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偏微分方程数值解法

有限差分法的基本概念

有限差分格式

1.1基本概念

求解区域是x-y平面撒灰姑娘的一个有界区域Q，其边界为分段光滑曲线，取沿x轴和y轴方向的步长（某一个方向上取得单位变化距离）为和，做两轴分别于x轴和y轴平行的直线：

，

，

网格点（节点）：平行于x轴和y轴得直线相交得交点，并记为(x,y)或简记为(i,j)

相连节点：若两个节点在x轴或y轴方向得距离是单位步长，则称两节点为相连节点

内部节点：某个节点得所有相连节点都是椭圆光滑曲线内部，则称该节点为内部节点

边界节点：若某个节点存在一个相连节点不在椭圆光滑曲线内部，则称该节点为边界节点。

1.2用Taylor级数展开方法建立差分格式

用有限差分法近似求解偏微分方程问题有多种方法，并且可以使用不同的构造方法建立这些有限差分方法。用Taylor级数展开方法式最常用的方法。

对流方程初值问题：

=0，xR，tgt;0 (1-1)

,xR (1-2)

扩散方程初值问题：

=,xR，tgt;0 (1-3)

,xR (1-4)

（其中gt;0）来进行讨论。

假定偏微分方程初值问题的解是充分光滑的，使用,或，表示括号内的函数在节点处的取值。

如果是满足偏微分方程（1-1）的光滑解，则

[ =0

由此可以看出偏微分方程在（，）处可以近似使用以下方程来代替：

=0，j=1,1,2,...,n=0,1,2,... (1-5)

其中为的近似解。（1-5）式称作逼近微分方程（1-1）的有限差分方程或简称差分方程。

=-（ ），

其中，称为网格比。

差分方程（1-5）在加上初始条件（1-2）的离散形式

，j=0,1,2,..., (1-6)

就可以按时间（y值）逐近推进，算出各层的值。层表示在直线t=n上网格点的整体。差分方程（1-5）和初始条件的离散形式（1-6）结合在一起构成一个差分格式。事实上，（1-5）式就给出了根据初始条件（1-6）来确定（j=0,1,...）的一个算法，因此称（1-6）为一个差分格式。差分格式就是隐含了初始条件，边界条件的离散。在这样的含义下，当构造出差分方程，就认为已构造出一个差分格式。

由第n个时间层推进到n 1个时间层时，公式（1-5）提供了逐点直接计算的表达式，因此称（1-5）式为显式格式，计算第n 1层时只用到n层的数据,前后仅联系到两个时间层次，故称(1.5)式为两层格式，确切的称为两层显式格式。

1.3积分方法-扩散方程

考虑扩散方程（1-3），对该方程进行积分，首先要求选定积分区域，设在x-t平面撒谎给你积分区域为：

D= {（x,t）|-}

积分有：

。

直接求积可得：

=

应用数值积分可得：

[()-()]. (1-8)

注意到

=

而

()h.

由此可以得到

()h。

同理有

()h。

将上面两个式子带入（1-8）得到

[].

由此得出

=。

积分方法也称为有限体积法。

1.4隐式差分格式

前面构造的差分格式都是显式的，即在时间层上的每个可以独立根据在时间层上的值得出，但并非都是如此，如果采用

=

可以得到扩散方程（1-3）的另一个差分格式

1.4有限差分格式的阶段误差

为了叙述方便，引入以下差分记号

向前差分：

=- (2-1a)

=- (2-1b)

向后差分：

=- (2-2a)

=- (2-2b)

中心差分：

=- （2-3a）

=- （2-3b）

二次应用中心差分算子可以得到很有用的二阶中心差分

=-2 （2-4）

有时亦可以应用两个区间上的中心差分

=(-)

=[-]

对于扩散方程（1-3）的解，关于t的向前差分的Taylor级数展开有

=-

= ...。 （2-5）

对变量x进行Taylor级数展开有

= ....。 （2-6）

考虑扩散方程（1-3）的显示格式，用微分方程的解来替代全部近似解，这样得到方程两边的差就是截断误差。事实上，对于不在边界上的任意一点（x,t）,可以定义截断误差为

=-， （2-7）

其中式扩散方程（1-3）的解。

假定式充分光滑的，利用（2-5）式，和（2-6）式有

=（-a） - ....

=- ...

