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大跨度桥梁随机风速场模拟
摘要: 本文介绍了一种改进的算法，用于给出了场的互谱密度矩阵时的大跨度桥梁随机风速场的数值模拟。目标风速场假设为一维、多元、齐次随机过程。使用的基本模拟方法是谱表示法。通过以代数公式的形式显式表达互谱密度矩阵的Cho-lesky分解，然后在不影响结果精度的前提下，尽可能多地切掉余弦项。快速傅立叶变换技术用于提高计算效率。本文给出了一个抖振分析仿真的数值例子来说明所介绍的改进方法。证明了模拟相关函数与目标之间的偏差足够小，模拟功率谱接近目标。
介绍
随着大型桥梁跨度越来越长，风对桥梁的影响越来越突出；因此，目前认为有必要对大跨度桥梁的风致抖振进行分析。大跨度桥梁的非线性响应可以通过时域分析得到足够精确的计算，因此这种方法在抖振分析中得到了广泛的应用。在非线性抖振时域分析中，桥面随机风速场的模拟是当前关注的焦点。
风速有三个不同的组成部分（分别在x、y和z方向上)，并沿桥面长度化。因此，完整的风速场应被视为多维、多元、高斯随机过程，而桥面离散点的风速场可被计算为许多随机波的总和。计算通常可以进一步简化为三个独立的一维多元随机过程的组合，忽略不同维之间的相关性，因为这样包含的误差通常很小。当采用上述简化时，模拟风速场的问题将集中在一维、多元随机过程的模拟上。
对于随机过程的模拟，现在有以下方法可用:(1)协方差分解法；(2)谱表示法；(3)自回归滑动平均法（ARMA）；(4)噪声簇射法；(5)尺度细化方法；(6)转弯带法(TBM) (Spanos和Zeldin 1998)。谱表示法是目前广泛使用的方法，本文将对此进行讨论。
分析一维、一维变高斯过程的基本方法出现在20世纪50年代。对于多维、多元非高斯情况，Shinozuka (1972) 建立了谱表示法。杨(1972，1973)和Shinozuka (1974)后来成功地将快速傅里叶变换(FFT)技术引入到仿真算法中，大大提高了计算效率。Deodatis和Shinozuka (1989)将谱表示法的应用扩展到随机波的分析。Ya-mazaki和Shinozuka (1988)提出了一种非高斯随机场的迭代方法。此外，Yamazaki 和 Shinozuka也写了几篇关于谱表示法的评论文章。1996年，Deodatis进一步发展了谱表示法，并用它来模拟作用在一些高层建筑上的各态历经的间断风速场。
对于作用在大跨度桥梁上的风速过程的模拟，Kovacs等人(1992)提出了一个简单的公式，但没有详细的证明。他们的公式被刘春华(1994)用来对中国虎门的虎门大桥(一座主跨888米的悬索桥)进行非线性抖振分析。在刘的论文中，相关函数的检验还没有完成，谱检验显得不尽人意；因此，刘的论文不能算是结论性的。大跨度桥梁的风速场模拟算法有待进一步讨论和改进。
本文对谱表示法的算法进行了改进，使之更适用于大跨度桥梁的风速场模拟。Deodatis和Shinozuka (1989)提出的方法是改进算法的基础。作者成功地将目标随机过程的互谱密度矩阵的Cholesky分解表示为代数公式的显式形式，而不是递推公式。样本函数可以由一系列特定的余弦项来模拟。作者首先确定每个余弦项的振幅数值，看看它是否小于某个预定的小数值（比如10），如果小于，在不影响计算精度的情况下，可以从求和中截掉相应的余弦项，在文末的算例中，用这种方法截掉的余弦项约占总余弦项的84%，大大简化了计算，并且可以利用快速傅立叶变换技术进一步提高计算效率。
最后，以1385米大跨径悬索桥为例，对其风速场进行了数值模拟，结果表明，相关检验和谱检验都是令人满意的，而且计算时间明显缩短，特别是在使用FFT技术时。
一维多元随机过程的模拟
让我们考虑一个一维多元随机过程{ f (t)}，它有n个分量f1(t)，f2(t)，...，fn(t)，其平均值为零。互谱密度矩阵由下式给出
根据Shinozuka和Jan (1972)，可以用该序列模拟{ f(t)}的典型成分fj(t)
