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基于混沌驱动进化算法的PID控制
作者：Donald Davendra,Ivan Zelinka,Roman Senkerik
摘要
本文提出的混沌驱动微分进化算法和自组织迁移算法应用于PID(比例-积分-微分)控制器的优化。嵌入在DE和SOMA里数字生成器的耗散混沌的洛奇语映射是为了避免当地最佳状态的停滞并且去嵌入一个优越的搜索策略。本文中提出了三个独特的PID控制器问题并且用一些新方法被成功解决，实际结果更优于公布结果。
关键字
混沌映射;
微分进化;
自组织迁移算法;
PID控制器
1.介绍
比例-积分-微分(PID)控制器是一个从上个世纪开始就在自动控制领域有着悠久历史的三阶段控制器。由于它的直觉和相对简单,除了能够提供大范围过程的令人满意的性能，在实践中它已经成为了在工业环境中标准的控制器。
进化的设计和合成是PID控制器一个最近的表现。进化算法(EAs)在任何复杂的优化任务中都被视为一组功能强大的工具。随着计算机的发明出现了进化算法,并且它现在已经发展成一套非常复杂的算法。几乎所有构思的自然发生的现象都被翻译成一组对进化的探索。这些探索反过来已经应用于PID控制器设计的任务的各种格式。Chang为PID调优开发了一种新的变异的遗传算法(GA),而Yachen和Yueming开发了一种模拟退火(SA)的方法。Dong和Chakraborty在过去几年中比较了差分进化(DE)和粒子群优化(PSO)在PID控制器设计任务中的表现，在这之中可以找到更深层次的应用程序。
本研究涉及应用于PID控制器的设计里混沌映射的进化算法。最近在混沌驱动探索的研究引发了与随机方法不同的倾向，一个混沌的方法可以绕过当地最佳状态停滞，这一发现对进化算法很重要。一个混沌的方法通常在随机数生成器中使用混沌映射，这导致对映射独特地区的探索，从混沌映射迭代到新的地区。然后选择一个非常好的混沌映射作为随机发生器。
Davendra和Zelinka把混沌映射嵌入DE然后比较一般的规范的表现和在PID控制器的设计中混沌变异的DE的表现。结果证实,混沌驱动的DE比规范的DE在一系列PID问题上表现得更好。本文建立在Davendra和Zelinka以前对于混乱(SOMA)驱动自组织迁移算法应用的工作。
本文分为以下部分。第2和3部分介绍了PID控制器规格和调优的基本原则。第4部分描述了DE和SOME。第5部分给出了关于洛奇映射的数学描述。第6部分给出了三个阶段的PID控制器优化问题的实验结果,最后,在第7部分提出了结论。
2.PID控制器
PID控制器包含三个独特的部分：比例、积分和微分控制器。下面对不同的部分进行一些简要描述。
2.1.比例算法
数学表达式如下
在拉普拉斯域方程
(1)
在时域方程
(2)
比例模式调整输出信号与控制器输入(即误差信号,)成正比。指定的可调参数为控制器增益 kc，kc越大,控制器输出对于一个给定的错误的改变就会越多。
2.2.比例积分算法
数学表达式如下
在拉普拉斯域中的方程
(3)
在时域中的方程
(4)
附加的积分模式可以纠正随着时间推移可能随机地出现在所需值(定位点)和过程输出之间的任何补偿(错误)。指定的可调参数为控制器的积分时间(Ti)。
2.3.比例积分微分算法
数学表达式如下
在拉普拉斯域中的方程
在时域中的方程
微分作用通过观察控制变量随时间的变化率(它的导数)预测过程向何处发展。是微分时间，它描述微分过程(单位为分钟)。
相应的PID控制器表达式如下所示
更进一步的简化形式如下
最适合分析计算的PID形式如下
参数与标准形式相关：，=，
它的优点是参数线性出现并且有可能通过参数有限值的特性获得纯比例、积分或微分作用。
3.控制器调优
控制器调优涉及最佳值的选择，这通常是一个主观的过程,当然也是与进程相关的。当优化PID算法,通常目的是为闭环系统匹配一些先入为主的“理想”响应情况，以下响应情况是典型的。
1.超调量：这是超过了控制变量波动定位点的大小。对大多数循环5%~10%超调量通常是可接受的。
2.上升时间：到新的所需值的过程所需要的时间。占主导过程时间的三分之一为正常的。
3.衰减率:这是最大连续振荡振幅的比率。
4.调整时间：达到输出一直在定位点上下5%内波动的时间。
3.1.优化过程详述
传递函数的属性也可以基于积分标准。e(t)为在参考值或干扰造成的误差，u(t)为相应的控制信号。在一个时间间隔T后计算性能指标，通常T在区域0le;Tle;内，为系统的调整时间。注意以下性能指标：
