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天然河道水流一维、二维有限体积计算方案的整合
E. Bladeacute; , M. Goacute;mez-Valentiacute;n, J. Dolz, J.L. Aragoacute;n-Hernaacute;ndez, G. Corestein, M. Saacute;nchez-Juny
摘要 如今，各种各样的洪水模拟模型正在被广泛使用。其中一些模型使用一维的方法，而其他的模型则运用二维模拟，但也有一些模型可以集成一维和二维模拟的性能。后者具有优化计算成本的重要优势，这些模型常用一维模型模拟河道并用二维模型模拟河漫滩。一维和二维水流的耦合通常可以确保质量守恒定律，并可以利用简化的堰型或摩擦斜率方程，但忽略了二者之间的动量传递。本文提出了一种完全守恒的方法，用于有限体积的数值方案的一维域和二维域的耦合。该方法基于确保质量和动量守恒的离散化的数值通量，可用简单的测试用例验证。提出的方案与基于方程源项的标准方法相比，正应用于研究位于西班牙埃布罗河的河流水库系统的水动力特性。
关键词：洪水模型；一维二维模型；有限体积；动量守恒；浅水方程
1.介绍：
洪水模型已经被证明在解决河流动力学问题和发展洪水管理策略方面是非常有用的工具。不同的方法已经被用于这种建模技术。目前存在着广泛多样的建模工具：商业模型，免费模型，开源模型和研究模型。而谈到空间离散化技术，大多数建模工具要么使用一维方法，要么使用二维的方法。
近年来，一些新研究提出将一维和二维方法集成到一个单一的建模工具。通过混合的方法，可以在需要的地方使用更精确的二维方法描述水流，而在其他方面使用一维的方法。这样，当一维方案计算点的数目完全低于二维方案时，计算机时间和内存都得以保存。当模拟大区域时，二维模拟所涉及的点的数目与研究的面积是成正比的，而在一维模型中的截面的数目将取决于河段长度。大区域的完全二维模型可以涉及数以百万计的单元，然而具有相同范围的一维模型可以用不到一千个截面来完成。这种差异非常节省计算时间并减少了对内存的要求，这些都会是二维模型应用的限制因素。计算时间通常根据相关单元的数量呈1.5到2之间的指数增长。方法之间的时间差异从在一维中几秒至几分钟，到二维中几小时，几天甚至几周不等。当使用一维二维混合模型时，每公里的河流可以用一维方法研究，节省关键的时间和内存。一维二维混合模型在使用方面也具有一些优点，例如当在已有河流一维模型的区域中改善河漫滩水流模拟时，或当有关于河流截面的几何信息，但没有全球数字高程模型时。在二维模型的边界条件存在不确定性的情况下，可以将一维模型耦合到二维模型，以扩展范围，并以合理的代价更好地近似边界条件。当使用时间步长受到Courant稳定条件限制的显示格式时，耦合的一维二维模型也可以具有优势。在一条河流和河漫滩的二维模型中，河流通常是时间步长限制因素，因为河流中的水深和流速大于河漫滩的水深和流速。如果在一维-二维中建模相同的区域，则可以使用大于二维单元尺寸的截面间距来增加时间步长的值。
作为已经存在的一维模型（当时唯一可用的方法）的扩展，第一个完整的一维二维耦合模型被研究出来了。这方面的开创性工作是1975 - 1976年的湄公河三角洲的模型[1]，其中使用Preissmann方法求解圣维南方程的一维环形通道水流
模型与使用质量守恒方程连接域的存储单元算法进行了整合。这种方法随后被称为一维-准二维模型，并且很快在迈克-11的第一版中被采用。后来被其他人稍微变化使用，如案例[2]和当前版本的Hec-Ras。如果河床高程高于河漫滩，或者如果在它们之间有坝或堤，准二维方案可以以非耦合方式使用[3]。这种情况不包括壅水效应[4]。当壅水效应的影响不能忽略时，需要一维与准二维方案的耦合[5-7]。准二维方案在确定河漫滩的前波上涨和衰落方面总是受到限制。
将一维模型与二维模型耦合的几种其他方法是可行的。第一个集成完全一维与完整二维的方案被研发出来，采用有限元方案研究威尼斯泻湖[8]的流体动力学因素。它采用了一种独创的方法，其中一维河道将用作低水位的开放河道，并且用作高潮流的低于二维单元的压力水道。数值结果与现场数据[9]和完全二维模型[10,11]二者进行比较，令人满意的一致。之后，在模型中添加了有限体积的泥沙运输模块[12]。集成的一维和二维数值方案也用于使用了Sobek软件的隐格式的荷兰的洪水建模[13]。在这里，Sobek使用了两个通过水位兼容性相互连接又各自独立的计算层。之后，同样的软件吸收了使用流量兼容性来连接两个图式的可能性[14]。这种方法用于伊朗俾路支斯坦河流域[15]和菲律宾比科洛流域[16]。
一维和二维方法的其他组合也被采用了。使用LISFLOOD-FD软件[17-19]，河流主河道的水流在一维中解决，并且通过扩散波方程在二维中解决了漫滩淹没区[4]。 此外，河流中的有限体积和Riemann求解器已经与河漫滩的储存单元结合[20]。 在其他情况下，准二维方法已被用于为完全二维模块提供输入水位过程线[21]。 在[22]中，提出了一种用于恒定流的创新方法，或在忽略衰减效应的情况下。 通过质量守恒方程，使用抛物线浅水方程（PSWE）（浅水方程的简化版本）实现了一维二维的集成。
