采用球面波叠加法还原自由声场的方法外文翻译资料

 2022-07-27 16:04:30

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采用球面波叠加法还原自由声场的方法

毕传兴 胡定玉 徐亮 张永斌

摘要：为解决非自由声场中近场声全息重建时，干扰声在目标声源表面产生的散射影响，提出了一种基于球面波叠加法的自由场还原技术。该技术首先采用基于球面波叠加法的声场分离技术获得向内和向外传播的声场，然后以目标声源的表面导纳作为边界条件，实现目标声源辐射声和散射声的分离，从而获得等效于自由声场的测量条件。该技术为准确实现非自由声场中的噪声源识别创造了条件。文中首先详细描述了该技术的基本原理，并且提出了一种最优球面波展开项数选取的方法，最后通过数值仿真计算说明了该技术的有效性。结果表明：在频率较低时，散射声影响较小，采用声场分离技术和自由场还原技术效果相当；但随着频率的升高，散射声的影响逐渐增强，必须采用自由场还原技术才能准确获得目标声源辐射声。

1引言

近场声全息技术[1-3]通常要求分析声源均位于测量面的同一侧，其另一侧为自由场。然而在实际应用中，在测量面另一侧通常会存在干扰源，例如，其它声源、墙壁反射等等。此时，如果直接采用近场声全息技术重建，则会造成重建误差很大，甚至出现错误的重建结果。对于这种非自由场中的近场声全息问题，通常先采用声场分离技术，去除测量面背向干扰源的影响，然后再进行重建。

声场分离技术的思想最早是由Pachner[4]提出来的，他利用球面波叠加法原理实现了瞬时声场中行波和驻波成分的分离。Weinreich[5]等人完善了Pachner提出的方法，并建立了基于球面波叠加法的声场分离理论。Maynard[2]等人曾建议采用该方法解决混响环境中的近场声全息重建问题。Bolton[6]等人基于Rayleigh积分等式和声场分离技术首次实现了在反射环境下的近场全息重建。Williams[7]基于空间Fourier变换理论建立了平面、柱面和球面三种不同坐标系下的声场分离公式，Tamura[8]等人和何元安[9]等人成功采用平面声场分离公式实现任意入射角反射系数的反演，于飞[10]等人则将其用于实现存在背向干扰源的声场环境下的近场声全息重建。最近，基于统计最优近场声全息理论[11-13]以及基于等效源法[14-16]的声场分离技术也相继被提出，并被用于实现非自由场中的近场声全息重建。

声场分离技术可以有效去除来自测量面背向干扰声的影响，但却忽略了干扰声在声源表面产生的散射影响。如果散射声不大，利用声场分离技术去除干扰声并进行近场声全息重建可以取得较好的效果，散射声在重建过程中会被视为噪声并被抑制；但当散射声较大时，重建图像上散射声的信息会严重影响目标声源位置的判断[16-17],要精确地定位声源还需要进一步去除散射声的影响。最近，Langrenne[16,18]等人提出了基于边界元法的声场分离技术，在将声场分离为向内和向外的声场之后，利用声源表面的刚性边界条件实现了目标声源辐射场和散射场的进一步分离。Hald[19]等人利用基于声强测量和统计最优近场声全息理论的声场分离技术，分别以表面吸声系数和表面阻抗作为边界条件，实现了辐射场和散射场的分离。Fernandez-Grande[20]等人则以声源表面的声压近似作为边界条件，利用基于声压-质点振速测量和统计最优近场声全息理论的声场分离技术对向外的声场中包含的散射场进行了补偿，近似获得了目标声源的辐射场。毕传兴[17]等人提出了基于等效源法的自由场还原技术，同样实现了在噪声干扰环境中对目标声源辐射声场的准确重建。

