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基于2.5D有限元的离散支撑铁路轨道模型
Xianying Zhang, David J. Thompson,QiLi, Dimitrios Kostovasilis,
Martin G.R. Toward, Giacomo Squicciarini, Jungsoo Ryue
摘要：
铁路轨道的动力特性对滚动噪声的产生和钢轨波纹磨耗的发展都具有重要意义。传统的轨道由周期性地安装在横向轨枕上并用道碴支撑的长轨道组成。为了提高对轨道噪声和振动的预测，提出了一种基于2.5维（2.5D）有限元法的离散支撑轨道模型，用于无限长的自由轨道的建模。该方法使用一种导纳综合方法，通过一系列代表各个轨垫的弹簧阵列，耦合到一定数量的轨枕。轨枕由弹性地基支撑的柔性梁表示。给出了点导纳和轨道衰减率的计算结果，并与软轨垫和硬轨垫的相应实测结果进行了比较。预测结果与实测结果吻合很好，特别是对于有软轨垫的轨道。结果表明，与刚性质量模型相比，柔性滑轨模型的计算结果有了很大的改善，特别是对于有刚性轨垫的轨道。
关键词：
离散支承轨道；波导有限元；2.5维；轨道；柔性轨枕；铁路轨道动力学；钢轨垫板；轨道衰减率
绪论
铁路轨道的高频动态特性对铁路滚动噪声的产生具有重要意义[1]。通过与车轮的动力相互作用，他对钢轨波纹磨耗的产生也有着重要的贡献。除钢轨外，典型的有碴轨道由轨垫、轨枕和道碴组成；钢轨振动受支撑钢轨的这些部件的影响。一个合适的轨道动力学模型应该考虑不同构件之间的相互作用以及支座的离散性。对于在噪声预测中使用的频率范围至少应考虑到5000赫兹[1]。
许多作者使用Euler-Bernoulli或Timoshenko梁理论来表示钢轨的垂直动力学，通常假定等效的连续支撑[2-5] 尽管这些模型在垂直动力学方面比较成功，但由于忽略了扭转，这些梁模型并不能很好地预测钢轨的横向响应。此外，简单的梁模型不能在高频下可靠地使用，因为在高频下，截面变形变得非常重要。这已经通过实验观察到，即当频率高于1500赫兹时发现横截面变形明显[7]。为了克服这一限制[8,9]，人们采用了多种梁结构来研究钢轨的垂直和横向振动，但它们都是基于近似值的。
在实践中，尽管连续支撑模型针对于动态行为的总体趋势给出了一个很好的粗略估算，但轨枕提供的轨道支撑的离散性有着显著的影响。最大的影响发生在钉扣频率周围，此时轨枕间距对应于钢轨中半个弯曲波长。特别是固定的钉扣频率与某些形式的钢轨波纹磨损有关，这会对导致过度的噪声并造成轨道结构的损坏[10]。Grassie等人[11] 提出了一种离散支承的轨道模型，在该模型中，轨枕由通过阻尼弹簧（轨垫）沿固定间距均匀地固定在欧拉梁（轨）上的集中质量表示，并由第二层阻尼弹簧（道碴）支承。结果表明，在轨枕之间的钉扣激励频率处有一个强共振峰，并且在轨枕上方有一个相应的激励倾角。Tassilly[12]还将轨道建模为周期性支撑的欧拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁，他给出了波数与频率的微分关系，Ono和Yamada[13]还用Euler-Bernoulli梁模拟了钢轨，研究了振动在道碴和地面中的传播。Heckl[14]提出了一种离散支撑的轨道模型，其中使用无限长的Timoshenko梁来表示轨道。这个无限长的梁在离散点由弹簧/质量/弹簧系统代表的轨道支架（轨垫、轨枕和道碴）支撑在一定长度上。每个支撑系统被认为对钢轨施加一个点力，这意味着轨道可以简单地表示为一个有多个点力作用的梁。利用有限个离散支撑数，也可以研究随机间距的影响。将该方法应用于Wu和Thompson[8,15]的多梁模型中，研究了离散支承钢轨的垂向和横向振动响应。Heckl[16]还发展了一个无限长梁的无限多周期支撑模型，以研究梁中所有三个方向上的耦合波。
有限元（FE）技术也可用于将横截面变形的影响纳入高频轨道响应中[7,17-19]。在参考文献中[17] 和[18]中，建立了有限长钢轨的有限元模型，通过在有限长钢轨两端应用对称或反对称边界条件，得到了与无限长钢轨中的波相对应的振动模态，从而确定了钢轨的声传播特性。这是针对自由悬挂的轨道[17]和连续支撑的轨道[18]进行的。然而，这种方法不能用于确定力反应。Knothe等人[19]简要说明了有限元法及其在钢轨上的应用，并对不同模型的性能进行了比较。Betgen等人[20]最近也使用了无反射边界长轨道的有限元模型来预测轨道衰减率。
