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同时优化三维公路线形的进化模型
志成钟, Paul Schonfeld
a 土木与水利工程研究中心,中兴工程顾问有限公司，南京，171 E. RD.,SEC. 5，台北台湾，ROC
b 美国马里兰大学帕克分院土木工程系，MD 20742
1998年11月20日收到; 2000年12月31日收到修订表格; 2001年3月29日定稿
摘要：
优化公路线形是一个十分复杂的工程问题。在设计过程中应考虑的因素是复杂的，相互关联的。虽然已经开发了几个数学模型到解决的线形优化问题，但是其中大多数强调横断面或纵断面线形，并且只产生一个次优解。同时优化三维道路线形的模型在文献中是稀有的，且优化效果也有限。在本文中，提出了进化模型（模仿自然进化过程的搜索算法）求解三维线形优化问题。它克服了现有模型中的一些缺点。全面的考虑到了成本组成和设计约束。该算法可以优化复杂的，全面的，和非可微的目标函数。该模型还可以利用详细的地理信息高速公路分析。由此产生的路线到处是光滑的，可以向后弯曲（即“backtracking”）以更好地适应地形和土地利用模式。本文举了一个数值例子来说明提出的模型和性能的求解算法。
Elsevier科学有限公司保留所有权利，2002年
关键词：公路线形；公路设计；传统算法；进化模型
1. 介绍
一个基本的公路设计问题是同时满足一组设计和使用限制，并在地形，土壤条件，社会经济因素和环境影响的基础上找到连接已给定的两点最优的线性。由于该问题的复杂性，传统的公路设计需要经验丰富的工程师重复评估各种方案以确定最好的一个，但由于公路起、终点的数量是无限的，手动设计只可能得到一个令人满意的解决方案，而不是一个接近最优的设计。
在过去的三十年中，这样的线形优化问题吸引了大量人员的研究兴趣。数学模型帮助工程师加快设计过程，找到更好的解决方案。然而，在文献中发现的大多数模型都致力于优化横断面线形（例如，Howard 等人，1968；Athanassoulis和Calogero，1973；Shaw和Howard，1982；Trietsch，1987） 或纵断面线形（Hayman，1970；Murchland，1973；Puy Huarte，1973；和1988；吴等人，1988；Fwa，1989； ReVelle等人，1997）。由于大多数公路成本构成是，所以分开考虑横断面和纵断面线形只会得到局部优化解。
同时优化三维道路线形的模型很少发现。帕克（1977）开发了一个受梯度约束的两阶段的方法来选择路线走势。他的感兴趣区域首先被分成次平方区，其平均高程取该区质心的地面标高。一个光滑的表面，然后通过区域的质心海拔，使得任何水平线形的端点之间的表面与纵断面相交满足梯度约束。在第二阶段，该小区中心形成一个网格网络。然后，多路径程序是用来推导出一组最好的路线，尽量减少绝对残差（这可以被视为土方工程成本的措施）。帕克的模型忽略了水平和垂直曲率的限制，以及除了土方工程的任何费用。
与帕克的类似的方法，可以在GCARS系统找到（Turner和Miles，1971；Turner，1978）。该系统最先通过建立成本面覆盖感兴趣的区域。在每个区的总成本是通过不同部位的成本相对权重的线性组合得到的。最后成本矩阵形成网格网络，用最短路径技术寻找最优路径。虽然考虑了各种成本组合，特纳的模型忽略了车辆的运营成本，即使他们的现值超过过去30年来的建筑成本的300%至1000%（经合组织，1973）。在GCARS中没有提到设计约束（例如，曲率和梯度）。尽管帕克和特纳的模型采用了两阶段的方法来确定最佳的路径（即，纵断面在水平线形之前确定），但这也只是局部优化问题。此外，由此产生的路线（或更准确地说线路）是分段的，而不是光滑的。最后，这两模型是离散的，并且线形必须通过区域的质心，从而忽略了很多寻找空间的问题。
动态规划（DP）也被用来优化三维线形。DP模型的基本结构，实在起点和终点间设置等距的平面，从上方看，这些面垂直于两端点之间的连线段。在每个阶段的任务是在二维平面上的搜索网格。Hogan（1973）提出的DP模型，OPTLOC，这是美国森林服务用用来优化道路线形及断面的。一般最初先粗搜索网格，然后逐次迭代，再细化网格的搜索，最后可以就找到在任意精度的路线。尼克尔森等人（1976）采用类似的方法优化路线。在第一阶段，该模型搜索一个相对粗糙的网格点作为初步定为（或初始线路），然后采用离散变分法细化的逐渐精确路线，使所得的线路可以通过网格点。
