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总变差谱框架模型纹理分析
摘要：
提出一个新的全变差频谱框架。提出一个可以被解释为一个频谱域,有像磁盘,脉冲一样的基本全变差函数的全变差变换。给出允许新过滤器的空间域的频谱重建公式设计。制定一个新的框架表示的图像可以提高天平意义上的理解,提高分析和处理的纹理。纹理处理应用程序的一个例子说明了这种新的可能带来的好处框架。
关键字：变分方法，全变差流，非线性频谱理论，纹理处理。
AMS：主题论述：35 A15, 35 A22 ,68 U10 ,35 P30。
1.简介
现在，总变差函数（total variation (TV) functional）是一个基本的图像处理的正则化工具。它用于去噪（denoising）和反褶积（deconvolution）（反卷积），视觉流法（optical-flow），层析重建（tomographic reconstruction），纹理（texture）和图像分析]等等。自从它在图像处理的背景下被介绍以来,许多研究已经专心的致力于实现它的分析和解释。本文使用一个可以使用基本的全变差元素分解和重建图像的频谱框架，进一步加强这个用于图像的分析、纹理处理和特征提取的函数的直观性和适用性。
频谱分析已被广泛用于建模为平稳随机过程的信号的分析和处理。对于更复杂的非平稳信号，如图片和演讲语言，谐波分析方法被以小波，谱图理论和扩散图谱的形式发展。笔者探索一种为全变差分析提供频谱信息的方法。变换成想要的非线性特征值问题的方法也将被叙述。这个新的陈述基本上可以创建新的方法去成功促使频谱理论过渡到基本符合全变差函数和 正则化的形式。
Steidl[58]和其他人已经展示，Haar(哈尔)小波正则化全变差和全变差流.这个等效一维离散的密切关系，这后来在2D环境中得到发展。尺度空间框架中的特征的发展和临界点的涌现进行了也被许多人研究。在非线性比例形态信号处理领域，过滤和转换被引入的更早。
这个框架依赖于Andreu和其他人提出的全变差流等确定理论，以及其更进一步的发展和引用。
1.1初步定义和符号记法
尺度空间方法采用自然的方式来定义:
（1.1）
其中，f(x)是输入图像，u(t;x)是增加尺度(时间t作为尺度参数) 的一组解决方案，part;uJ(u)表示J(u) 函数的次微分正则化。假定诺伊曼边界条件成立。
重点是总变差模型的函数:
（1.2）
其中，Du表示u的分布梯度。因此总变差尺度空间自然检查,也就是全变差流[4]，可以正式的写成:
，
， （1.3）
，
其中，Omega;是图像域(在和李普希兹连续边界part;Omega;中的有界集)。我们假设f有足够符合均匀规律的空间。
1.2大纲
在第二节提出并描述了总变差频谱框架。在第三节描述了一种充分利用这个框架的优势纹理处理应用程序。第四部分展示了各种变换的例子、频谱图、频谱分量、过滤和纹理处理应用程序的结果。第五节总结这份研究报告和自己的心得体会。笔者试图获得一个可以以类似图1.1方式的使用的总变差变换。
图1.1使用变换处理图像的经典的通用的方式插图(如傅里叶变换和小波变换)。
2.全变差频谱框架
笔者现在给出如何推导并得出这种变换的一些想法。当然，使用其他更多正式的方法可能也会得到了相似的结果。我们的目标是构建一个可以在变换领域的分析中占据主导地位的函数，过滤那个领域，然后进行反变换回空间域，得到过滤响应的全变差变换。图1.1给出了一个处理流程的插图。这是一个经典分析信号和图像处理和过滤策略，如使用执行傅里叶和小波变换。变换域通常是一个非常不同的表示的信号或图像，允许更好的分析和过滤。笔者的尝试在非线性环境中有一个基于全变差函数可能扩展到其他正则化的类似的同行。
