Karhunen–Loève展开可降低形状优化中的设计空间维度外文翻译资料

 2022-08-23 16:02:51

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重点

bull; 提出了一种形状优化降维的推导方法.

bull; 在进行基于仿真的优化之前，对设计空间进行评估。

bull; 给出了形状设计变异性的连续公式。

bull; 根据置信度，设计空间按KLE降维。

bull; 给出了基于CFD的优化实例，证明了该方法的有效性

摘要

本文提出了一种在形状优化问题中减小设计空间维数的方法，同时保持了期望的几何方差水平。该方法基于广义Karhunen-Loeve展开（KLE）。任意形状修正空间根据Karhunen-Loeve模式（特征向量）和相关几何方差（特征值）来评估。前者作为基础，以建立形状修改的降维表示。 在CFD模拟的基础上，对高速双体船的形状优化方法进行了验证，旨在降低抗静水波分量。 基于自由形式变形技术，将KLE应用于三个大尺寸设计空间（ge;20）。选取几何方差最大的空间进行降维和设计优化。采用N维设计空间，N=1、2、3、4，保留95%与原始空间相关的几何方差。显示并发现目标约简、维数N与约简空间的几何方差之间存在显著的相关性。

关键词：设计-空间降维；Karhunen-Loegrave;ve扩展；基于仿真的设计；形状优化；流体动力学优化

系统命名法

降维设计变量向量

降维设计变域

偏离形状修正矢量平均值

偏离形状修正矢量平均值的PTH分量

克罗内克符号

形状修正矢量平均值的离散偏差

形状修正矢量平均值离散偏差的p块

单位矢量

uisin;U的概率密度函数

KL模式

KL模式的PTH分量

形状修饰向量

形状修饰矢量的PTH分量

形状域

几何方差的置信水平

用于形状域离散化的元素数

KL值

形状修改向量维

原设计空间尺寸

形状域维度

降维设计空间维度

设计优化目标

广义KLE的任意权重函数

形状修正协方差矩阵的pq块

兴波阻力

形状修改空间的几何方差

蒙特卡罗方法在uisin;U上的样本量

原始可变矢量设计

原始可变设计域

船舶重量力模数

形状空间变量

离散KL模式

离散KL模式的p块

uisin;U的集合平均数

内积

外积

引言

在过去三十年中，随着模拟工具的出现，设计复杂工程系统的过程有了很大的修改，这是由两个主要因素驱动的：（i）提高了仿真所依据的数值算法的稳健性和准确性；(ii)硬件的指数级发展，包括并行体系结构的快速发展[1]。工程产品性能的数值预测正成为许多工业领域设计过程中重要组成部分：基于仿真的设计(SBD)框架不断发展，专门针对不同的工程领域，并安排了大量的计算模拟来评估设计的性能或者确定设计方案的相对优点。在这场设计革命的表面之下，人们不断寻求全球市场竞争加剧所带来的改进：迫于寻找更好设计的需要，人们往往会接受更大的设计空间、更多的设计变量，以及必须探索和比较更多的替代方案。

考虑到大量的参数和严格的（往往相互冲突的）要求，经常发现高保真模拟(如偏微分方程组的解)与最小化算法一起使用，以确定设计问题的更好解（最优或次优），形成一个基于仿真的设计优化(SBDO)框架。在过去的几十年里，SBDO被广泛应用于航空航天[2-4]、汽车[5-7]和海军[8-10]的应用。一个全自动SBDO环境，在优化形状设计背景下，需要集成(i)模拟工具（用于结构、流体等）和(ii)最小化算法与(iii)几何修改和自动啮合算法。为了获得一个自动化的过程，这三个基本元素必须以一种稳健和有效的方式连接在一起[11，12]。

