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利用修正的巴黎定律预测沥青混合料整个裂缝的增长
罗雪，罗蓉，Robert L. Lytton
巴黎定律是著名的并且广泛使用于预测工程材料裂缝生长的方法。目前，大多数巴黎定律的形式是在裂缝众多并且传播一致增长的基础上制定一个裂缝，这是不符合沥青混合料实际损失的。这些巴黎定律模型形式的参数是通过广泛的测试和曲线拟合或者通过从一系列不同测试收集的数据来确定。为了预测沥青混合料的整个裂纹增长，提出了一种改性巴黎定律，它是通过使用破坏密度来限定。此外，为了简化修正的巴黎定律参数（Arsquo;和nrsquo;）中的步骤，使它们从一个沥青混合料试件测试中容易得到。建议修改巴黎定律应用到20型沥青混合料。结果表明，Arsquo;和nrsquo;互相进行材料测试发现有紧密的联系。在这种联系的基础上，修正的巴黎定律破坏密度被证明可通过灵敏度分析与nrsquo;相关。这种关系表明，nrsquo;可直接用来比较不同的沥青混合料的破坏密度。调查显示沥青粘合剂，空隙率含量，以及疲劳老化周期中的沥青混合料进一步裂化的影响证实了nrsquo;是该材料裂纹的良好指标，并且可以对材料比较和选择进行单独使用疲劳裂纹，最终优选 nrsquo;的一个较小值。
巴黎定律是著名的并且广泛使用于预测工程材料裂缝生长的方法。如巴黎和埃尔多安定律描述的，它是裂纹扩展速率和应力强度因子之间的幂律关系，如公式（1）：
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（1） |
式中：a-裂纹半长度，
da/dN-裂纹延伸的加载周期N，
A-材料常数，
Delta;K-应力强度因子范围。
自那时就付出了很多努力致力于改善巴黎定律的适用方法。McEvily改性等式1的右侧用裂纹开头使得等式1是基于一种简单的物理模型，而不是纯粹的经验装置（2）。为了更好地理解公式1的物理意义，郑和曼弗雷德定义了巴黎定律的金属拉伸性能的材料常数，并很容易的得到了这些参数（3）。
巴黎定律的上述形式具有共同的参数，Delta;K意味着这些方程的线性弹性在断裂的条件下有效。在大规模屈服条件，道林和贝格利建议用Delta;J积分取代Delta;K来描述在塑性变形（4）存在下疲劳裂纹的扩展速率。巴黎定律修正后的关系：
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(2) |
式中AJ和nJ是与Delta;J相关的材料常数且Delta;J是在J积分循环范围内。J积分概念最初由Cherepanov（5）和Rice（6）提出每单位裂纹表面积的应变能释放率。由于其物理意义和分析基础较强的优势，J积分理论已经成功应用于弹塑性材料裂纹延伸。除了弹塑性材料，J积分理论也被应用于粘弹性材料，如沥青混合料（7-9）。预测结果和实验结果之间良好的一致性证实了J积分是适合于描述沥青混合料的疲劳裂纹延伸（9）。
另一种流行的理论用于预测粘弹性材料裂纹的时间依赖性大小是由Schapery（10-15）开发的。在粘弹性介质中的开裂的速度与应力强度因子（10-14）或J积分（15）有着密切的联系。具体地，循环加载（即裂纹生长周期，da/dN）下的裂纹速度可表示为巴黎定律与应力强度因子形式。相关的材料常数A和n可以从材料的基本性质得出，例如变形量和拉伸强度，可通过下面的等式（10）所示导出：
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（3） |
（4）
式中：sigma;m-材料的抗拉强度，
I1-裂纹顶端破坏区应力整合结果，
upsilon;-泊松比，
D1-变形量定义变形系数，
Gamma;-断裂能量，创造新表面单位面积所需的能量输入，
m-变形量曲线的对数斜率，
Delta;t-加载时间，
w(t)-应力强度因子波动形状。