上面推到中利用了u满足微分方程的这一个事实，上式等号两项称为截断误差的主部。

由截断误差的定义以及上面给出的三个具体的例子可以得到，只要网格部分分得很细，即使和h很小，那么微分方程（1-3）的近似地满足相应的差分方程，一个有限差分格式的截断误差表示（偏微分方程之解）代替（差分方程之解）的差分方程于在点（）上的偏微分方程之差。

由截断误差的定义可知，要求出一个差分格式的截断误差，只要把相应的微分方程问题的充分光滑的解代入这个差分格式，在进行Taylor级数展开就可以了。

对于扩散方程（1-3），可以建立有限差分格式

-a=0 （2-8）

差分格式（2-8）称作Richardson格式。也可以把（2-8）式写成便于计算的形式

= 2a(-2 ) (2-8)`

其中，容易看出，这个格式的截断误差是

从截断误差这个角度考虑，由(2-8)`可以得出，计算第n 1层的值，要用到第n层的值，，以及第n-1层的值，这样前后联系到三个时间层，因此称为三层格式。在实际计算中，三层格式所需的存储多，并且从初始层推进到第1层还必须用到其他二层格式来完成。一般的，一个多余二层的差分格式称为多层差分格式。

如若一个差分格式的截断误差T= ，则称差分格式对是p解精度，对h是q阶精度，若p=q，则称差分格式是p阶精度的。其中（2-8）式就是2阶精度格式。

1.5有限差分格式的收敛性

当时间步长和空间步长h无限缩小，差分格式的解是否逼近微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题，这个问题是差分方法中一个非常重要的问题，显然，在计算之前，最好需要做出明确的回答，然而，有很多实际问题目前还无法给出这样的答案。

设是偏微分方程的解，是逼近这个微分方程的差分格式的“真解”，这里的真解是指在求解差分格式过程中，忽略了各种类型的误差，比如摄入误差等，即是说求解差分格式的过程是严格精确的。就称差分格式是收敛的。如果当时间步长和空间步长趋向于零时，

上述意思就是说，当时间步长和空间步长趋于0时，差分格式的解逼近于微分方程的解。

通过求解差分格式来获取偏微分方程问题的近似解，因此收敛性的重要性就很明显了。显然，不收敛的差分格式时无实用价值的。

对流方程的收敛性问题：

=(1 -T)

其中T为平移算子，=为网格比，利用上式可以得到

=(1 ）-T

把初始条件带入并利用二项式展开有

=(1 ）-T=

= （2-11）

由此可以看出，计算时要用到初始条件在点集

，，...，

上的值。零一方面，对流返程的解在点（）的依赖区域时x轴上的一个点-。因此改变初始条件g(x)在-上的值，将必然改变微分方程的解u在（）的值。如果差分格式不收敛，对使用该差分格式来求解对流方程的初值问题时不现实的。

现考虑差分格式：

-=0

的收敛性问题。设u（x,t）是初值问题的解，是差分格式的解，令T（）为差分格式在点（）处的截断误差，则有：

T（）=-

此式可以改写成

= (1-2) [ ()]

其中，差分格式写为：

= (1-2) [ ]

此式减去上式，并令

= -

可得

= (1-2) （ ）-()

如果令21，则上式右边的三项系数均为非负，由此可得

||(1-2)|| || || |T()| （2-13）

假定为初值问题的充分光滑的解，有截断误差计算可知

|T（）|

在令

=

则由（2-13式得）

||(1-2) ( ) ( )

从而有

( )

由不等式递推得

( )

注意到，在初始时间层上，有

=u(,0)=g()=

所以有=0，因此==0，由此可以得到

( )

假定初值问题中tT，则T，这样

( )

令，即，即，上述证明中，假定了1，这一个条件，这个条件式不能省略的。

不收敛和收敛的两个差分格式都是相容的，由此可以看出，收敛性相容性式完全不同的概念。对于一个相容的差分格式，这样判别是否收敛，这样太过于麻烦，从而要求寻找一些判别差分格式的收敛准则。

16有限差分格式的稳定性

利用有限差分格式进行计算时，是按时间层逐近推进的，如果考虑二层差分格式，那么计算到n 1层上的值时，要用到第n层上计算出来的结果值，而计算第n层的值的舍入误差必然会影响到第n 1层的值，从而就要分析这种误差传播的情况，希望误差的影响不至于越来越大，以至于掩盖差分格式的解，这就是所谓的稳定性问题。

首先考虑以下问题的稳定性：

=-（ ），

其中网格比为，假设agt;0,差分格式从初始层开始逐层计算，当初始数据的选取存在误差时，考虑这个误差的传播情况，为了方便分析起见，不考虑在逐层计算过程中存在舍入误差。假定初始数据误差的绝对值为，其符号交替地取正号和负号。利用（2-11）式可知，差分格式的解在（）处的误差为：

（1 （-（-1

=（1 （

=（1 2

遇事，对于固定网格比以及agt;0的情况，差分格式的解的误差随时间步长的步数n的增加而增加，所以认为该差分格式式不稳定的。

使用如下差分格式：

=0

来求解对流方程初值问题

=0 ，

=g(x) ,

其中，

取空间步长h=0.1，此使计算到n=9时，取=0.9，1.0时，用差分格式计算出来的解时于微分方程的解时基本符合的。而当=1.1时，差分格式的解出现了振荡，计算不出所需要的解，在实际计算中，当时间越长，差分格式的振荡越大，可导致计算的不稳定。上述计算例子说明，差分格式的稳定性不仅于差分格式本身有关，而且于网格比的大小有关。

差分格式的稳定性在差分方法的研究中具有特别重要的意义。

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