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预测汇率波动：GARCH模型与隐含波动率预测
摘要：本研究调查了不同规格的单变量GARCH模型是否可以有效地预测外汇市场的波动性。 该研究将对称和非对称GARCH模型的样本内预测与美元平价的货币期权得出的隐含波动率进行了比较。该数据集涵盖2002年至2012年。我们将数据分为两个时期，一个是2002年至2007年，其特点是波动性较低，另一个时期为2008年至2012年，其特点是波动性很大。 本文的结果表明，隐含波动率预测在低波动率和高波动率期间明显优于三个GARCH模型。 结果有力地表明外汇市场有效价格在未来的波动。
一、简介
外汇市场是迄今为止世界上最大，最具流动性的金融市场。 据国际结算银行2013年4月报道，日均成交额为5.0万亿美元。 外汇市场主要由三个相互关联的部分组成; 现货交易，远期交易和衍生合约。 与其他金融市场一样，当交易者对新信息做出反应时，货币市场可能会波动并呈现波动性聚集期。
改善对外汇市场波动性的预测对于对冲货币风险的跨国公司，金融机构和交易商来说非常重要。 波动率通常定义为在给定时间段内资产收益的标准差或方差。 外汇期权的交易者试图如果他们预期波动率会超过货币期权保费所隐含的波动率，并且如果他们预期波动率低于期权保费目前所暗示的波动性，那么通过购买期权获利。
本文通过比较货币期权价格隐含波动率与三种不同单变量GARCH模型波动率预测的预测，考察了外汇市场在定价期权波动率方面的效率。
如果外汇市场有效，那么隐含波动率预测应该优于GARCH预测。 此外，正如Engle和Patton（2001）所说，GARCH预测模型的重点在于它们应该有助于预测未来的波动性，因此看看它们是否能够击败隐含波动率预测本身就是一个有趣的话题。 我们涵盖2002年至2012年期间的研究期间特别有意思，因为它也融入了金融危机时期，也导致外汇市场动荡明显增加。
本文的结构如下：第2部分回顾了我们用于预测的三个单变量GARCH模型。 第3节更详细地介绍了所使用的模型和波动率的估计。 第4节介绍数据的功能及其属性。 在第5节，我们提出研究结果，第6节总结。
二、GARCH模型的使用
在过去十年中，预测汇率波动一直是经济期刊中非常热门的话题，例如Busch等（2012）。使用不同的时间段，数据频率和汇率对研究使用了广泛的波动率模型。条件方差模型，如ARCH和GARCH，最常用于预测波动率。在本研究中，我们使用对称和非对称GARCH模型。我们使用的对称模型是Bollerslev（1986）和Taylor（1986）的GARCH（1,1），GARCH（1,1）模型更广泛
因为它更加简约并且避免过度拟合而因此不太可能违反非负性约束。我们还研究了Nelson（1991）的EGARCH和Glosten的GJR-GARCH，Jagannathan和Runkle（1993）的两个不对称模型。与GARCH（1,1）相比，EGARCH模型有两个关键优势。首先，该模型测量日志返回，因此即使参数为负，条件方差也将是正。其次，模型允许不对称，可以不依赖杠杆效应。我们使用的第二个不对称模型是Glosten等人（1993）的GJR-GARCH模型。 GJR是GARCH的扩展，附加了一个术语，用于捕捉可能的不对称性。我们将这些模型的预测与bloomberg提供的隐含波动率系列进行比较。
Bollerslev（1986）表明GARCH模型优于ARCH模型。然而，Baillie和Bollerslev（1991）使用GARCH模型来检验美国外汇市场的波动模式，结果普遍较差。在ARCH和GARCH到来后的二十年中，已经建立了几种基于GARCH的方法。 Nelson（1991），Higgins和Bera的NGARCH（1992），Glosten的GJR-GARCH，Jagannathan和Runkle（1993），Zakoian的TGARCH（1994），QGARCH bySentana（1995），还有更多可以参见例如Bollerslev（2008）。
在一项有趣的研究中，Hansen和Lunde（2005）发现GARCH中没有一个模型优于简单的GARCH（1,1），这可能是令人惊讶的，因为GARCH（1,1）不依赖于杠杆效应。虽然Nelson的EGarch比线性GARCH模型有几个优势，例如Brownlees和Gallo（2010），但在某些视野中，EGARCH产生最准确的预测，但在其他视野中，EGARCH的表现优于线性GARCH模型。 Donaldson和Kamstra（1997）使用GJR-GARCH（1,1）预测国际股票收益波动率，发现该模型比GARCH（1,1）和EGARCH（1,1）产生更好的预测。