如果发生大规模的裂缝传播，Schapery建议的参数类似于J积分和应变能释放率：伪J积分和伪应变能释放率，用来预测在粘弹性介质中裂缝的速度（15）。在Schapery的成果基础上，在沥青路面（16-19）计算领域已通过方程3和方程4对A和n作出了修改。此外，在沥青混合料裂纹扩展方面可以用以下巴黎定律（16）的形式进行建模：
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(5) |
式中JR是伪J积分，根据裂纹单位表面积伪应变能释放率来计算。这种方法的主要优点是沥青混合料的疲劳裂纹扩展可以进行一系列简单的测试，如变形测试来预测，拉伸强度测试或表面能测定试验，而不是广泛且耗时的疲劳试验。
目前在上面所提到的巴黎定律形式模型的共同特点是：都是基于单一裂纹的增长如da/dN所示。他们显然不能准确地描述沥青混合料在循环荷载作用下的实际损失：大量的裂缝会随着加载而传播。为了解决这个矛盾，本文提出了损坏密度来取代裂缝长度a，其被定义为每单位面积的横截面所有裂缝区域。用损坏密度修改巴黎定律，提出了预测沥青混合料大量裂痕增长的方法。此外，进一步的调查表明修正后的巴黎定律参数可以从一个简单试验得到。其目的是进一步简化计算，根据所要求的等式3和等式4，A和n进行了一系列的试验。对修正的巴黎定律适用性进行了研究，寻找一种简单的、基本的指数或参数作为裂化材料破坏程度的一个指标。
本文安排如下。以下部分给出了测试和分析的方法，以获得损坏密度。随后的部分介绍了力学背景，制定修正后的巴黎定律和数学运算来推导修改后巴黎定律参数。修正后的巴黎定律参数已使用Schapery的方法，经过全面的测试和分析后给出详细说明修正的巴黎定律的适用性。最后一节总结了本文的主要贡献。
反复正面拉伸试验控制应变的过程和分析
重复正面张力（RDT）控制应变测试用于生成本文中的沥青混合料疲劳开裂损坏。RDT检测主要用来检查拉伸行为和沥青混合料（20）加载引起的疲劳开裂。为了模拟裂纹周围局部的塑性变形存在裂缝传播，进行RDT测试控制应变模式被认为是能更好地表征疲劳性能（21）。
本文所用的材料是实验室混合的、压实的热沥青混合物。有四种类型的沥青粘合剂：来自于战略公路研究计划材料参考图书馆（22）的AAD粘合剂和AAM粘结剂；指定粘合剂“NuStar”，这是来自于新泽西州的沥青供应商；还有指定粘合剂“Valero”，这是来自于加利福尼亚州的供应商。有两种类型的聚合物：得克萨斯石灰石来自于圣马科斯得克萨斯州，以及新布朗费尔斯的德克萨斯州汉森石灰石。有空隙率（4％与7％）和三个不同老化周期（0，3，和6个月）两个级别。所有这些变量组合产生的20种沥青混合料如表所示。
控制应变RDT测试在20℃下使用材料试验系统（MTS）进行。沥青混合料试件由Superpave的旋转式压实机成型，并切成尺寸为直径102毫米和高度150毫米。将每个试件粘结到一对端帽并连接到MTS的加载传感器上。三向轴线性可变差动变压器（LVDT传感器）安装在试件的中间部分，并且彼此分开120°以测量试件的垂直变形。三个LVDT的平均读数用作试件的轴向变形。
控制应变RDT试验的目的是（a）取得未损坏沥青混合料的参考材料性质，其用作于疲劳损伤量化的基础测试过程；（b）确定损坏的沥青混合料的破坏性，表征材料中的疲劳开裂。根据这种设计，两个连续的控制应变RDT测试是用相同的沥青混合料试件进行试验，包括用40mu;ε的最大轴向应变与最大轴向1000负荷循环破坏性RDT测试的200的负载循环无损RDT测试200mu;ε应变。无损和破坏性两个试验加载频率都是1赫兹。40mu;ε应变等级已被证明是无损的，因为测量材料性质不随载荷循环数量的增加而发生变化。相反，所测量的材料性质改变如载荷循环数量的增加到200mu;ε，这表明损坏破坏性试验期间试件产生了显著的开裂。
控制应变RDT测试的数据是通过使用由作者在一系列论文（23-25）开发的基于能量机械的方法进行分析。这种方法在本文中用来确定破坏性试验RDT的每一个加载循环的破坏密度。损坏密度的测定包括以下三个步骤。