在傅里叶分析，正弦和余弦函数或与虚数指数参数是基本的转换函数。它们在傅里叶域中形成脉冲。这怎么能推广到全变差域？笔者首先检查一些在全变差观念中的相似的基本元素。众所周知，磁盘是全变差函数的基本结构。例如，他们满足特征值问题，其中 lambda;isin;IR，这意味着他们的形状在整个演化(高度减少直至消失) 过程中完全相同。磁盘合法化和演进分析解决方案在全变差正则化模型[50,60]和总变差流[4,5,11]中获取，并在逆尺度空间[18]得到更多发展演化。
让我们回忆一个简单的例子:一个单一的磁盘在二维进化的解析结果。一个半径为r的磁盘的指标函数是:
对于高度为h, hI(x) 的磁盘，对于所有的t直到磁盘消失，我们有。笔者用表示消失时间。
图2.1在磁盘的演化的说明。
在例如时值是，在时间时刻二阶导数是脉冲信号。(这里我们设置r = 4 ,h = 2因此)。
因此全变差流u(t)结果为：
时间的一阶导数和二阶导数是:
delta;(t)表示一个在t = 0的脉冲(函数)，图2.1给出了一个例子。
我们观察到表现为一个基本结构的脉冲,因此,它是一个适合频谱表示的优秀候选。这样我们也会喜欢不同的时间响应将不变。我们通过乘以时间t实现正则化。稍后将看到这产生了一个简单的重建公式。
2.1全变差变换
让全变差变换定义的
（2.1）
其中tisin;(0,infin;)是全变差流,方程(1.3) 的时间参数, 是那个流中的u时间的二阶导数。这个描述不是很正式，注意导数的分布和在一些跨度可能是无限的 (如我们看到的特征函数)。我们假设对于时间是可积的,也就是说对于任何 ，有 (常态次微分的相关规律)。在下面的评论中对一些规律性注意事项进行了讨论。
现在我们需要逆变换，重建一个信号从所有响应。重建公式非常简单,被定义为:
（2.2）
是初始条件的平均值。当然，如果我们做的没有操纵频谱域过滤,我们希望重建图像初始条件的f，规定如下:
定理2.1：对于定义在(2.1) 的，,重建公式(2.2)在的意义上恢复,也就是说。
证明：我们检查方程(2.2)右边的左项。分部积分法服从：
我们使用全变差流有限消失节拍的性质。[5] 定理5中给出了一个的用能量方法二维证据。在[36]定理2.4,2.5最近给出了一个全方位使用能源估计和索伯列夫不等式的证明。从本质上讲,这性质意味着对于一些我们有。因此在同样的时间范围有和。我们假设，在例如2.2.1部分[23]可以看到的更多关于这个设置的细节。由于我们得到。时, 。因为诺伊曼边界条件的意思是不变,所以。最后，初始条件规定。因此可以写成，又，因此有。
注意：这里简要检查的规律性。让我们假设次微分符合。让成为一个有限的消失时间,然后对任何我们得到：
和前面一样利用分部积分 (规范) 我们有。
由于，， 而且t1,t2是有限的，我们推断Q lt;infin;。注意，遵循在[20] 4节的定理4.1，它表明对于初始条件我们有一个常规TV-flow解决方案表明在某种意义上，对于任何t gt; 0，都有，，。在[21]中，对u(t)的设置有一个更广泛的讨论。
可以概括这个定理的函数，不同于最后一次消失的性质无效或者很难验证全变差。同时，从计算的观点，可能不用演化整个尺度空间(直到灭绝时间)也仍可以观察频谱, 在演化直到一段时间t的基础上执行过滤和重建图像。在这种情况下我们可以用下面的有限时间重建公式：
（2.3）
是剩余部分，定义为
（2.4）
我们可以通过使用与定理2.1相同的参数证明一个类似到f(x)的还原保持不变。
图2.2一维的磁盘和相应的数值频谱响应S(t)
定义2.2(全变差频谱响应)：当tisin;(0,infin;)时，全变差频谱响应定义为：
（2.5）
频谱响应大致对应的振幅响应的傅里叶域中(见图2.3)。如果时间在响应为高，则元素是图像的一个重要组成部分。如果响应是低，这个元素可以忽略不计。在图2.2中描述了计算离散的一维磁盘响应。正如预期，我们将在我们的实验中展示，高频谱响应元素组成了图像的主要特征。
2.2非线性特征值问题
我们想要特征函数和频谱分量之间获得一个关系。这遵照写在主题为TV-flow分析上的文章的主体部分。这部分给出了一个关于这个主题的非常简短的介绍。完成的理论分析可以在上面的引用和相关研究中找到。
