英语原文共 8 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
5.颗粒覆盖晶格的弹性性质
5.1复合材料杨氏模量的上下界
还原分析模型是计算复合相杨氏模量的最简单方法。其中并联和串联模型是相当基本的。在并联模型中，两层材料以水平层次的方向加载。假设两个材料层具有不同的杨氏模量（即聚合物层的 Ea 和基质层的 Em），则可以计算早期复合材料的模量。
其中 Vm 和 Va 分别引用矩阵和总量百分数。在串联模型中，两层材料垂直于主材料层方向加载，我们获得以下公式
在图5.1中显示，并联模型是连接 Ey 0% 和 100% 聚合百分数的直线，串联模型接近最低曲线，即较低的哈希因边界。上部曲线是下面所解释的上部哈希因边界。例如，Wittmann, Sadouki, 和 Steiger1993年在砂浆研究上取得的实验结果，就很好地处在这个界限之间，这个界限被认为是2相复合物杨氏模量的完美边界。当总体积百分数超过50％时会出现偏差，我们将在5.2节中讨论这些偏差。
图 5.1
两相混凝土的杨氏模量的界限，该两相混凝土由球形骨料颗粒嵌入w / c比= 0.38的连续水泥基体组成。显示的实验结果是由Wittmann，Sadouki和Steiger1993年在混凝土和水泥基复合材料的微力学实验中获得的。上限（直线）代表平行模型，下两条曲线是Hashin边界，它是方程的精细化结果。
当然这个结果有很多改进的可能，纽曼1968年提出了并联模型和串联模型的几种变化。Hashin及其同事提出的边界已广为人知，并且得到了广泛使用：可以在Hashin1965年和1983的研究，Hashin 和 Shtrikman1963年的研究中发现。
在二维模型中，栅格方法类似于纤维复合材料的横截面，截面为圆形，直径从无限延伸到有限。以认为每个圆柱都由被同心基质壳包裹的圆形纤维组成。由于纤维尺寸分布广泛，一个平面可以被认为是完全填充的。这种纤维组合的横向性能界限由Hashin(1965)确定，即横向平面应变模量界限为K(-)和K( )，同时也是横向剪切模量的上下界。为了分析二维粒子复合材料的弹性模量，其中粒子实际上是不同直径的圆柱体(参见第4章)，可以使用Hashin边界来与数值模拟的结果进行比较。
Hashin1965年给出了平面应变体积模量K的上限和下限如下：
And
K和G分别为骨料相和基质相的体积模量和剪切模量，分别等于：
只需要考虑体积弹性模量，当然，还有骨料阶段和基质阶段的相应指数(a和m)。
字母V代表体积分数。在所有对骨料和基质材料的数值模拟中，泊松比v均设为0.2，简化了方程。利用式(5.4)，复合材料的杨氏模量的上下界可以用复合相的杨氏模量及其体积分数来表示
在三维情况下，聚合物是球形的，而不是二维模拟中出现的圆柱体。因此，二维模拟最多只能是对三维粒子复合材料真实表现的粗略近似。对于嵌入在基质相“ m”中的球形夹杂物“ a”的复合物，Hashin和Shtrikman(1963)推导出体积模量的界限如下
在Hashin和Shtrikman1963年的研究中，也给出了剪切模量的界限，用体积分数和两相的弹性性质表示。这里我们不提供这些信息，因为只有有限的E和K分析可用，下一部分对此进行了概述。
5.2两相骨料复合材料的有效杨氏模量
如上所述，最好通过简单的数值线性弹性框架分析确定晶格的弹性。可以使用任何支持每个节点3自由度的梁单元的有限元代码。
