斜拉桥在车辆荷载作用下的动力响应
及拉索局部振动的影响
摘要
斜拉索是斜拉桥的主要承载构件（CSB），其特点是随着桥梁跨径的增大而体现出较高弹性。这使得拉索容易产生局部振动，对大跨度斜拉桥的动力响应产生重要影响。因此，在斜拉桥的动力学分析中，解释拉索局部振动的对其影响是十分必要的。在本文中，车辆荷载作用下的斜拉桥动力响应分析采用有限元法（FEM）的研究方法，而斜拉索局部振动采用子结构法的分析方法。以一座主要跨径为448米的斜拉钢桥为案例，研究表明拉索在整个桥梁的主要频率产生较大变形，但在一般情况下，斜拉索的局部振动不明显。路面粗糙度对桥面与车辆之间的相互作用力有显著影响，但对桥梁整体响应影响不大。主梁和主塔荷载影响系数较小，索力影响系数大于主梁和主塔位移产的影响系数。
关键词：斜拉桥，车辆荷载，拉索的局部振动，冲击效应。
第1章 绪论
斜拉桥（CSB）在过去的二十年中，其数量和有效跨径都大幅增加。一座斜拉桥的设计主要是基于它在活载作用下的刚度、应力状态和稳定性。冲击效应，即车辆荷载作用下静态变形产生的动态布局比，显著地影响着斜拉桥的可靠度和相关的经济方面问题。斜拉索是斜拉桥的主要承载构件，在外部刺激，如风、雨、地震或交通荷载作用下，由于其重量轻，刚度较小且具有结构阻尼的特点，斜拉索容易产生振动。强烈的振动往往会导致主梁和主塔之间的拉索和周围的锚节点产生疲劳损伤。因此，在车辆荷载作用下的斜拉桥的动态评估，对斜拉索的振动及主梁，主塔和全桥的动力响应有重要影响。
许多研究者已经提出在车辆荷载作用下斜拉桥的动力响应分析。Zaman等人（1996）提出在移动车辆荷载作用下斜拉桥的动力响应结构阻抗算法。Guo和Xu（2001）等人将每个重型道路车辆理想化为用弹簧和阻尼器连接的13个刚体，进行了斜拉桥车辆相互作用的分析。在他们的分析中，路面平整度可以被考虑和描述为一个随机过程的实现，有功率谱密度（PSD）的功能。Au等人（2001）采用一个均值为零的平稳高斯随机过程，研究了随机路面粗糙度对斜拉混凝土桥梁冲击系数的影响。他们发现路面粗糙度对斜拉索的影响取决于拉索长度。拉索越短，冲击效应越显著，对最长拉索的影响甚至可以忽略不计。Das等人（2004）研究了随机路面粗糙度对三跨斜拉桥冲击效应的影响。由于在空间域和时间域的离散化，他们检查错误，以确保准确分析桥梁的影响因子。Calcada等人（2005b）基于桥梁的车辆的动态相互作用开发三维数值模型，以研究真实斜拉桥的动力响应。输入参数，包括移动车辆的数量和布局，通行速度，和随空间变化的路面粗糙度，以上参数均直接从现场测试获得（Calcada et al.,2005a）。通过计算路面平整度，车辆特征和交通流，综合考虑动态放大系数对静态响应的影响，这是由实验结果验证（Calcada et al.,2005a）。最近，Bruno等人（2008）利用连续分布函数描述了不同结构构件间的相互作用力，分析了大跨度斜拉桥在移动荷载作用下的动态冲击响应。斜拉索采用桁架单元模拟，通过割线模量系数计算垂度效应。Au等人（2009）基于香港汀九桥在移动荷载作用下的振动情况，根据记录一年内的车辆荷载，进行了模拟实验，使斜拉桥的动态分析更贴合实际。