其中N是一个足够大的数；omega;up=上限截止频率，当omega;gt;omega;up时，S0（omega;）的值小于ε1且可以忽略；∆ omega;=（omega;up/N）是频率增量；ϕ1l，ϕ 2l，hellip;，ϕjl=独立随机相位角序列，均匀地分布在区间[0，2pi;]上；Hjm（omega;ml）是矩阵H（omega;）的一个典型元素，它是由Cholesky对互谱密度矩阵S0（omega;）的分解定义的，因此
由于S0（omega;）通常是一个复矩阵，所以H（omega;）一般也是一个复矩阵，其对角元素是omega;的实非负函数，而非对角元素(除零外)是omega;的复函数。对于对角元素，存在以下关系
而对于非对角元素，则存在这种关系
其中theta;jm(omega;)= Hjm(omega;)的复角，由下式给出
其中，Im[Hjm(omega;)]和Re[Hjm(omega;)]分别是复函数Hjm(omega;)的虚部和实部。
根据Shinozuka等人(1989)的工作，如果我们让模拟样本函数的周期足够长
已经证明了当N足够大时，由（2）导出的模拟样本函数将以允许偏差接近目标过程，为了使偏差可以忽略不计，时间步长∆t应满足以下条件：
由(2)表示的模拟函数的周期可以由下式确定
Deo-datis (1996)证明了(2)结果的遍历性。
结果表明，在给定互谱密度矩阵并适当选取参数N、omega;up和∆t值的情况下，用表达式（2）可以很好地模拟一维、多变量、平稳随机高斯过程。
H(omega;)的计算
互谱密度矩阵S0（omega;）通常是一个复数矩阵;因此，其Cholesky分解的计算很繁琐，并且经常转向递归公式。由于H（omega;）是omega;的函数，因此可以从中看出 式（2）的结构中，必须针对每个频率omega;ml分别计算Cholesky分解，此外，当添加另一个余弦项时必须再次计算一次，因此计算所消耗的劳动和时间变得非常大。 当考虑大跨度桥梁时，作者发现可以引入一些过分简化的方法，以便可以用几个代数公式以显式形式表示Cholesky的分解，从而可以显着减少计算时间。这种简化将在下面解释。
大气中风速的正交谱很小，可以忽略，因此通常可以将S0ij（omega;）视为实数，将S0（omega;）视为实矩阵。当模拟作用在大跨度桥梁上的水平风速场时，速度场可视为一维多元高斯过程。通常我们可以近似地把水平风速的频谱看作是沿着桥的长度不变的。那么桥面上所有点的光谱都是一样的。然后我们得到
和
其中∆jm =从点j到m的水平距离；Coh(Djm，v) =点j和m之间的相干函数。
采用Davenport (1968)提出的模型，相干函数可以用以下方程近似计算:
考虑桥面上n个均匀分布的点的情况，其中连续点之间的距离间隔为∆，当j gt;m时，∆jm=∆（j-m），或当m gt; j时，∆jm=∆（m-j）。因此∆jm=∆|j-m|可以证明
其中lambda;通常可以在7和10之间取值；U(z) =桥面平均风速；C是omega;的函数，可以用下式计算
利用关系式(11)-(14)，互谱矩阵S0(omega;)可以重写如下:
（16）中的S0(omega;)以指数分解矩阵的形式表示。通过数学归纳法可以证明（16）中的Cholesky分解H（omega;）可以以明确形式表示 ;从而
其中
G(v)也可以用代数公式以显式形式表示为
因为0lt;Clt;1,必定是个正实数，H(omega;)是一个实矩阵，可以证明
式(18a和18b)是作者用数学归纳法独立推导和证明的。附录一给出了这两个方程的简要证明，供读者参考。
现在很明显，尽管仍然是omega;的函数，但是H（omega;）可以使用（18b）中的相当简单的公式针对每个具体频率omega;ml进行足够准确的计算。
式(2)可以利用(17)重写，如下:
显然，当我们将（21）与（15），（18a）和（18b）一起使用时，大大简化了大跨度桥梁风速场的模拟。
切掉部分余弦函数