数值模拟在分析混凝土等颗粒复合材料时特别有用。材料结构对弹性性能的影响是可以确定的，比如颗粒体积对有效弹性模量和泊松比的影响，Van Vliet2000年和Lilliu2007年分别对二维和三维晶格进行了研究。一个重要的前提条件是分析的结构要大于材料的代表体积。对于诸如混凝土和几种岩石的粗颗粒材料，RVE可能会很大，通常要分析的试样的特征尺寸会超过100 mm。对于单次弹性分析，即使元素数量超过105个或更多，也不是真正的问题，但是，对于必须应用许多连续荷载步长的断裂分析，这通常可能会导致计算问题，并且必须恢复到原来最高水平的可用计算机（参阅附录1）。
图5.2显示了Van Vliet2000年分析的材料结构的一些示例。在情况I中，使用了连续的粒子分布（富勒分布；参见第4.3节），并且粒子的总体积发生了变化。情况二基于相同的粒子分布，但通过系统地移除最小尺寸分数的粒子来减小粒子体积。因此，在图5.2d（案例II）中，所有颗粒均存在；在同一行的其他结构中，从右到左的最小颗粒部分被省略，从而减小了总颗粒体积。在案例III（下排）中，仅使用了聚集元素和粒子元素的随机混合，粒子束的数量从左到右增加。
注意，这些2D分析中的粒子体积解释为粒子面积。在所有情况下，结构的厚度都是恒定的，等于t = 1毫米。沿着结构的顶部边界，在垂直方向上施加均匀的位移。下排节点在垂直方向也固定，下排和顶排的中间节点在水平方向固定。晶格束的长度为1 mm，比引入的最小聚集颗粒小，但仍足够大以导致颗粒形状变形（见图4.13c）。正三角形晶格的大小为80times;92，形成约80times;80平方毫米的结构（请注意，当x = l时，正三角形晶格y = lv3 / 2，这说明了y方向的更大数值）。
在图5.2中，Pk表示总百分数，如公式（4.4）所定义。
图5.2
案例I（上排）：连续（富勒）分布，P介于10％和100％之间（有关P的解释参见正文）。
有效骨料含量Pklatt分别为0.03、0.19、0.34和0.47。情况二（中间行）：连续富勒分布，其中通过除去最小的颗粒分数（从右到左；中间行）实现了颗粒含量的变化。有效骨料含量Pklatt分别为0.02、0.11、0.22和0.35。情况三（下排）：骨料梁和基体梁的随机混合；
聚合光束的比例从10％（左）增加到90％（右）。
在这种情况下，不影响晶格覆盖后的有效骨料含量。（基于Van Vliet.2000年的研究：混凝土和岩石拉伸断裂中的尺寸效应。在Marcel van Vliet博士的允许下使用）。
由于晶格覆盖和聚集分布的生成方式（忽略最小的粒子），存在一些损失，Pt的有效值始终小于所指示的值。因此，例如，对于具有P ＝ 1的情况I，有效值Pkef ＝ 0.80。晶格叠加后，最后只有1mm的三角形晶格，剩下的Pklatt = 0.48。在实际的混合物中，总含量达不到100%也是有充分理由的。
实际上，最大可能数量大约为50％，但是该值在某种程度上取决于聚合大小。在实验中，Wittmann，Sadouki和Steiger（1993）表明，随着砂粒含量（d lt;4 mm）的增加，颗粒含量突然达到50％或更高时，就会出现更高的孔隙度，这可以由以下事实来解释：没有足够的水泥基质来封闭所有的颗粒，颗粒周围的水泥带变得比最小的水泥颗粒薄，复合结构被破坏。
结果对复合材料的整体杨氏模量有明显的影响，如图5.1所示。令人欣喜看到已证实的是，材料行为的许多方面都直接与材料结构中的几何约束有关。
现在让我们讨论一些数值结果。我们将自身限制在垂直（y-）方向上施加的载荷； Van Vliet还考虑了在水平（x-）方向上的加载，这是有道理的，因为规则的三角形晶格具有三重对称性，并且在笛卡尔坐标系中被破坏。图5.3显示了两组数值分析的结果。在图5.3a和5.3c中，骨料的杨氏模量为25 GPa，基质的为10 GPa。在图5.3b和5.3d中，情况相反，骨料的杨氏模量小于基质。后一种情况类似于轻质混凝土。
