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1.摘要
视距是公路几何设计的基本要素之一。美国国家高速公路和交通运输协会的设计指南定义了三种公路视距（AASHTO，1994）：停车视距（SSD）、会车视距（PSD）和错车视距（DSD）。所有公路都要满足停车视距的要求，双车道乡村公路要满足会车视距的要求，在具有复杂情况的公路段区则要满足错车视距的要求。各类视距要求会影响平面线形和纵向线形的设计，比如水平曲线的横向宽度以及凹形竖曲线和凸形竖曲线的所需长度。
竖向曲线（抛物线）有以下四种：一般曲线、不对称（双弧）曲线、三弧曲线以及缓和曲线。由AASHTO（1994年）提出的一般曲线的视距要求是最常见的。传统非对称曲线是由两条垂直相交的抛物线组成的，而等弧非对称(EAU）曲线则是由连接在曲线中间的两条弧线组成的。传统非对称曲线的视距要求是由Easa（1991a,b）发表的，EAU曲线的视距要求是由Easa和Hassan(1998)年发表的。在满足竖向净空的限制条件下，三弧曲线具有更高的灵活性，或许还能提高相对应的视距（Easa,1998)。具有缓和曲线的线形包含了两条缓和曲线及其之间的抛物线，两条缓和曲线分别与相邻的切线相连。过渡曲线的坡度变化率从零（切线）逐渐增加到抛物线中的r。这种新型曲线的几何特性在Easa和Hanssan在1999年合作论文中就已有所提及，并且其视距的相关特性也会在本文有所介绍。
竖向缓和曲线的基本特性可用于本文所提出的视距分析，但前提是要将其归纳总结。以A表示坡差，以r表示抛物线的坡度变化率，有表达式如下：
（1）
（2）
g1、g2分别代表相邻两条切线的坡度，l、Lc分别表示缓和曲线长度和抛物线长度。对于缓和曲线（三次多项式），y表示位于缓和曲线起点在笛卡尔坐标系中的高程，fx表示第一条切线的偏移量，其表达式如下：
（3）
（4）
对于抛物线，y和fx的表达式分别如下：
（5）
（6）
注意：y和fx为正代表曲线上凸，若为负则代表曲线下凹。
下面部分首先要介绍的是要过渡到竖向凸（凹）曲线的最小视距公式的推导。要通过实际情况来控制最小视距，再进行初步设计图的绘制。
2.具有缓和曲线的凸形竖曲线
具有缓和曲线的凸形竖曲线连接两条纵坡分别为g1、g2相邻切线，以一条缓和曲线开始，再连着一条抛物曲线，最后以另一条缓和曲线结束（组合1）。其连接点分别为：切缓点（TS）、缓抛点（SC)、抛缓点（CS）以及缓切点（ST）。当驾驶员从眼睛（高度为）到到设计障碍物（高度)的视线是凸曲线的一条切线时，该竖曲线的视距受到限制。驾驶员的眼睛和障碍物的相对位置的安排与过渡曲线及其相连部分有关。控制最小视距的布设能够抓取到曲线中的最大曲率。对于一个缓和-抛物-缓和曲线组合，最大曲率存在于抛物线后面接近于抛物线的部分缓和曲线。因此，缓和凸曲线的最小视距Sm，由以下基于Sm与L和Lc三种关系的情况所决定。此处L是指整个曲线的长度。
情况1：在这种情况中，驾驶员和障碍物均处于抛物曲线上（如图1）。这种情况类似于简单竖曲线，其最小视距的公式也早已得到运用（如：Hickerson,1964;AASHTO,1994).包含了两个组成部分和（和）。因此，可表达如下：
（7）
或者
（8）
替换掉（2）式的r，可得：
图1
（9）
若，（9）式就会简化为普通竖曲线公式，其形式如下：
（10）
此处是指曲线长度。
情况2：。在这种情况中，驾驶员处于第一条切线上，并与切缓点相距任意的水平距离，而障碍物则处于第二条切线上，并与缓切点相距相应的水平距离（如图2）。其视线是抛物线在点e处的一条切线，缓抛点到e点的距离为q。视线与第一条切线的相交点距驾驶员t水平距离且距切缓点m水平距离。由图2可得：
（11）
由图可看出，视线和第一条切线的夹角是第一条切线和缓抛点上的切线之间的夹角与视线和缓抛点上的切线之间的夹角之和，即：
（12）
此外，通过基于的三角形几何原理得
（13）
将（11）式和（13）式等号右边的式子相等，可得：
（14）
同样，考虑到抛物线的另一段长度p：