然而，使用ARCH，GARCH，GJR-GARCH和EGARCH，Balaban（2004）发现标准GARCH模型总体上是每月美元兑德国汇率波动的最准确预测。
Dunis等（2003）研究了几种货币波动的替代模型相对于8种货币对的中期预测能力，并发现没有特定的波动率模型在1991-99年期间的预测波动率方面表现优异。 Andersen和Bollerslev（2002）展示了即使是非常短期的低至5分钟的波动率如何能够在解释日内甚至每日波动时获得信息内容。类似地，Ghysels等人（2005）提出，在不同时间范围内混合数据可以在预测未来波动性方面具有有用的信息内容。在最近的一项研究中，罗纳尔多（2008）表明汇率波动的日内模式取决于国内外货币营业时间的正式开盘和收盘时间，而本国货币在开盘时间趋于减弱由于国内居民出售本国货币以获得外币
无论有关波动率模型评估的广泛文献如何，我们都无法找到最佳模型，以便在预测波动率方面提供最有利的表现。 然而，这项研究关注的是外汇市场在定价货币期权方面的效率。 如果它有效地定价，那么可以预期隐含波动率将优于GARCH模型提供的计量经济模型。
三、可选的GARCH规则
在本节中，我们将看看我们在本研究中使用的三种GARCH模型; 即GARCH（1,1），EGARCH（1,1）和GJR（1,1）。
完整的GARCH（p，q）模型由下式给出：
在GARCH模型中，条件方差取决于平方误差的q滞后和条件方差的p滞后。 从等式（2）我们可以看出，拟合方差是一个加权函数，它是关于前一时期波动率的信息，前一时期模型的拟合方差和长期方差。 应该注意的是，GARCH模型是对称的，因为忽略了干扰的符号。
由于我们使用的是GARCH（1,1），因此模型的条件方差为：
yt = beta;1 beta;2x2t beta;3x3t beta;4x4t ut ,（2）
其中2是条件方差，因为它是对任何过去被认为相关的信息计算的方差的一个前期估计。 虽然条件方差取决于过去的观察，但GARCH模型的无条件方差是恒定的，并且更关注时间序列的长期行为。 无条件方差由下式给出：
该系数衡量的是今天波动性冲击在多大程度上影响到下一个时期的波动性，换句话说，它与长期波动率相对应。 只要alpha;1 beta;lt;1，无条件方差就是常数（6）。
指数GARCH模型是标准GARCH模型的众多方法之一。 有几种方法可以在EGARCH模型中表达条件方差方程。 我们使用以下规范：
在该等式中，omega;表示长期平均值。 参数gamma;允许不对称，因为如果波动率和收益率之间的关系为负，则gamma;将为负值，这意味着好消息产生的波动性低于坏消息（7）。
EGARCH的无条件变化由下式给出：
GJR-GARCH变体还包括用于模拟不对称波动率的杠杆术语。 在GJR模型中，大的负面变化更可能出现大的负面变化，而不是积极的变化。 GJR模型只是GARCH模型的简单扩展，添加了一个额外的术语来捕获可能的不对称性。 GJR-GARCH规范由下式给出：
如果存在杠杆效应，我们将观察到gamma;gt; 0。 还可以观察到，必须施加的非负性约束要求alpha;0gt; 0，alpha;1gt; 0，beta;ge;0，???alpha;1 gamma;ge;0并解释为什么该模型不太可能违反非负性约束。 标准的GARCH模型。 如果gamma;lt;0，则该模型仍然是可以容忍的，假设alpha;1 gamma;ge;0成立。 即使GJR模型与EGARCH模型具有相同的目的，这种模型的行为方式也不同。 从等式（5）可以看出，EGARCH的杠杆系数与实际创新直接相关。 然而，对于由等式（7）给出的GJR-GARCH，我们看到杠杆系数通过指示符变量（I）连接。
当发生非对称冲击时，GJR模型的杠杆效应应为正，而EGARCH模型的杠杆效应应为负。 因此，即使它们被设计为捕获相同的效果，这两个模型也是不同的。
GJR-GARCH模型的无条件方差由下式给出：