本文提出一种基于球面波叠加法的自由场还原技术，该技术采用一系列球面波的线性叠加来近似声场，从而避开了边界元法中的奇异性问题和等效源法中的等效源布置问题。该技术尤其适用于球形声源的声场分析。论文将首先介绍球面波叠加法以及基于球面波叠加法的声场分离技术，然后在此基础上利用目标声源的表面导纳作为边界条件推导出基于球面波叠加法的自由场还原技术基本理论公式，并提出一种最优球面波展开项数选取方法，最后通过数值仿真验证该技术的有效性并说明其必要性。

2基本理论

2.1球面波叠加法

对于外部问题，在测量面的一侧为自由场的条件下，可以通过一系列球面波的线性叠加来近似实际声源所辐射的声场。如图1所示，在球坐标系下任意场点r处的声压p(r)和质点振速v(r)分别可以表示为：

（1）

（2）

式中，N为选取的球面波截止阶数，j=n2 n m 1，J=(N 1)2；为介质密度，c为介质中的声速；k=w/c为波数，w为角频率；Cj=Cmn为(n,m)阶球面波展开系数；hn(kr)为第一类球Hankel函数；对应(n,m)阶球面波产生的声压，

对应(n,m)阶球面波产生的质点振速，d/dr表示对r求导，球谐函数为：

（3）

若测量面上有M个测量点rh,i(i=1,hellip;hellip;,M)，则测量面上声压Ph与各阶球面波之间的关系可以表示为如下矩阵形式：

（4）

（5）

（6）

（7）

式中，上标“T”表示矩阵转置，下标“h”表示测量面，为测量面上声压与各阶球面波之间的传递矩阵，C为各阶球面波展开系数列向量。

对式（4）求逆即可得到展开系数列向量：

（8）

式中，“ ”表示矩阵的广义逆。由于球面波展开项数已经被截断，而截断本身具有正则化效果，因此，在求逆的过程中无需进行正则化[22]，将式（8）代入式（1）和式（2），即可求得任意场点处的声压和质点振速。

2.2基于球面波叠加法的声场分离技术

如果在测量面（在下文的推导中，测量面均为球面）两侧均存在声源，测量面上的声压可以分为两部分：向内声场的声压Pin和向外声场的声压pout（向内和向外都是相对测量面而言，其中目标声源的辐射方向为向外方向）。可以表示为：

（9）

（10）

（11）

式中，上标和下标“out”和“in”分别代表向外和向内的声场。是由hn构成的传递矩阵，是由jn构成的传递矩阵。

式（9）——式（11）中存在两个未知量Cout和Cin，因此可以通过在两个测量面上进行测量，如图2所示。

利用方程组进行求解，两个测量面上声压与各阶球面波之间的关系可以写成如下矩阵形式：

（12）

式中，Ph1和Ph2分别为两个测量面Sh1和Sh2上的声压列向量，传递矩阵的上标“1”和“2”分别代表测量面Sh1和Sh2。

对式（12）求逆，可得展开系数列向量Cout和Cin为：

（13）

进而利用Cout和Cin可以分别计算出声场中任意面上向外的声场和向内的声场的声压和质点振速。在测量面Sh1上向外声场的声压Ph1为：

（14）

2.3基于球面波叠加法的自由场还原技术

由式（14）求得的向外声场的声压实际上仍然包含两部分：声源在自由场条件下的辐射声压和干扰声在声源表面产生的散射声压。因此，要得到声源在自由场条件下的辐射声压需要在上述分离的基础上进一步去除散射声的影响。基于球面波叠加法的自由场还原技术的思想正是在上一步分离出向外声场的基础上，进一步利用目标声源的边界条件去除干扰声在声源表面产生的散射影响。

在目标声源表面S0上，向内的声场与散射场的声压和法向振速之间存在如下关系：

（15）

式中，Y0为表面导纳矩阵，下标“0”代表声源表面，上标“scat”表示散射场，向内的声场与散射场的声压和法向振速分别可以表示为：

（16）

（17）

（18）

（19）

式中，Cscat为对应散射场的各阶球面波展开系数列向量。式（16）和式（17）中的Cin已经在2.2节获得，因而Pin和Vin为已知量。将式（18）和式（19）代入式（15）整理可得：