尽管数值算法的计算能力和稳健性都有所提高，但从理论、算法和技术上讲，高保真SBDO在形状优化方面仍然是一个具有挑战性的过程。其中，最复杂的挑战之一是如何处理高维、大的设计空间，特别是当使用计算成本高昂的黑盒函数进行性能分析时。潜在的设计改进在很大程度上取决于设计空间的尺寸和扩展。显然，高维和可变性空间更难探索，也更昂贵，但同时可能带来更大的改进。在此背景下，形状优化研究的重点是形状和拓扑参数化，作为实现设计可变性所需水平的关键问题[13–15]。

根据应用的不同，形状设计（或感兴趣的几何图形）可以通过多项式、样条[11]、B样条[16]、非均匀有理贝塞尔曲线(NURBS)、Bezier曲面片[8]、自由形式变形(FFD，[17，18])、变形方法[10]、基向量方法和域元与离散方法[15]来表示和修改。然而，在过去的SBDO文献中，几何变异性与设计空间维数之间的权衡没有得到解决，也没有得到定性的评估。

最近的一些研究集中在设计空间变异性和降维以进行有效的分析和优化过程。在[19,3]Karhunen-Loeve展开中（KLE，又称为适当正交分解，POD）用于表示分布的几何不确定性，并建立用于不确定性量化的降阶空间模型。

文献[20,21]给出了一种基于KLE的形状修正变异性定量评估方法，并建立了设计空间的降维全局模型，并用于文[22]中基于元模型的高速双体船高保真优化。该公式以离散形式给出，以R^n中的标准内积为基础，并依赖于几何方差的置信水平。

在文献[23]中，主成分分析（PCA）应用于设计变量域和当前设计点附近的点云。利用PCA方，得到了alpha;流形可行域局部表示的主基向量的约化数。类似地，在文献[24]中将适当正交分解（POD）方法应用于基于体素的形状空间，并用于基于alpha;流形的可行设计区域的局部表示。基于PCA/POD的线性扩展不被截断，降维源于在设计参数化中嵌入设计约束，保持了原设计的可变性。

文献[25]提出了一种基于适当广义分解（PGD）的几何参数化解的计算方法。采用热场的线性参数化模型，将几何参数作为附加坐标。该方法为有效的形状优化提供了一个组合的降阶模型，并没有直接解决与设计空间相关的固有设计变异性，即几何变异和相关分解。

基于设计可变性分解和置信水平的连续形状设计空间表示降维技术的理论和数学推导仍然非常有限。设计空间降维在基于仿真的复杂工业问题形状优化中的应用还很少。

本文的目的是发展一种方法论的理论和数学推导，以减少相关设计变量的数量，同时保持降维设计空间的规定几何方差水平。这是通过揭示与形状修改空间的全局连续表示相关的数学方面，研究相关的结构和几何方差的分解来实现的。

该方法基于原始形状修改空间的KLE。变分问题的解允许选择最佳正交基，该正交基用于原始设计空间的降维线性表示。在执行SBDO之前，假设设计空间是随机的（因为最优形状还未知），并通过大量设计实现进行采样。由于只需要几何形状（对应于取样的设计参数值），因此不需要在该阶段进行CFD分析。

定义并评估了平均形状修正和几何方差。KLE提供的基础由形状修正协方差函数的特征函数构成，用于设计空间维数降维和设计优化。相关特征值表示基函数保留的几何方差。通过将问题嵌入具有广义内积的Hilbert空间，给出并使用了一个广义KLE公式。

所提出的方法可应用于任意形状修正技术，并在本文中被证明用于高速船（Delft双体船）的形状优化，在平静水中以恒定速度前进，自由下沉和修剪[10,22]。设计目标是减小波浪阻力与船舶重量之比。三个设计空间由原船体[18]的高维（M=20，25，29）FFD定义，并通过KLE进行评估。设计空间提供最大的几何方差用于设计优化，通过降维达到原始设计方差的95%。采用势流求解器[26]进行性能分析，并采用无导数全局优化算法（确定性粒子群优化，DPSO，[27]）求解优化问题。给出了目标降维与降维空间维数和几何方差之间的关系。