应用DP模型优化三维道路线形有几个缺点。首先，如Jong（1998），它在处理回头路线（即，其中公路偶尔穿过其最终目的地）上有困难。其次，路线结果很粗糙，在明确处理横向和纵向曲率上有困难。第三 ，DP模型意味着各阶段之间的道路成本是相加关系，这在公路设计一般是不真实的。最后，在开始时存储要求可能会成为搜索更细网格这种方法的阻碍。
最成功的三维模型很可能是由 Chew等人（1989）建立的。用一系列三次样条函数对其进行参数化，并初步配置成一个变微积分问题。然后约束被用约束转录的方法将进一步转化为一维约束并在在最优控制理论中使用。最后 ，该模型将成为一个非线性规划的结构约束和样条函数的系数向量作为决策变量。这种求解算法采用的算法是准牛顿下降算法，变尺度也被认为是提高收敛性的措施。
相比于最短路径和DP的方法，他们的方法的一个优势，就是产生的线形到处光滑平顺。另一个优点是该模型精确的考虑梯度和曲率约束。然而，在他们的模型中制定的水平曲率约束意味着非回头曲线，这可能是在山区的并不适用。在他们的例子中，唯一的成本组成部分是土方工程成本和路面成本。后者被假定为恒定的感兴趣的区域，因此线性取决于总路线长度。其他的费用，如道路通行权，车辆运营和旅行时间成本并不考虑。很难将多种不同成本计算（例如，对不同地块的费用计算）纳入模型，因为它需要一个可微的目标函数。此外，只有一个局部能最优保证。在实践中，人对不同的初始解决方案的判断被用于模型的运行。然而，选择一个很好的初始解是非常具有挑战性的，因为一个全面的线形优化问题通常有许多局部最优解，更别的是对不规则地形了。
在本文中，我们提出了一种不同的方法同时优化三维道路线形。该模型的目的是克服现有模型的一些缺陷。该模型的特点包括（1）考虑各种成本组成，（2）满足重要的约束，（3）得到现实的路线，（4）处理回头曲线，（5）找到合理解决方案。所以我们希望建立的一个综合模型，来解决的那些传统的经典的优化技术不能有效解决的有一个非线性，不可微结构的约束的问题如基于梯度的搜索方法。因此，我们开发了一个改进经典的遗传算法（GAs）的进化程序来进行搜索。这里的引用摘自的Jong（1998），更详细的讨论可以从其中所提出的模型和算法可以找到。
2.感兴趣区域的数据格式描述
感兴趣区域是连续空间。在这项工作中采用矩阵格式存储整个区域的重要空间信息，同时最大限度地减少所需的内存。我们将一个研究区域矩形划分成一系列足够小的相等的小格作为开始，那些小格我们可以假设相同的内部特性（如土地征用成本，土地利用模式，海拔， 土壤条件）。通过在某些小格上施加非常高的成本，我们可以得到非常不规则形状的区域。该路线可以通过该地区的任何点，而不是仅限于将一个有限点集作为最短路径和DP模型。
3. 三维线形的表示
现有的模型代表路线是分段线段（Turner和Miles，1971；Hogan，1973；Nicholson等，1976；Parker，1977；Turner，1978）或三次样条函数（Chew等 ，1989）。这类方法只会得到大概的线形。在这里，我们寻求产生更切合实际的路线。该路线首先在三维空间上明确规定了一系列的交点。然后，连接起点和终点的路线通过一系列的交点将在三维空间产生一个分段线性轨迹。一个由切线组成的粗略水平图可以从分段线性轨迹在水平面上的正交投影得到。经过一个迭代过程，然后在每一个水平面交点拟合圆曲线，使线形平滑连续。为了简化，在这种分析中，省略了稍有影响的螺旋过渡曲线。相应的纵断面是在每个沿水平线形的垂直平面的交点通过拟合抛物线曲线确定的，用另一个迭代过程可得平滑连续的纵断面。交点不一定非要位于小格的中心不可也可位于该区域的任何地方，从而提高了线形的灵活性。
这两种算法得到的横纵断面是模仿人工工程设计过程。在任何交点角不为零的交点处，插入一条圆曲线（横断面）或抛物线（纵断面）。由于切线段是由两个相邻的交点的边界，所以它们的曲线长度是相互影响的。理想情况下，切线段必须足够长，以满足设计标准所要求的曲线长度。如果切线太短，两端的曲线长度必须减小以避免出现不连续线形。为了充分利用所有切线段，曲线应从两端最短切线处插入。重复这个过程，直到交点插入曲线。（Jong，1998提供了更多的细节）用此方法得到的的路线总是平滑和连续的，但可能违反设计规则。为了避免违反规则后文将采取补救措施（篇 4.2）。
4. 公路成本与设计约束
4.1. 公路工程造价组成
在本文中，公路成本被根据他们自己的简单的线形特征关系分为不同的类别。完整的成本函数，涉及复杂的计算。Jong（1998）给出了详细的类别。每个成本组成部分简要讨论如下.