本文提出了一种用于耦合一维和二维有限体积方案的数值方法。在一维和二维区域中，有限体积法已被用于解决全部的圣维南方程，或浅水方程。有限体积法特别适用于具有冲击和不连续性的不规则网格和水流[23]，例如在地中海河流中发生的那些。最近，这种技术已被用于大量的研究模型，还用于洪水分析的商业软件包，如Infoworks [24]，Mike Flood [25]或Guad2D [26]。这里提出的方法来自于加泰罗尼亚理工大学Flumen研究小组开发的CARPA建模系统[27]。最近，CARPA已经进行了各种改进。一方面，数值方案被改进了，如本文的一个主题。另一方面，基于GiD [28]，一种用户界面友好的界面被开发出来了，这是一种用于有限元，有限差分和有限体积方案预处理和后处理[29]的软件。通过该界面，可以以通用的GIS格式从数字地形模型中读取数据，离散化截面和网格中的几何形状，分配条件，运行模拟并分析结果。这里介绍的一维二维集成方案的开发确保了质量和动量守恒。 该方案针对简单的测试案例进行了验证，并被应用于真实案例（Ribarroja和Flix大坝之间的埃布罗河）。
2.方程和数值方案
一维和二维数值方案都使用具有Roe的Riemman求解器和TVD函数的高精度Godunov方案[30]。 这里使用的一维数值方案的详细描述可以在[27]或[31]中找到。 最后参考文献提出了一些改进措施，以确保该方案提供满足在不规则几何形状下恒定流的能量方程的解法，这些情况尚未在此前已有方案中实现[32]。下面的小节概述了一维方程的基本知识和数值方案，以便更全面地理解一维-二维发展。
2.1一维
不规则河道的守恒形式的一维圣维南方程为：
其中U1D是守恒变量的向量，F1d是矢通量，H1D是源项，A表示过水断面面积，Q是流量，g是重力，S0是通道斜率，Sf是摩擦斜率，h是水深，b是河道宽度和ql是横向流量。 这些方程的有限体积数值方案可以写为：
其中F*1D是数值通量，H*1D是有限体积中源项积分的数值表达式，其中包括河床坡度和粗糙度的影响。 对于一维方法，每个有限体积对应一个横截面长度∆x的段或河段，并且U1D是在有限体积中平均的守恒变量，如图1所示。在这项工作中，[31]中详细介绍的方案是用来解决一维方程。它包括一个有限体积的全变差递减Roe方案，其来源术语为用于不规则(非矩形和非棱形)河道的上风法。在有限体积方案中，质量和动量通过数值通量的方式在单元间转移，这将是用来连接一维和二维的方法的关键。
图1 一维有限体积离散化。 U1D，i-1，U1D，I和 U1D，i 1是每个有限体积的守恒变量的向量，其近似解U1D（x）.F*1D 是每个小区间的数值通量，∆x是横截面之间的距离。
在一维模型中，常用技术（也用于这项工作）是将主河道（C），右岸漫滩（R）和左岸漫滩（L）分开。 在这种情况下，三个小节中的水流分布是从每个子段的输送KL，KC，KR的计算得到的。 整个横截面输送为K = KL KC KR。流量分布QL，QC，QR是与输送成正比（假设在整个横截面中唯一的摩擦斜率）以及对应于每个分段的速度vL，vC ，vR,可以获得：
2.2二维
对于二维方法，使用守恒形式的二维圣维南方程（或浅水方程）：
现在U2D是守恒变量的向量，F2D是通量张量和H2D是源项：
其中h是深度; u和v是x和y方向上的速度分量; Sox和Soy是河床坡度分量; Sfx和Sfy的摩擦斜率分量;并且iR是是降雨强度。基于Godunov方案和Roe近似Riemann求解器[30]，使用有限体积高精度方案，其类似于前面引用的一维方案。在几何源项的离散化中，特别注意以下思路的改进处理[33]。使用元素居中或以单元为中心的有限体积：每个网格单元对应于有限体积。 如在一维方案中，Roe的一阶格式根据Harten的定义被改进为高精度方案[34]。这样，使用了通量限制技术[35]，这种技术加强了（TVD）方案的总变差减小特性。 由此产生的方案主要是二阶精度，但避免了冲击附近的寄生振荡。
对于适用于单元（有限体积）i的二维圣维南方程的任何明确的有限体积方案可以写为：
F*2D，i，w是通过有限体积壁或侧面的数值通量，w是对应于单元i的每个壁的指数，Ni是边的数量。 矢量ni，w与分量nx和ny是单元i的壁w的向外法向量，li，w为其长度，Vi为有限体积i的体积（在二维情况下，如这是一个区域）。对于Roe TVD方案[35]，数值通量为：
其中j是通过壁w与单元i连接的单元，lambda;k和ek是Roe近似矢量的雅可比矩阵的特征值和特征向量：
alpha;k系数和波强：
和uk;vk和ck是守恒变量的平均状态：
通过vk=lambda;k∆t/∆x，流量限制器功能取决于rk，其表示跨越边缘i，j的解的分量k相对于其上风边缘m，n的跃变，其可以在相同的元件上或在另一个元件上。：
在这项工作中，使用Minmod限制器函数[35]：Psi;(r) = max[0,min (r, 1)]
在CARPA中，该方案可以运行在三角形，四边形或两者的组合的不规则网格
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