器的公式化

这里使用的基本通量限制器公式遵循了Roe在文献[39]中的提法，并区别于Sweby在文献[46,47]以及Roe在文献[38,40]中的提法，其中空间项与（任意可能）使用的时间离散化完全分离。这对于基于压力的粘性流动解决方案更加合适，并且通过使用标准时间步长处理能容易地延伸到时变情况。

如Roe的文献[39]中所示，通过在解决方案中将高阶修正表示为中心和迎风梯度的一个通用的加

全文共32349字，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[144796]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word

原文和译文剩余内容已隐藏，您需要先支付 30元 才能查看原文和译文全部内容！立即支付

以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。

您可能感兴趣的文章