当估计GARCH模型中的参数时，我们使用最大似然，因为其估计比OLS更有效，因为分布以更快的速率收敛到参数的真实值，并且通常最大似然找到最可能的参数值。 实际数据。 在非对称和对称GARCH模型中，该技术通常用于寻找参数。 接下来，我们必须为均值和方差指定适当的方程。 如果我们有一个具有一个滞后和GARCH（1,1）模型的自回归过程，则均值和方差方程将为：
给定均值和方差方程，我们现在可以指定对数似然函数（LLF）必须在误差项的正态假设下最大化：
在存在条件异方差性的情况下，我们必须做出一些调整~??我们将误差项的假设改为~?（0，sigma;?2），以便方差随时间变化。 在GARCH模型的对数似然函数中，我们用第二项 代替。 另外，我们用sigma;?2代替等式（11）中的sigma;2。 当误差项中存在异方差时，LLF的计算更复杂，我们使用MATLAB进行计算。 与许多早期的研究一致，我们最终得到了恒定的平均值
GARCH（1,1）模型，因此条件方差取决于一个移动平均滞后和一个自回归滞后。 我们进行了Ljung-Box-Pierce Q检验，以验证原始回报中的任何相关性是否达到20滞后。
根据Andersen等人（2001年和2003年）计算实际波动率，我们使用以下计算（8）：
我们使用均方根偏差（RMSE）来测量预测的准确性，如公式（13）所示
RMSE具有与预测变量在同一单元中测量的优点。
在本研究中，我们在样本中生成预测。 因此，对于样本内预测，该期间内的所有观测将用于估计模型，并将结果与实际值（实现的波动率）进行比较。 在样本预测中使用意味着最大化GARCH模型击败隐含波动率预测的可能性。 在本节中，我们将查看本研究的抽样数据
四、数据
我们收集了欧元，英镑，瑞士法郎和日元兑美元汇率的四种货币对的每日收盘价。 数据来自2011年1月1日至1月1日至12月30日。每个货币对有2609个观测值，图1显示了收益的经验分布。 我们将使用直方图来说明回报的密度，并叠加来自正态分布的曲线。
从图1中我们看到回报接近正态分布。
图2显示了在研究期间的每日回报日志，并且有明确的波动性聚类周期。
在图2中，我们可以看到该系列是静止的，大部分回报位于零附近。 然而，这些一些峰值在高波动期间的第一顺序差异。 为了比较所提出的模型，我们将使用实现的波动率，如图3所示：
所观察到的信贷紧缩导致2008年开始的所有汇率对的波动性激增，实现波动率的属性列于表1
从表1可以看出，瑞士法郎 - 美元平价具有最高的波动率和最高标准差，这一货币对迄今为止波动率的波动幅度最大，这主要是由于波动性的两次波动。
图3绘制了隐含波动率的数据。 我们可以看到已实现和隐含波动率之间的相似性。 然而，我们看到，在瑞士法郎美元平价的情况下，估计的峰值对于已实现和隐含波动率而言看起来不同。 我们可以通过将数据统计信息放在表中来仔细查看属性。
五、实证结果
在本节中，我们将展示金融危机期间全部期间和开始前后的样本内预测结果。 对于GARCH（1,1）模型，我们有四个未知参数来估计，即C，，，。估算是使用MATLAB进行的，并在表3中报告：
alpha;1是ARCH参数，对于1％显着性水平的所有汇率都很重要，beta;是GARCH参数对1％水平的所有汇率对也很重要。 给定方差方程的估计参数，进行事后预测（10）。
在EGARCH模型中，与标准GARCH模型相比，必须估计附加参数。 由于该模型是不对称的，因此必须进行估计以捕获杠杆效应。 结果报告在表4中。
从表4可以看出，对于英镑和欧元 - 美元对，杠杆参数在1％的水平上并不显着。 然而，杠杆参数对美元/日元和美元/瑞士法郎都很重要。 对于所有汇率对，ARCH和GARCH参数在1％的水平上都是显着的，并且在标准GARCH（1,1）中，GARCH参数是非常重要的（10）。
与EGARCH一样，对GJR-GARCH模型进行建模需要估算gamma;来捕捉杠杆效应，结果见表5
从表5中我们可以看出，对于日元兑美元和瑞士法郎的平价，杠杆参数在1％的水平上是显着的，但对于日元兑美元和欧元兑美元的平价而言仅在10％的水平上显着。 GARCH和ARCH参数在1％的水平上是显着的。 我们看到杠杆参数对英镑和欧元兑美元平价为负，表明回报与波动之间的关系为负。 然而，只要alpha;1 gamma;ge;0，就允许杠杆参数为负，这是这种情况。 另外，在我们的例子中，满足以下gt; 0,gt; 0，ge;0的约束。
表3至表5中报告的结果显示了对模拟汇率波动的G
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