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区间有限元法及其在抗滑稳定性分析中的应用
邵建国1 苏静波2
- 工程力学系，河海大学，南京210098,中国；
- 交通学院，河海大学，南京210098，中国）
(郭兴明推荐)
摘要：通过区间值函数和实值函数的关系方面，探讨了区间相关性导致的区间扩张的问题,给出了保证区间计算获得足够精度的计算方法;提出了基于单元的子区间摄动有限元计算方法,并给出了提高计算效率的一些方法和获得较好计算精度时的子区间数目的近似计算公式.结合工程实例,基于单元的子区间有限元方法和抗滑稳定性分析方法给出了稳定性的区间范围,为更合理地估计和评价结构的抗滑稳定性提供一定的依据.通过区间值函数和实值函数的关系探讨了区间相关性导致的区间扩张的问题,给出了保证区间计算获得足够精度的计算方法;提出了基于单元的子区间摄动有限元计算方法,并给出了提高计算效率的一些方法和获得较好计算精度时的子区间数目的近似计算公式.结合工程实例,基于单元的子区间有限元方法和抗滑稳定性分析方法给出了稳定性的区间范围,为更合理地估计和评价结构的抗滑稳定性提供一定的依据。
关键词：区间相关性；区间扩张；计算精度；区间有限元；抗滑稳定性
中国图书馆分类：O242.29，TU441.35
2000数学科目：65G40
数字对象标识符（DOI）：10.1007 / s 10483-007-0413-y
引 言
对于区间的扩张问题可以通过区间值函数 极限平衡分析方法和数值分析方法在近年来得到了广泛的应用。极限平衡分析方法简单、方便，在滑面确定后，能有效地确定稳定安全系数。数值分析方法的精度取决于输入参数的准确性和所选的本构模型。在实际工程问题中，参数的精确值很难得到。但是参数的上下限是很容易得到的，这很容易被工程师接受。如果需要对结构响应进行全面的评价，那么将不确定的参数作为区间分析的区间变量是合理的。
近年来，众多学者对不确定结构区间分析方法进行了研究。其主要应用包括区间静力响应问题[1minus;7]、区间动态特性值问题[8minus;11]、区间可靠性问题[12,13]、区间反演问题[14minus;17]。通过区间分析方法和传统有限元法的结合，建立了区间有限元法。基于线性方程组摄动法的概念，邱志平等人[2]提出了区间有限元法的摄动方法。对于位移的上界和下界，该方法忽略了相关刚度矩阵和载荷矢量之间的参数之间的某些相互作用。因此，它降低了计算的准确性。从自由度的方面，Mcwilliam[4]提出了一种新的方法。从单元的角度，陈塑寰和杨晓伟等人提出了另一种新方法。这些方法考虑了刚度矩阵和载荷矢量之间的不确定参数之间的相互作用，从而得到了位移的合理上界和下界。但是，当区间变量的范围很广时，就很难应用这些方法来获得准确的位移和下界边界。
在本文中，通过区间值函数与实值函数的关系进行，探讨了区间相关性导致的区间扩张的问题。给出了减少误差的方法。 结合本文的思想，基于单元的子区间摄动有限元计算方法，给出了提高计算效率的一些方法和获得较好计算精度时的子区间数目的近似计算公式。最后，基于单元的子区间有限元方法和抗滑稳定性分析方法，给出了计算稳定系数界限的公式。为结构的合理抗滑稳定性的估计和评估提供依据。
1 区间扩张问题及处理方法
1．1 区间扩张问题
和实值函数的关系进行说明。
下面给出区间值函数和实值函数的例子[18]：
给定由式(5)得实值函数的值域为，由式(3)和式(4)通过区间运算获得区间值函数的值域分别为和。由此可见，具有相关性的区间参数进行区间计算会导致区间扩张；区间参数出现的次数越少，区间计算的相关性就越小。当每一个区间参数仅仅出现1次时，可以得出较为精确的解。因此，有下面的式子成立
1．2区间扩张的处理方法
对于区间函数和实值函数，将区间分成N个子区间，
对任意，子区间都存在满足关系式。因此，式子成立并且减少了区间扩张。
对于区间值函数，进行一阶Taylor展开我们可以得到
其中。这样，就可以将区间值函数F(x1)化成每一个参数仅仅出现1次的情况。通过式(4)的计算可以得知，当满足扰动条件时，会得到区间计算的较为精确的解且误差是很小的。
事实上，将上述两种方法联合应用可降低区间扩张的问题。对于函数，的真实值域是；直接应用区间算法得出区间是；子区间数目为8时，应用区间算法得区间为；子区间数目为256时，应用区间算法得区间为；摄动方法求得的区间为；当子区间数目为8时，子区间摄动法求得区间为。由此可见，子区间方法与摄动方法均可以减弱区间的扩张，并且子区间与摄动方法相结合可以用较少的子区间数目得出较为精确的区间范围。
2基于单元的子区间摄动有限元方法
在多数结构分析中有限元的公式表述为，但对于具有不确定性区间参数的结构系统来说，它的不确定参数可能包括弹性模量、密度、外荷载、几何尺寸等，这时有限元公式表述为
基于上述降低区间扩张的方法及文献[6]。基于单元的区间有限元计算公式，为了获得更精确的结构区间响应结果，下面将给出基于单元的子区间摄动有限元方法计算公式。设不确定区间参数向量为
对分子区间数为，有
对于每一个，单元劲度矩阵、单元荷载向量分别为和，通过一阶Taylor展开，我们可以得到
其中。由常规有限元方法可知，系统的整体劲度矩阵和整体荷载向量可表示为下列形式
其中
如果将和看作和的摄动量，那么由摄动公式和区间扩张理论，可得到静力位移的一阶不确定量为
其中，和分别是和扩充后的矩阵和向量。因此我们可以得到区间参数结构静力位移的上、下界为
与确定性有限元应力的求解公式类比可得应力为