（15）
此处u代表视线和第二条切线的相交点到障碍物之间的距离。要求解（15）式中的u，先替换掉（2）式中的r，再代入，然后得出：
（16）
为了计算图2中（l—m）的长度，将（等同于e点通过（6）式计算出的的偏移量，此时，所以：
（17）
再替换掉（14）中的q，可得：
（18）
同理可得：
（19）
假定驾驶员在任意位置，其能看到视距为：
（20）
分别从（16）式、（18）式、（19）式替换掉u、l—m、l—n，可得：
（21）
此时
由S 关于t的一阶导数得：
（22）
令，得到t在Sm上的长度为t0：
（23）
将t0替换到（21）式中，得：
（24）
由此，Lc为：
（25）
若，则（25）式就会简化为普通凸形竖曲线。相应地，基于视距关系的原始普通抛物线的长度 (Hickerson, 1964; AASHTO, 1994)Sm为：
（26）
此时。通过比较（24）式和（26）式，以及无论为多少，K1、K2的值均大于1.0，因此缓和曲线总会提高凸形曲线的最小视距。由于提高了视距，缓和曲线不会像回旋平线那样因为一个侧边的固定障碍物使得视距缩短，即使是用长度为的普通圆曲线回旋线去同样地代替它，此处和分别代表圆曲线长度和回旋线长度。视距会因为回旋线的自身变化而缩短。
情况3：。在这种情况中，驾驶员和障碍物分别第一段缓和曲线和第二段缓和曲线上（如图3）。这种情况的得最小数据只能用数学式子进行表达。驾驶员处于任意一个位置，设其与切缓点相距水平距离，图3中的距离t等于，此处就是（4）式中时的偏移量。因此：
（27）
由于（在图3中），上一个公式约分后得：
（28）
距离m的表达如下：
（29）
此处的是指（4）式中当的偏移量，所以有：
（30）
由于，（28）式和（30）式可联立得到一个带有变量q的二次方程式：
（31）
q的解为：
（32）
其中
（33）
方程（31）的另一个根是：
（34）
但是，因为比小，该根永远为负值，因此此解应当被排除。类似于q的推导，p与的关系如下：
（35）
此处。知道，找到数值解的步骤如下：
- 假定一个小的值
- 从0到逐渐增大的值
- 从（32）式中求得q
- 再通过解（35）方程求得
- 重复2-5的步骤，知道找到对于具体的值所对应的最小视距为止.
- 如果等于或大于，则结束。否则，再逐渐增大的值，重复步骤2-6.
还应特别注意，只有当视线与曲线之间的切点（图2、图3的e点）位于抛物线区域，情况2与情况3的的推导才是合理的。在极少数情况下，当抛物线非常小，以及由于停车视距的应用，使得障碍物的高度小于驾驶员高度，并且切点更接近于障碍物，此时的切点或许位于第二条缓和曲线上。这种情况需要进行检验，同理况2和况3，可通过两种情况进行计算，并作为附录A的解释说明。
3.具有缓和曲线的凹形竖曲线
对于凹形竖曲线，最小视距是由夜间的灯光所控制的。根据竖曲线的几何要求，只有当汽车前灯位于缓抛点、切缓点或者是第一条缓和曲线上，具有缓和曲线的凹形竖曲线才会出现最小视距。应该注意另外一些情况，比如，前照灯位于抛物线上，可能会出现不可控制的最小视距。这是因为在这些情况中，没有包含具有最大曲率的曲线段。在具有缓和曲线的曲线中，具有最大曲率的曲线段是抛物线部分以及接近于抛物线部分的缓和曲线段。当前照灯位于缓抛点（如图4），根据灯光线和竖曲线的相交位置，的长度有三种情况。这全部的三种情况中都如图4所示，变量z则可通过以下公式得到：
（36）
此处h是指汽车前照灯的高度，alpha;是指前照灯照射的发散角度。
情况1：。如图4.a所示，这种情况类似于普通凹形曲线，，这时视距间的关系如下所示 (AASHTO, 1994; Hickerson, 1964)：
（37）
对于有缓和曲线的曲线，应用去代替（37）式中的A。由于，则：
（38）
将来自（2）式的代入，得：
（39）
情况2：。根据图4.b的几何关系，z的表达式如下：
（40）
将（36）式和（40）
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