函数的非线性特征值问题定义为：
（2.6）
我们表示u符合[2.6]的特征函数，其中alpha;是对应的特征值。[11]中给出特征函数的描述由凸特征函数的特性 组成：
（2.7）
对于 ，C是凸的 ，P(C) 是C的周长,， 是C的面积，kappa;是曲率。在这种情况下,特征值为 。
我们简要地提一下齐次微分的一些函数性质。我们指的是一阶的齐次微分的一个函数，假设。我们再说下下一个一阶的齐次微分的性质：。这可以用次梯度的定义表示：。假设由得。另一方面，令v = 0，由J(0)= 0得。
使用上面的结论，得另一个如下有用的属性：如果J(u)是一阶的齐次而且，那么可以得到：
（2.8）
这可以显示通过使用一阶的齐次和次梯度的定义。两边同时减去次梯度定义我们得到约束。使用我们可以得到，因此。
可以制定一份声明使与特征函数相关。这基于上面提到的TV-flow研究，这儿我把它们放在频谱环境中。对于一个是特征函数(符合(2.6))初始条件f我们有：
（2.9）
在[11] 的第 8节和[3]的第5节可以看到正式关于特征函数的TV-flow解决方案形式的分析。通俗的说,可以在中对t的求导,发现它符合TV-flow方程(1.33)。在[11]推论1有独特的流。这背后的主要的直觉是:结构p有许多 f且p的恒定速率递减对所有f多样性是相同的(方程(2.8)的结果)，因此时间是常数。
关于时间流的规律，可以参考[11]第7节。特别地，推论2陈述时间的规律性为。为得到我们采用解析解(2.9)(u(t)随时间递增) 的二阶导数。从的定义，我们写出它的分布规律形式，因为这个表达式非零，只对，我们可以得到。S(t) 的表达式从它在的方程(2.5)式的定义中得出。
换句话说,特殊情况下的信号组成一个特征函数，我们在恰巧是特征函数时间得到一个频谱分量。
信号由几个空间分离的特征函数组成，观察数值，得到频谱峰值和与最初的特征函数一致的函数。一些特定的情况下可加性条件已经被许多人研究过，参见[11]9节的定理6和11节中给出的示例，在[3]中的定理14、16和18给出了更详细的陈述。我们采用两个半径r不相交的磁盘作为一个简单的例子，如果他们之间的距离中心L足够远，符合Lge;pi;r，那么他们的演化与每个磁盘分别演化相同。涉及Cheeger相关研究和最近的一次非线性函数的奇异向量模拟即基态奇异向量模拟。
图2.3理想低通滤波和低通滤波尺度空间的一维例子。
图2.3的上面一行, 左侧为f1处理方式，中间蓝线为频谱过滤响应, 虚线绿线为全变差流响应的结果，右上角显示为频谱响应。在下面一行一个在傅里叶理想滤波器模拟线性情况下过滤器f2(蓝线)和线性扩散(虚线绿线)。
2.3频谱过滤
这里我们介绍和形式化的一个频谱框架提供的主要优势，构建过滤器在变换域的能力。这使得以前没有构想过得新型的基于全变差函数的过滤器的设计成为可能。它通过简单的放大(或衰减)函数H(t)控制每个尺度t的放大程度 。
图2.4理想的低通滤波器响应和TV-flow的比较。
在这两种情况下,响应显示过滤的最小圆的最小程度上完全消失。对比强烈的和稳定的全变差理想滤波器的结果，TV-flow看到一个更大的圈。
在进入正式的定义之前，让我们先得到滤波方法的直觉。我们可以通过它的特征函数的反应定义一个过滤器。作为一个简单的例子，已线性情况开始研究，然后泛化到全变差。我们检查函数。我们有而且特征函数是指数函数，特征值是。傅里叶滤波H(omega;)，可以视为每个特征函数的放大的数量。
以类似的方式,让我们考虑一个特征函数v 使，。在频谱域我们在得到一个峰值。一个过滤器H(t)特征函数在t的放大倍数。我们将使用等价于t的项模型。全变差模型意味着对象的大小和对比。
一些简单的过滤的例子如图2.3，2.4和2.5所示。第四节给出了更多关于这些例子的细节。现在，我们将继续更正式的陈
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