这些研究提供了一个车桥动态相互作用的综合性研究和斜拉桥在车辆荷载作用下的动态分析。然而，他们没有考虑拉索振动的影响。对于大跨度斜拉桥，由于其刚度较小，使得桥面的自振频率变得非常低，并且在不同长度拉索的频率范围内，增加桥梁整体振动与桥梁局部振动产生共振的可能性。 Fujino 等人（1993）提出了一种非线性分析模型，以研究“局部”和“整体”振动的索梁体系之间的相互作用机理。后来，为了处理拉索支撑梁上作用的准静态运动，并且将拉索振动解释为一个拉索支撑的准静态组合运动和拉索的模态运动。他们以更全面的的方式研究了这个问题（warnitchai et al.，1995）。索梁体系也同样被Gattulli和lepidi（2007）应用于研究系统动态特性的局部和转变。Caetano（2008）分析了斜拉桥的动态响应，移动荷载，考虑拉索和桥面之间的相互作用。Wu等人（2003）基于一座现有的350米跨斜拉桥，研究了拉索局部振动的响应特性。在研究中采用了单自由度（DOF）车辆模型，并采用叠加法得到动态桥梁反应。他们发现，当桥梁在作用交通荷载时，会发生轻微的变形。考虑到斜拉桥特点的复杂性和叠加法的原理，计算的精度取决于模型中模式的选择。
在本文中，采用有限元法（FEM）来研究车辆荷载作用下桥梁的动态响应，并采用子结构方法来考虑拉索局部振动的影响。在本文中，路面平整度采用蒙特卡洛方法，将车辆视为一个四自由度集中质量模型。采用直接积分的Newmark -beta;法计算桥梁与车辆之间的耦合振动。以一座中间跨径为448米的斜拉桥为研究对象，研究了在不同车速条件下拉索与桥面的耦合振动。计算和讨论了各种结构件和物理量的影响因素。本文为拉索的振动和计算斜拉桥冲击效应提供了理论参考。
第2章 桥梁与车辆耦合系统的数值模型
2.1桥梁的运动方程
车辆荷载作用下斜拉桥的振动通过有限元的方法建立梁和拉索单元。Nagai等人（1993）提出的子结构法来应用于考虑拉索的局部振动。每个模拟拉索分成Nminus;1连动杆单元（图1）。
为了提高对斜拉桥动态分析的计算效率，拉索的局部振动采用子结构方法。根据叠加法，拉索的振动由索支护的振型和几种振型组成。该方法的准确性取决于计算中采用的模式的数量。对于类似于拉索的柔性结构，其振动主要由低阶模态分量组成。
每个拉索的自由振动的运动方程可以表示为
其中mij是质量矩阵的子矩阵,kij是矩阵的刚度矩阵，d1，dn是锚索支护的位移矢量,
di表示拉索内部节点的位移矢量。根据叠加法（图2），di可分为两部分,索支承运动与模态运动。在本文中，拉索的模态运动假定几种有固定支撑的拉索的几个低阶模态的组合。所以，di近似为
且q为广义坐标向量。Phi;是由两个固定端组成的索的模态矩阵，并用方程（1）求解本征值问题
phi;i是自然状态，m是振动计算的模态量
因此，公式（1）可以转化为公式（5）
在Mc和Kc的质量和刚度矩阵中，自由量减少后，M crsquo;和Kcrsquo; 是等效质量和刚度矩阵,I是单位矩阵。
梁和塔的三维梁单元模拟。主梁的横截面如图3所示，由主梁和附属结构如人行道和栏杆等组成，其刚度不考虑。G和S分别表示几何中心和剪切中心。假设是梁发生变形时横截面保持平面垂直于中性轴。截面的位移可以表示为
其中W、U和V分别是截面中对应点的轴向、横向和纵向位移，WG是几何中心的轴向位移，而Us和VS则是侧向位移的剪切中心，theta;Z是扭转角。其他参数如图3所示。X、Y和Z轴分别设置在桥的横向、纵向和纵向上。U和V的分别对Z和z关于z轴的微分。