设计空间是随机的

该方法不再将所有可能的设计实现看作是一个随机空间，而是将原来的确定性设计空间视为一个未知的最优设计空间。在进行任何目标函数评估之前，先对设计空间进行采样，然后直接对平均几何进行评估，而几何方差则由KLE进行评估。

具体来说，考虑一个感兴趣的几何域G，它标识初始形状或父形状，以及一组坐标xisin;zeta;。假设uisin;U是设计变量向量，它定义了形状修改向量gamma;。考虑初始形状gamma;(x，u)isin;Lsup2;(zeta;)的所有可能的平方积修正的向量空间，其中Lsup2;(zeta;)是由相关范数||f||=（f，f）^frac12;的内积定义的Hilbert空间

（1）

一般情况下，xisin;取n=1，2，3，uisin;(M个设计变量)，和gamma;isin;取m=1，2，3。在图1中，给出了n＝1和m＝2的示例。

与u的选择相关的优化问题可以写成

(最小) （2）

其中obj是任意目标。如果需要，等式（2）的问题中可以包含约束条件。在解式（2）之前，最优形状未知，其识别可能被认为是一个受认知不确定性影响的问题[28]：在进行优化过程之前，人们还不知道最优设计在哪里[21]。因此，在方程（2）的问题得到解决之前，可以将设计向量u看作是一个随机空间U，它具有相关的概率密度函数f（u），uisin;U。在贝叶斯方法中，f表示对一个命题的信任度[28]，可以根据设计者的经验来选择。例如，在不丧失一般性的情况下，如果所有可能的设计实现被赋予相同的优化概率，则f（u）是U上的均匀分布。可以注意到，当涉及到认知不确定性时，均匀分布的选择通常是合理的。 然而，如果过去的经验是可用的，或希望对设计空间的某些区域给予更多的重视（概率），又或者两者都有的情况，则f(u)可以根据特定的应用程序进行调整。一旦定义了f（u），相关的平均形状修改可评估为

（3）

图 1.当前公式的格式和符号。给出了n=1和m=2的示例。

而与形状修改空间（几何方差）相关的方差被定义为

（4）

式中delta;=gamma;-lang;gamma;rang;，和lang;·rang;表示uisin;U上的集合平均值。如果设计空间的定义使得平均形状与原始设计相对应，则lang;gamma;rang;=0，forall;x，因此delta;=gamma;。

Karhunen–Loeve变形扩展

当前情况下，KLE的目的是寻找正交函数的最佳基，用于线性表示形状修改向量平均值的偏差，用

（5）

表示，其中

（6）

是基函数分量（下文用作新的设计变量），并且（其中是克罗内克函数）。

与KLE相关联的最优性条件是指基函数通过等式（5）保留的几何方差，参见[29]。合并等式（4）-（6）得

（7）

如式（7）所示，保留最大方差的基是由变分问题的解形成的[29]。

（8）

使用拉格朗日乘数法，它就变成

（9）

它的解是

式中，εisin;R和eta;是Lsup2;（zeta;）中的任意变量。式（10）变成

即

（13）

最终产生

（14）

L是积分算子，它的特征解定义了式(5)线性表示的最优基函数。可以证明L是自伴随的，因为（L f，g）=（f，Lg），并且是紧凑的，也因为它的内核是有界的。因此，它的本征函数（数值解中的本征向量，也称为KL模）是正交的，构成了Lsup2;（zeta;）[30]的完整基础。此外，将式（13）投影到上，得到，并且，根据式（4），

（15）

相应地，特征值（也称为KL值）表示相关基函数通过其在等式（5）中的分量保留的方差。可以证明[29]对于N阶截断展开（降维表示法），与任何其他正交基相比，式（14）的解保留了最大方差，使得。如果，则

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