当距离D足够大（比如说300 m）时，实际上两个相距D的点的风速（特别是其高频部分）之间几乎没有相干性，因此，通过忽略相距很远的点的速度之间的相干性来提高计算效率而不影响其精度是可行的。
利用关系式(3)、(17)、(18a)和(18b)，可以证明
应该注意到，当变量omega;、∆和的值增加时，在(18b)中的Gjm(omega;)的值将迅速减小。如果Gjk(omega;0) lt; 10-3，omega;gt; omega;0，很明显Gjk(omega;0)将会更小；因此，Gjk(omega;0)对Sjm(omega;)的贡献非常小，可以省略而不影响精度。当它们的乘数Gjk(omega;)小于ε0时，很容易确定一些小的数ε0，然后切断(21)中的余弦项。在一个数值例子中，10-3用于ε0，83.6%的余弦项可以用这种方法截断；因此，计算时间显著减少。
快速傅里叶变换技术的应用
一些文献指出，利用快速傅里叶变换技术可以大大提高仿真效率。Brigham（1988）和Deodatis（1996）的工作中，已经证明可以改写（21）如下：
其中q是p/(2N)的余数，q = 0，1，2，...n-1，hjm(q∆t)由下式给出
其中，在本文中，Bjm(l∆omega;)用以下等式表示:
从(24)和(25)可以看出，hjm(q∆t)是Bjm(l∆omega;)的傅里叶变换，因此可以用快速傅里叶变换技术来计算。
数值示例
本文将举例说明作者介绍的算法。江阴大桥是中国江苏省将要修建的一座横跨长江的悬索桥，它已经产生了一个人工风速场。江阴大桥的主跨为1385米。假设桥面上的风速场由50个不同点处的50个风速波组成，沿桥梁均匀分布。连续点之间的距离为(1，385/49) = 28.27米。该桥有50个均匀分布的点，如图1所示。
桥梁和模拟条件的主要数据如下:
图一.桥面上50点的位置
- 跨径：L=1385米
- 桥面离地面的高度:z = 50.0米
- 地面粗糙度:z0 = 0.03米
- 桥面上的平均风速:U(z) = 40.0米/秒
- 模拟点数:n = 50
- 点之间的间隔:∆= 28.27米
- 上截止频率:omega;up = 4pi;弧度/秒
- 分频次数:N = 1，024
- 时间间隔:dt = 0.25秒
- 周期:T0 = 25600秒
- 目标风谱: Kaimals 谱
水平紊流风位置的Kaimals 谱公式定义如下
其中
用该桥的数据代替上述变量后，S(omega;)由下式计算
Davenport的相干函数通过以下公式计算
lambda;取10。
为了比较四种不同算法的模拟效率，设计了四个计算机程序来模拟桥面上50个点的水平风速。算法的不同之处在于:(1)H(omega;)是否显式表示；(2)部分余弦项是否被截断；以及(3)是否使用快速傅立叶变换技术。在表1中显示了使用不同算法进行比较时所消耗的时间。当H(omega;)被明确表示并且不使用快速傅立叶变换时，随着部分余弦项被切断，计算速度增加6.1倍。当余弦项的一部分被切掉并使用快速傅立叶变换技术时，计算速度增加了148倍，因为H(omega;)被明确表示。
在图2中示出了点1、2和50处的模拟风速。可以看出，点1和点2的风速之间有相当强的相关性，因为它们彼此接近，而点2和点50的风速相关性弱得多，因为它们相距很远。图3显示了点1、2、10和50处模拟风速的相关函数。模拟风速的相关函数似乎略大于目标值；然而，模拟可能被认为是令人满意的。
模拟风速过程的功率谱是用快速傅立叶变换技术计算出来的。结果在图4中用自然(线性)标度的y坐标绘制，而x坐标是自然标度(在左边)和对数标度(在右边)。从图中可以观察到，当沿着x轴使用线性标度时，模拟的光谱几乎与Kaimal的光谱一致。当频率以对数10标度绘制时，在模拟频谱和低频目标之间可以看到一些偏差。我们知道风速波的低频部分对桥梁的抖振影响很小；因此，该模拟结果可以被认为是令人满意的。
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