第一步是模拟应力，应变，并且利用数学模型的控制应变RDT测试试件的伪压力。应力和应变是综合计算两种类型的应变能：消耗应变能（DSE）和可恢复应变能（RSE）。伪应变替换为应变能量的计算以至于粘弹性效应可以被改变。由此得到的伪应变能，消散伪应变能（DPSE），且可恢复伪应变能（RPSE）与损坏改善密切相关。在典型的控制应变RDT测试中，轴向应变被控制为一个标准的半正矢形状（即，轴向应变总和为正）。然而，所施加的应力是一个移动半正矢形状，它是由拉伸（正）部分和压缩（负）部分组成的。为了模拟这种特定情况应力，应变和伪应变使用如下两组方程进行建模：
当为拉应力时：
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（6） |
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（7） |
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（8） |
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当为压应力时：
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（9） |
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（10） |
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（11） |
式中：omega;-加载频率，rad/s，
t-加载时间，
sigma;0t-拉应力振幅，
sigma;st-标准的半正矢峰值下移位绝对值，
sigma;0c-压应力振幅，
sigma;cm-最小应力值，
ε0-应变振幅，
phi;t-拉伸复合模量的相位角，
phi;qc-准压缩复数模量的相位角。
上述应力-应变相关参数的确定可以在第一部分一系列（23）得到。在方程8和方程11中，εr是伪应变；ε0,r是在基准应变水平下的应变振幅；sigma;st,r是一个标准半正矢峰值下移位在参考应变水平的绝对值；sigma;cm，r是在基准应变水平的最小应力值；phi;t,r和|E*t,r|是在基准状态下的拉伸复数模量相位角和峰值，分别为：phi;qc,r和|E*qc,r|是在参考状态下的相位角以及准压缩复数模量的大小。方程8、方程11和每个参数的定义在第二部分一系列（24）中有详细介绍。
第二步是建立不同类型的应变能和伪应变能，这是基于机械方法的核心能量平衡方程。能量平衡是在沥青混合料试件的表观体积和材料整体的真实衡量之间构成的。有关机械背景系列（24）在第二部分另做分析。能量平衡方程如下：
DSE平衡方程：
DSEAP = DSET （12）
RSE平衡方程：
RSEAP = RSET （13）
DPSE平衡方程：
DPSEAP = DPSET （14）
RPSE平衡方程：
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（15） |
式中：AP-表面积，
T-真实量，
Vm-沥青混合料试件的一层沥青粘结剂厚度，等于平均膜厚度，
CI和CN-裂纹生长前的初始裂纹平均长度和裂纹生长后的新裂纹平均长度，
MI和MN-裂纹的初始量和新裂纹的数量，
gamma;-表面能量的密度，定义为创建这个表面时存储在新表面单位面积内的能量。
第三步是利用方程12到方程15确定实际应力，实际应变，和实际伪应变与材料整体的真实衡量的关系，用所确定的实际应力来计算损坏密度如下：
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（16） |
式中:ϕ–损坏密度，
ϕ0-初始损害密度，等于空隙率，
sigma;T0-真实应力峰值，
Vm%-矿料体积指标和矿料级配确定的沥青粘结剂的体积比。
图中给出了损坏密度与荷载循环数量和装配到曲线幂函数的一个例子。拟合函数的一般形式可以作为荷载循环的数量N被定义为：
（17）
式中a，b和c损坏密
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