传统有限元法的缺点之一是计算量大，特别是对于需要高频分析的模型，因为需要考虑相当长的钢轨。因此，许多作者采用了另一种数值计算方法，即2.5维有限元法（2.5D FE），这种方法在文献中也被称为半解析FE（SAFE）法[21]和波导FE法[22,23]。它用于表示具有二维（2D）几何结构且在第三方向不变的结构。在通常的形状函数假设下，横截面可以用带有特殊单元的二维有限元网格进行建模，而波解假设在第三个方向。自由波的传播可以被确定以获得传播曲线，而强迫响应可以被确定以作为频率响应函数。该方法已用于研究各种结构：杆[24]、薄壁梁[25]、肋加劲板[26]和汽车轮胎[22]。它也被用来研究钢轨振动。早期相关工作由Knothe等人[19]和Gavric[27]完成以获得在无支撑轨道上传播的自由波。通过使用这种方法，Ryue等人[18] 测定了波在高达80 kHz的连续支撑轨道中的传播，而Nilsson等人。[23]采用耦合的2.5d有限元和边界元模型，计算了点力激励下无限长连续支承钢轨的振动和声辐射。在这些研究中，轨道中只考虑了代表轨道垫的单层轨道垫支撑[18,23]。最近还用类似的方法研究了自由轨道和连续支撑轨道的分散关系和力响应，其中包括轨道支撑的多个层[28]。
对于目前讨论的轨道模型，轨枕要么被省略，要么被建模为刚性质量。这种简化忽略了整体式轨枕在100赫兹以上频率范围内的弯曲模式[1]。克拉克等人 [29]建立了轨道垂直振动的理论模型，该模型由有限长度的轨道组成，轨道被分成若干相同的间隔，间隔由柔性轨枕/梁支撑。该模型采用模态分析技术求解，但只考虑了离散柔性轨枕的对称模态。Grassie和Cox[30]将轨枕的对称和反对称弯曲模式都包含在连续轨道模型中，其中轨枕被建模为支撑在弹簧层上的有限均匀Timoshenko梁。Nielsen和Geland[31]也使用梁有限元来模拟轨道中柔性轨枕的行为。Grassie[32]后来提出了一个简单的均匀Timoshenko梁模型。分析结果表明，除第一弯曲模态外，该模型的计算结果与实测的自振频率吻合较好，其中轨枕截面变化的影响最大。TWINS模型中也使用了类似的模型来计算滚动噪声[33,34]，但其中包含了以弹性层表示的道碴。
在上述模型中，轨垫通常表示为钢轨和滑轨之间的单点连接，或者表示为弹簧-阻尼系统，亦或是表示为滞后阻尼弹簧。然而，轨垫的面积是不可忽略的，Gry结合2.5D有限元模型和周期结构理论提出了一种离散支撑的轨道模型[35]。钢轨支架由弹簧-质量-弹簧系统建模，该系统代表枕垫、轨枕和道碴。每一个轨枕通过弹簧在三个点连接到钢轨上，每个点都有三个方向，位于横跨钢轨的一条线上。基于单频振型，将钢轨响应扩展为自由钢轨中有限数量波的和。在1500hz频率以上，由于轨道模型中采用了集中支承，试验数据与预测结果有明显差异。
Ferrara等人 [36]在其模型中将钢轨轨垫视为一系列无质量弹簧阻尼器元件，并将其放置在轨枕宽度（即沿钢轨）上，其中钢轨采用Timoshenko梁有限元离散。结果表明，钢轨受力（单位力随频率变化的位移函数）的预测与试验数据吻合较好；钢轨轨垫点接触模型与分布模型的主要区别出现在钉扣频率范围内。Oregui等人[37] 利用建立的三维有限元模型，对整体式轨枕铁路轨道的垂向动力学进行了研究，其中14.4 m的长度用于具有固定轨端的轨道（24个轨枕间隔）。还考虑了代表轨垫的不同弹簧配置的影响。Mazilu和Leu [38]还研究了每个轨枕处的多弹簧阻尼器系统的影响。布兰科等人[39]最近提出了一种基于Timoshenko梁单元的新的离散支撑模型，该模型包括轨道和轨枕之间的弹性地基。
本文介绍了一种新的轨道模型，其目的是通过引入离散支承和钢轨截面变形来提高噪声和振动的预测。这是一个离散支持的轨道模型，基于使用2.5d有限元方法建模的无限长轨道[23]。轨道通过表示每个轨垫的多个连接装置连接到有限数量的离散轨枕。轨枕用柔性梁表示，并由道碴支撑。采用一种导纳综合方法，通过一系列表示轨垫的弹簧实现钢轨与轨枕的耦合。当前模型是Li等人[40]所用方法的改进和扩展，并在第2节中进行了描述。在第3节中，利用该离散轨道模型预测了有碴轨道的垂向和横向动力响应，并与现场实测结果进行了比较。最后，第4节讨论了对各种参数的依赖性。这考虑了轨枕、钢轨和轨垫模型对轨道动态特性的影响。
离散支承轨道的振动建模