考虑到主梁和附属结构之间的密度差异，动能Te可以表示为
在以上的可变点表示时间导数t，g是重力加速度。gamma;S和gamma;1是单位体积的重量，而VS和V1分别是梁和附件的体积。
忽略剪切力引起的剪切应变，梁单元的应变能Ue是
E为杨氏模量，G为剪切模量，εZ为纵向应变，gamma;为扭剪应变。
由于外力的单元的势能可以表示为
在PX，PY和PZ的分布荷载在X，Y，和Z向，分别和MT是分布式的扭转力矩。
通过基于外力进入的汉密尔顿原则引入动能，应变能和势能，运动方程三维梁单元可以表示为
其中A是横截面的面积，IX和Iy的惯性矩，和J是扭转常数。其他参数定义为
在和的区域分别为主梁和附属结构的横截面。
随着形状函数的引入，单元的位移可以用节点位移矢量表示
模型函数是
Lij是单元的长度。单元的节点位移矢量是
其中下标i和j分别代表节点的元件参数。通过引入公式（13）公式（11），可以得到考虑附属结构质量影响的梁单元运动方程。
2.2车辆桥运动方程相互作用
在车桥相互作用的计算中，桥梁的运动方程是
其中M为质量矩阵，K为刚度矩阵，C为结构阻尼矩阵，u、u和u分别为桥梁加速度、速度和位移响应，且F（T）是桥梁的外力矢量。采用瑞利阻尼，alpha;0和beta;0为瑞利阻尼因子。
质量弹簧阻尼系统（图4）是通过模拟车辆确定（桥梁振动专责委员会，1993）。四自由度为：垂直位移，车身的转动，和两个车轴的垂直位移。
车辆模型的运动方程是
Mc，Kc，和CC分别为车辆模型的质量、刚度和阻尼矩阵，FC（t）是车辆荷载向量，Cu，Cu和UC = [theta;，ZS，ZTF，ZTR ] T分别表示加速度、速度和位移向量，theta;为车辆身体的旋转角度，且ZS，ZTF，和ZTR分别是车体前轮和后轮的垂直位移。
桥梁与车辆之间的相互作用力可以表示为
Ms和Js分别表示车身的质量和惯性质量，lambda;是两轮之间的距离，M是车轮的质量。下标f和r分别表示前后轮。
公式（17）及（19）因车辆与桥梁的相互作用需采用迭代计算。采用Newmarkbeta;计算方法
且迭代的收敛取决于FF和FR的相互作用力的值。
第三章 斜拉桥的模型计算
3.1桥梁与车辆参数
以中国宁波的杭州湾跨海大桥北部分作为研究对象，研究探讨在车辆荷载作用下拉索局部振动对大跨度斜拉桥动力响应的影响。图5所示桥梁设计方案，一座主跨448米，边跨各230米的钢箱梁斜拉桥。
半跨斜拉桥三个桥墩编号分别为P1，P2，P3。中墩P2位于边跨，距梁端70米。主梁在纵向上的位移与主塔的位移无关。表1列出了结构参数的详细信息。每个斜拉索分为十个相互连接的单元和模式前四阶考虑为动态分析。
瑞利阻尼因子为alpha;= 0.05和beta;= 0.0005。图6显示了阻尼比随频率f的分布，且低于1%的桥梁的主要频率。载重量为250 KN的车辆的参数见表2。
3.2路面平整度的数值模拟
通过PSD函数的一个随机过程来获得路面表面的粗糙度。在这项研究中采用的月台幕门的描绘与虚线
图7a，哪里Ω是频率（周期/ m），S（Ω）是道路的粗糙度的自由度。两种粗糙度（粗糙度的1和2）被认为是，和相应的PSD曲线在图7a提出。在“一级”的范围内都是粗糙度条件（非常好的路面条件）根据iso-8608（1995）。粗糙度2的PSD是粗糙度1的10倍。通过对PSD的美德，用蒙特卡洛的方法得到图7B的粗糙度。