（20）

当边界条件为刚性时，式（20）可以简化为：

（21）

利用Cscat可以计算出测量面Sh1上的散射声压：

（22）

此时，测量面Sh1上向外的声场和散射场的声压均已获得，因此可以求得该面上目标声源在自由场条件下的辐射声压为：

（23）

式中，上标“rad”表示自由场，值得注意的是，在求解散射场的过程中，如果目标声源为任意形状声源，虽然理论上可以获得散射场的最小二乘解，但精度往往不高。因此对于非球形声源，交不推荐采用球面波叠加法求解散射场。

2.4最优球面波展开项数选取方法

球面波展开项数J决定了基于球面波叠加法的自由场还原技术的分离精度。选取过大，会导致测量误差被急剧放大，分离失效；选取过小，则不足以近似实际声场。因此，合理地选取展开项数非常重要。正面将给出一种最优展开项数的选取方法。

根据式（12），测量面Sh1和Sh2上的声压也可以表示为：

（24）

（25）

式中，Cout和Cin分别为展开项数为J时对应的向外和向内声场的展开系数。根据式（24），利用测量面Sh1上声压Ph1可以直接重建出Cout和Cin，需要说明的是，这里获得的C不能直接用于计算向内和向外的声场，这是因为采用球面波进行分离时，由于球面波的传播方向为径向，且测量面为球面，单个测量而上的声压不能反映出球面波传播方向的变化。因此，只通过单个测量面上的声压计算的C不能准确实现分离。在此，只采用重建的展开系数来近似计算测量面S上的声压，将C代入式（25），即可获得对应展开项数为J时测量面Sh2上的声压Ph2，定义重建误差为：

（26）

式中，｜｜表示取2范数。由于展开项数J的选取过大和过小均会引起较大误差，因而在J的范围内，总存在一个最佳的展开项数，使得重建误差err(J)最小，而最小的重建误差对应的展开项数即为最优展开项数。实际应用中，如果存在多个展开项数所对应的误差都非常小，应优先选取较小的J。

  1. 数值仿真

正面将通过数值仿真验证本文方法的有效性。仿真中目标声源为顶部有圆形活塞的刚性球，刚性球的球心位于坐标原点，其半径a=0.5m，顶部活塞对应的角度，振速v=1m/s，由于顶部活塞的面积非常小，因此在计算散射的过程中忽略其影响，仿真1中，入射波为点源辐射的球面波，对应存在干扰声源的情况；仿真2中，刚性球置于一个同心的刚性球腔中，入射波为声源的辐射波在球腔内壁的反射波，对应存在反射声的情况。空气密度，声速为c=343m/s，两个测量面分别为半径rh1=0.6m和rh2=0.57m的封闭球面，每个测量面上分布有294个测量点，在测量面上，经向和纬向的测量间距大致相等。在测量面Sh1上，间距平均为0.125m，最大间距为0.1306m。仿真中加入了40dB的高斯噪声。

为了定量地描述分离的效果，定义分离误差为：

（27）

式中，Psep为采用基于球面波叠加法的声场分离技术或自由场还原技术分离获得的圆形活塞在测量面上产生的理论声压。

如图3所示，点源位于坐标（0，0，2m）处；在不同的分析频率下，分别选取点源源强Q的大小，便利在测量面Sh1上点源辐射声压的2范数和圆形活塞辐射声压的2范数相等。

在不同频率下，最优球面波展开项数不同。为了说明球面波展开项数的选取过程，先选取ka=3.6进行分析。

按照2.4节所述方法，在不同的展开项数下利用测量面Sh1上的声压重建测量面Sh2上的声压，重建误差随展开项数J的变化曲线如图4所示。

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