考虑到单元的子区间摄动方法，故（21）式可变为如下形式
其中，为单元弹性区间矩阵，为单元结点位移区间列阵，为应力转换区间矩阵，为应变转换矩阵。所以有结构的应力区间为：
需要说明的是，因为相关性的求解过程中有与的参与，使得应力区间的精度低于位移区间的精度。
3子区间划分数目的计算方法
对于弹性问题和单间隔变量结构，假设不考虑不确定的载荷参数区间，为了获得足够的计算精度，通过公式（18），得到以下公式
取其中任意一个单元，可以求得的值。令
如果足够小，子区间数目满足
其中是的对应值，是结构参数偏差，是区间参数的单元数目，是位移响应均值。一般来说，对于区间有限元方法，需要计算结构整体劲度矩阵和位移响应均值和整体劲度矩阵的逆矩阵。 因此，公式（25）变得简单；由和接受的误差可得。
式(27)给出了计算单参数情况结构参数区间分割子区间的数目，对于多参数来说，某一参数分割子区间的数目将变为
对于多参数来说，按照公式（27）计算，参数分割子区间数为
其中为结构第参数区间偏差，为结构第个参数区间分割的子区间数目，为不确定结构参数的个数。
4稳定安全系数区间的计算
4．1点抗滑安全系数
在确定性计算中，整体抗滑安全系数计算公式为
其中，和为材料的粘聚力和内摩擦角，和分别为滑动面上的正应力和剪应力。应用区间有限元方法计算出滑动面上单元的正应力区间和剪应力区间，有
其中。如果，，，即为点抗滑安全系数区间。
4．2整体抗滑安全系数
在确定性计算中，整体抗滑安全系数计算公式为
应用区间有限元方法计算出滑动面上单元的正应力区间和剪应力区间。有
5算例分析
为了解释所提出的概念和方法，我们给出以下两个计算示例。
例1 如图l所示具有6杆件的桁架结构[2]。不确定参数为杆横截面面积和外荷载。已知桁架材料的弹性模量，长度，杆1、2、3、4的横截面面积，杆5、6的横截面截面积，外荷载。
设，计算得如。由此可知参数区间不需进行分割。桁架结构位移区间计算结果如表1。
例2 上部结构和地基系统如图2所示，其中上部结构参数为弹性模量，泊松比，自重，水平分布力。地基弹性模量，泊松比。将软弱夹层的弹性模量考虑为区间变量，软弱夹层弹性模量，泊松比，自重，粘聚力，内摩擦角，软弱夹层厚度为。
基于单元的子区间摄动有限元方法，计算分析了地基接触面与上部结构的受力情况和抗滑安全系数；选取软弱夹层的弹性模量为区间变量的两个端点值。坐标系以水平向为方向，垂向为方向。单元网格图见图3。共60个单元、80个结点，软弱夹层分为4个单元。地基两侧和底面均采用链杆约束。
设，计算得如。把参数区间分割为64个子区间。表2、表3给出了区间有限元与确定性有限元计算所得应力和的对比，表4给出了软弱夹层点抗滑安全系数的对比。
由表2和表3可以看出，区间有限元法获得的应力区间比传统有限元法获得的应力区间上下界更宽。这是因为应力区间是通过位移区间与弹性区间矩阵、应变转换矩阵相乘计算得来的，而位移区间与弹性区间矩阵有一定的相关性。从表4可以看出，通过某些计算获得的安全系数参与了由区间有限元法获得的安全系数区间，为评估和评估结构抗滑稳定性提供了依据。
6结 论
从区间有限元计算精度的角度出发，利用区间扩张的摄动和子区间处理技术，提出了基于单元的子区间摄动有限元方法。从数值模拟结果可以看出，该方法是有效的。对于自由度较少或者含不确定参数的单元较少时，计算速度是非常快的，并且能得到较高的计算精度，但是当自由度较多时，如何进一步提高其计算效率仍然是一个值得研究的问题。
本文用区间分析方法来分析结构的抗滑稳定性问题。可以获得结构抗滑稳定安全系数的区间范围，为估计和评价结构的稳定性提供一定的依据。文中仅仅将弹性模量作为区间参数，当然，还可以将泊松比、粘聚力、内摩擦角等作为区间参数。
参考文献
- Rao S S.Berke L. Analysis of uncertain structural systems using interval analysis[J]. AIAA Journal, 1997, 35(4):725–735.
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- Qiu Zhiping, Gu Yuanxian. Perturbation methods for evaluating the bounds on displacements of structures with uncertain but bounded parameters[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 1999, 16(1):1–10 (in Chinese).
- Mcwilliam S. Anti-optimization of uncertain structures using interval analysis[J]. Computers and Structures, 2001, 79(4):421–430.
- Chen Suhuan, Lian Huadong, Yang Xiaowei. Interval static displacement analysis for structures with interval parameters[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2002,53(2):393–407. <li
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