离散支承轨道振动的建模方法多种多样。本文采用的方法基于Heckl[14]提出的方法，该公式适用于钢轨的2.5D有限元模型。用相应的反力代替离散钢轨支座，使钢轨被视为一个具有多个点力作用的无限长结构。采用2.5D有限元模型得到钢轨的动柔度，利用叠加原理得到钢轨对外力的响应。
导纳综合法
对于由源结构和接收器组成的耦合系统，由柔性隔离器连接，动态响应可根据交界面处各系统的导纳形式来确定。这在图1的一般术语中有说明。在本例中，源代表钢轨，接收器代表轨枕，隔离器代表轨垫。外部力作用于源结构的任意点。源、隔离器和接收器之间发生相互作用，如图1所示。为简单起见，该图显示了垂直相互作用力，但在每个连接点处，作用力可向多个方向移动。假设隔离器是无质量的，以便相同的力作用在源和接收器结构上，但方向相反。假设在圆频率下谐波运动，源结构（轨道）的点位移可被表示为[14]：
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(1) |
式中，是其在连接点i处对激励点处的单位力在自由轨道上产生响应的转换率；是其在连接点i处对点j处的单位力作出响应的转换率。
连接钢轨和轨枕的弹簧的相对位移为：
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(2) |
式中，为i点处轨枕的位移；为由于连接点j处的作用力，在i点处产生相应位移时弹簧连接处的转换率；为j点处的相互作用力。实际上，当i不等于j时，。
对于轨枕来说，连接点的位移表示为：
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(3) |
对于假设为非耦合的不同轨枕上的连接点，，但允许一个轨枕上有多个连接点，在这种情况下，其值非零。考虑到所有的连接点，三种结构的运动方程都可以用矩阵形式表示：
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(4) |
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(5) |
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(6) |
式中，为每根弹簧位置处轨底位移，为对应点处轨枕顶面位移。，和分别是由于弹簧位置处的力而在钢轨、轨垫和轨枕的每个连接点处产生的导纳的矩阵。是由于外力作用而在连接点处产生的导纳的矢量。
加上式（5）和（6）得出：
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(7) |
将式（7）代入式（4）并重新排列得到：
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(8) |
式中。1是单位矩阵。因而可以得到为：
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(9) |
轨道任意点的位移最终可以计算为：
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(10) |
式中，是指在钢轨上的每个弹簧位置处，在单位力作用下，在钢轨的k点处给出响应的导纳矢量；是从外部力到响应点k的转换导纳。注意，上述公式中未规定轨枕间距；这意味着耦合轨道系统可能具有具有任意间距的离散支承。
钢轨2.5维有限元模型
为了表示无限长的自由轨道，采用了2.5D的有限元模型。这里简要地描述了这种方法；更多细节可以在参考文献[23]中找到。假定结构在x方向上是不变的，用常规的二维有限元法和特殊单元在y-z平面上离散其截面。这种结构在圆频率下的谐波运动方程可以写成：
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(11) |
其中K2、K1和K0是刚度矩阵，M是质量矩阵。矩阵K2和K1是2.5D方法所特有的，和是节点自由度处的位移和外力关于x的函数。为了得到波数域中的运动方程，对x坐标进行了傅里叶变换。
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(12) |
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(13) |
式中，k是在x方向的波数，而波形号表示波数域中的傅里叶变换特性。式（1
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