在所有图形中，开、闭符号都是数值分析的结果。对于连续的粒子分布（图5.3a，b），晶格覆盖后达到的最大P不超过48％。但是，如预期的那样，对于骨料和基质元素的随机混合物（案例III，图5.3c，d），整个骨料百分数范围（0-100％）是可能的。图5.3中的实线是使用简单的分析模型（如串联模型和并行模型）以及Hashin边界（公式（5.5），参阅第5.1节）计算的边界。所有数值结果都很好地介于这些分析模型所预测的上下边界之间，这表明可以从这些相对简单的晶格模型正确预测弹性属性。
聚集分数为0％时，可以发现基质材料的杨氏模量；当骨料分数为100％时，可以发现骨料晶粒的模量。在这两者之间，数值结果遵循分析模型的趋势。需要注意的是，颗粒结构中聚集体含量的变化方式不重要（比较情况I和II，图5.3a，b）。
案例三的随机材料结构的结果始终高于其他两个案例。应该提到的是，此处显示的结果仅对所选晶格几何有效，即三边对称正三角形晶格。对于其他晶格几何形状，例如随机晶格（Vervurt等1995年提出），必须重复相同的分析以校准模型。
图5.3
具有不同骨料含量的正三角形栅格的有效杨氏模量:(a)和(c)骨料模量大于周围基质;(b)和(d)显示的是高模量基质中的低模量骨料。(基于Van Vliet.2000能之后的研究：混凝土和岩石拉伸断裂中的尺寸效应。经Marcel van Vliet博士许可使用数据。)
5.3三维有效弹性
对于三维晶格，Lilliu(2007)做了与上一节相似的二维分析。同样需要一套完整的新分析，但现在在是三维的情况下。Lilliu采用三维晶格，随机度为0.5。3D随机晶格是Vervuurt方法基于Mourkazel和Herrmann1992年研究随机晶格的扩展。该分析是针对2mm到14mm范围内更充分的分配进行的。晶格叠加后的最大集合密度等于0.30。同样，在前一节中，忽略了ITZ的影响，基本上考虑的是两相材料。当然，改进是可能的，并且可以包括ITZ，这意味着必须再次重复整个系列的分析。应该再次提到的是，取决于在晶格中处理ITZ的方式，可能需要对模型进行巨大的改进，但是对于确定整体弹性特性所需的单个分析而言，这可能并不是一个无法解决的问题，至少，与断裂分析相比是如此（参见第6章）。
图5.4
具有不同聚集密度（具有富勒分布的球形粒子）的三维随机晶格（A / s = 0.5，s = 1 mm）的有效整体剪切模量G *（a）和有效整体体积模量K *（b）。
（基于Lilliu.2007年关于混凝土断裂过程的3D分析，获得Giovanna Lilliu博士的准许引用数据。）图5.4为Lilliu所得结果。选取基体和聚集颗粒的基本性质，与Anson和Newman(1966)的实验数据进行比较，即En=28.3 MPa, E =69 GPa。相同的泊松比v = 0.218被分配给集料状态和基质状态。很明显，这种比较对于4.2节的二维情况是没有用的。图5.4中的两个图表分别是有效的整体剪切模量G *（图5.4a）和有效的整体体积模量K *（图5.4b）。如前所述，我们将其与Anson-Newman数据以及Hashin-Shtrikman界限进行了比较，后者在式(5.6)中仅对体积模量进行了比较。
数值晶格分析，实验数据和Hashin-Shtrikman边界之间的比较结果是非常令人满意的，这表明晶格可能成为分析无序材料（如混凝土和岩石）行为的可行工具。在接下来的章节中，我们将回到断裂问题的分析。
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[240275]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