3.1.1.时间乘以绝对误差的积分（ITAE）
ITAE随着时间的推移出现不同的误差,因此要强调误差值后的反应而不是最初的大错误。
3.1.2.误差绝对值的积分（IAE）
IAE通过绝对值的误差来消除负数的误差部分，IAE有利于模拟研究。
3.1.3.误差平方的积分（ISE）
IAE通过将误差平方来消除负数的误差部分，ISE区分过阻尼和欠阻尼系统，例如一个求和可以将ISE减到最小。
3.1.4.误差平方的均值（MSE）
MSE反映了所有相对于目标值的变化和偏差。
4.进化算法
4.1.微分进化
DE是一种使用解之间向量的不同作为一种传播方法的随机启发式，为了描述DE，示意图在Fig 1中被给出。
主要有五个部分的代码，第一部分介绍了启发式的输入，D是问题的大小，是一个又一个过程的最大值，NP为解的所有总数，F是方案的解比例因子，然后CR是交叉的因素，F和CR组合在一起形成启发式的内部调优参数。
第二部分概述了启发式的初始化。每个方案中随机创建在两个界限和之间，参数j代表方案内数值的指针，i表明总数内的解的指针。故说明代表在最初代的第四个方案里的第二个值。
在初始化之后，第三部分里要将总数反复迭代。
第四部分描述DE的转换路线。首先，选择三个互不相同也与4.1里总数中当前指针解i不同的随机数。之后，在解中选择一个新的指针，在4.2和4.3中给出的解里指向的值被修改，通过指针和选择两个解和并且他们的值相减，然后这个值又被预定义的比例因子F除，最后加到指针指向的值。
Fig.1. 微分进化算法
然而，这个解不是随意接受的解。生成一个新的随机数，如果这个随机数比CR的值要小，那么在当前解的过程里新的值代替旧的值。一旦获得了解的所有值，新解被审查大小或数值是否合适，如果它改善了先前解的值，那么在总体中新的解将代替旧的解。因此竞争只存在于新的子解及其母解上。
价格决定了十种不同的工作策略，选择哪种策略主要取决于现有的问题，被干扰的解策略选择上有所不同，考虑到干扰，有许多不同的解交叉使用。以下是不同的策略被应用：
所示的共性是DE=x=y=z，DE代表微分进化，x代表表示干扰解的字符串，y是在考虑到x干扰的不同解的数目，z是被使用的交叉的类型（exp:指数；bin：二项式）
DE有交叉的两种主要阶段：二项和指数。通常，一个子解既是从母解而来也从一个突变的供给解而来，如：
当供给解是通过母解来选择时，作为子解的源头的频率是由两种交叉类型共同控制的，这是通过一个用户定义常数成功实现的，即通过在试探程序的执行中始终保持不变的CR。
一旦生成的随机数小于CR即，二项组合就从供给解里取参数，其余所有参数从母解里取参数。
当随机数第一次比CR大即，指数组合就从里取子解，否则，参数就从母解里取。
为确保每一个子解和母解不同，指数和二项组合都至少从突变的供给解里取一个值。
4.2.自组织迁移算法
SOME是一种模仿个人合作形成社交网络行为的随机优化算法，之所以选择它，是因为已经证明该算法能够收敛到全局最优。
SOME对候选解在迁移循环或代循环里的总体起作用，总体是被随机初始化的，即在搜索的开始给它分配搜索空间，在每个循环中，总体将被评估，并且最合适的解将变成主导解。除了主导解，在一个迁移循环中，所有的个体将从主导解的方向穿过输入解的空间。
个体将朝主导者在n步（定义的长度或步长）内朝向主导者通过一段确定的距离（称为路径长度），如果路径长度选得比前一个要大，那么个体将超越主导者，这个路径被随机的干扰。
4.3.干扰
个体随机干扰的突变是对于进化策略(ES)的一个重要操作，它确保了个体的多样性并且它也提供了去恢复在一个总体中失去的信息的方法。尽管如此，相比于其他ES策略突变在SOME中的是不同的应用，SOME用一个称为PRT的参数来实现干扰，这个参数对SOME有相同的影响正如突变对于GA，这个参数定义在[0，1]内，并且被用如下方法来创造一个扰动向量（PRT向量）：
if lt; PRT then PRT= 1
else 0, j =1,...,n (14)
这个方法的新颖在于PRT向量是在一个个体开始它于搜索空间的旅行之前被创造的，这个PRT向量定义了一个活跃的个体在搜索空间的最后一刻。
随机生成的二进制扰动向量控制个体的允许维度，如果扰动向量的一个分量被设置成0，那么
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