第4章 结果与分析
4.1桥梁的动力特性
斜拉索编号如图八所示，边跨斜拉索从主梁至主塔编号为C1-C14，跨中斜拉索从主塔至跨中编号为C15-C28。分别研究了A、B、C和塔顶D等部分对车辆荷载的响应。斜拉索分段锚固在A，B和C的编号分别是C10，C21和C28。
斜拉索的出入平面频率和桥梁的整体模态频率前两个阶如图9所示。除了纵向浮动模式的桥梁，桥梁的频率接近拉索频率，表明该桥的振动将很容易受斜拉索频率的影响。桥梁的主要整体模态如图10所示，同时显示了拉索的局部模态。
在桥的整体弯曲模态中观察到较长拉索的局部模态（图10）。中等长度拉索的局部模态存在于桥梁的反对称弯曲模态的二阶中，桥梁的扭转模态在跨度中心的长拉索的局部模态中体现。索桥耦合振动（图10）与图4中的频率分布是相同的（图9）。
4.2桥梁与车辆之间的相互作用力
假定车辆从桥的中心线（图5）行驶10米的速度为20米/秒。
在三个路面粗糙度条件下，轮轴与桥梁之间的作用力f值如图11所示。L = V T是车辆在桥上行驶的车轮的位置，V是车辆的速度，T是车辆的行驶时间。
路面的粗糙度显着影响F值，尤其是后轮路面粗糙度2。当道路平稳时，作用力几乎是恒定的。因此，使道路畅通是减少桥梁与车辆相互作用力的有效途径。
4.3主梁的振动
图12显示了在速度80公里/小时行驶的车辆在一单车辆通过桥面时，主梁的静态和动态的变形（沉降），主塔和主梁的振动幅度不大，位移响应主要由静挠度引起。虽然梁和塔的振幅随着路面粗糙度的增加而增大，但主梁和塔的影响系数仍然很小，挠度主要是静态的。因此，主梁和索塔的影响值低于斜拉桥设计。
4.4斜拉索的振动
图13显示了不同长度斜拉索的水平和垂直位移响应时，路面粗糙度为2。结果表明与主梁相比，车辆荷载作用下拉索的振动幅值和影响系数较大。一个短的斜拉索如C14，在纵桥向的振动分量的幅度似乎很大（图13a）。对于一个中等长度的斜拉索如C7，由索梁相互作用产生的垂直振动分量比较大（图13b）。长斜拉索C1的振幅与车辆的位置有关。根据图中的结果，虽然拉索的影响因素很大，但拉索局部振动对桥梁整体振动的影响是可以忽略不计的。
讨论拉索局部振动和桥梁整体振动的关系，拉索C10的动态响应，粗糙度2路面条件下C21和C28和它们在主梁和索塔的支撑下进行了计算（图。14 - 16）。位移、速度和塔顶部加速度反应在C10，C21和C28上支撑受力。
图14显示了斜拉索及其支座纵向振动的时间历程。当车辆通过的拉索锚固位置时，索的振动振幅大于塔架和主梁的支撑。当车辆远离拉索的锚碇时，这些截面的位移大于主梁的位移，小于主塔的位移。
拉索的竖向位移响应如图15所示。C10和C21位移响应大于其支撑塔的振动，小于梁的振动。两条中长索的变形遵循梁的整体位移响应。然而，C28振动与其支撑不同步，这表明一个长拉索由于车辆荷载的局部振动的发生。
横向振动的拉索（图16）是独立其支撑塔和梁振动的。拉索的C10的横向振动频率较高部分是拉索的局部振动。
为了调查拉索的振动的频率分量，静态位移减去拉索的动态响应和频域信息是通过傅立叶变换（FFT）获得。结果如
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