4.1.1.位置相关的成本
公路成本中如土地收购和土壤稳定等取决于路线位置的成本被归类为位置相关成本。对于一个给定的路线，位置相关成本的计算是通过路线的每个小格的费用的叠加（即单元格的单位成本乘以由路线所涵盖的面积）。
4.1.2.长度相关成本
公路成本中路线线性变化与总的路线长度被归类为长度相关成本。对于公路总长度相关的费用是单位长度成本（包括单位建造和维修费用）乘以公路长度。假设路线宽度是恒定的，路面成本取决于长度。环境成本如空气和噪音污染、石油开采、化学废物处置是取决于车辆行驶里程（VMT）（DeCorla Souza和Jensen Fisher，1994）。如果预估的交通量需求是一定的（通常是从计划阶段中预估），VMT相关成本也可以转化为长度取决于成本。
4.1.3. 土方费用
在对公路工程土方量估算这项研究中采用了“平均面积”法（Wright，1996）。要应用此方法，在每个站点沿水平路线方向的割补截面面积必须确定。截面面积的计算需要每个站点的道路和地面高程。道路标高可以从竖曲线抛物线方程计算得到。地面标高作为站点所在地的海拔高度。
4.1.4.用户成本
用户成本的主要组成部分通常包括车辆运营成本，旅行时间成本，以及事故成本。车辆营运成本可能包括燃料和石油费用，轮胎磨损，和车辆折旧。通常认为最重要的部分是燃料消耗。采用三个回归模型（Jong，1998）来分别估计的平均运行速度和道路坡度对中型汽车，2A单机卡车，和3-S2 柴油卡车的燃料消耗率的影响。燃油消耗模型用平均运行速度，总路线长度，和预计的交通需求量估计燃料消耗成本。旅行时间成本为单位时间成本与总行车时相乘，这是一个与总的路线长度，平均运行速度， 旅游需求预测相关的函数。平均运行速度被用来计算燃料消耗和出行时间成本，Polus（1984）等人在不同线形几何条件下运用了该模型。在一个不存在的公路上由于复杂的成因和缺乏经验数据估计事故成本是相对困难的。Zegeer等人（1992）用基于曲线的长度，曲率，和交易量开发的模型来估计事故率。总事故成本为事故率与单位事故成本相乘。将在一个合理的时期（例如，30年）三用户的净现值成本纳入总成本函数。
4.2. 设计约束
公路设计中最重要的约束条件是最大坡度、竖曲线的最小半径和最小长度。最大坡度取决于公路建设中道路和地形的等级。最小半径是设计速度、超高的功能，和侧摩阻力系数的相关函数。竖曲线最小长度受视线距离道路等级变化的控制（AASHTO，1994）。所有的约束通过外部修正函数处理被添加到总成本函数。
修正方法不能保证总是满足约束条件。即使最终的解决方案违反了约束，他们通常也很轻微，可以通过设置略略微宽松的约束边界来轻易易避免。然而，违反约束后果可能是过分严格的规范非常有用的指标。因此，如果求解算法因为一个（微）违反约束受到了一些惩罚，这表明约束的“影子价格”高，我们可以尝试放松约束，例如，通过降低极限转速。
5. 提出求解算法
上文提到，该模型提出的决策变量是在三维空间中的交点的坐标集，两个迭代算法生成相应的水平和垂直断面。计算公路成本的一些信息，如切点，点的曲率，每个圆曲线半径，和抛物线的方程直到路线生成才能用。因此，总成本（包括约束修正）成为对决策变量集合的一个隐函数。虽然路线是一个三维空间中的，但问题是由于决策变量的个数远大于三导致搜索空间是一个多维空间。复杂的搜索空间与隐式 目标函数意味着的目标函数是非可微的，很繁琐的。因此，没有基于梯度的搜索算法适用于这个问题，只有直接搜索方法可以用。不幸的是，大多数经典的直接搜索方法都不适合这些问题的许多局部最优。因此，我们开发了一个可替代的方法来解决这个优化问题。
5.1. 概述
提出的的解决方案的算法是从经典的 GAs理论修改得到的。 GAs是从自然选择的原则和“适者生存”（Beasley 等，1993）进化方法来的。在GAs中，环境和一系列种群问题得到解决。种群中的每个个体都被编码成字符串，我们称之为称为染色体。每一代中，个体间互相竞争，根据自己对环境（问题）的“适应”（适宜性）来繁衍后代，传递遗传因子（杂交和变异）。经过几代后，最适应的个体生存下来，而其他可怜的个体死亡，种群最终会达到到一个最优状态。 GAs的基本结构图如图1所示。 GAs的详细讨论在教科书如Goldberg（1989）和Michalewicz（1996）有提到。<!--
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