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运动和敏感性分析和平面齿条齿轮转向连杆的优化
A. Rahmani Hanzaki a,*, P.V.M. Rao b, S.K. Saha b
a Mechanical Engineering Department, Shahid Rajaee University, Lavizan, Tehran 16788, Iran
b Mechanical Engineering Department, Indian Institute of Technology Delhi, Hauz Khas, New Delhi 110 016, India
摘要：本文提供了齿轮齿条转向联动的组合运动学和灵敏度优化。这种转向联动是乘用车中最常用的转向系统。虽然，转向联动有受到了极大的关注，最大限度地减少了转向误差，目前尚未尝试进行调查最佳尺寸对链接长度变化的敏感度。联动的运动学优化使用三个均匀的设计参数进行。所提出的优化的目的是最小化转弯期间的最大转向误差。之后是灵敏度分析，以预测转向误差如何受到影响通过制造由于磨损而产生的公差，组装误差和间隙。由于优化的运动学误差是对联动参数的变化非常敏感，运动学和后期优化灵敏度优化转向联动是以综合方式进行的。这项工作中提出的方法有助于设计师齿轮齿轮转向联动，选择最大转向误差（MSE）和灵敏度的联动参数是最小的。
关键词：齿条转向联动; 转向误差 运动优化; 最佳灵敏度;同源
简介
在转向联动装置中，齿轮齿条转向联动是乘用车中最广泛使用的。 它由两个转向臂，两个拉杆和一个机架组成。 联系有两个常见的配置，即中央取景和侧视图，如图1所示。 在中央采购（CTO）配置中，拉杆和机架连接在机架的中间，如图所示。 1a，而在侧面取景（STO）这些连接处于机架端，如图所示。1B。 以上每个配置都可以尾随或前导类型，如图所示。 分别为2a和b [1]。
为了向车轮提供纯粹的滚动并减少轮胎的磨损，转向连杆必须处理车辆，使其符合Ackermann原理（见图3）。 这个原理指出，在没有横向惯性力的情况下，在低速转弯的过程中，从轮的中心拉出的垂直线应该在弯曲的中心，即图1的点O处相遇。 对于两轮转向车，这一点必须取决于后轮[1]的公共轴线。 参考图 如图3所示，根据Ackermann原理，，内轮角度hI和外轮角度之间的关系被给出为
其中wb = Wb / Wt是相对于轮轨道Wt的轮底的标准化表达式Wb。 在现实，等式 （1）从不满足于每个半径的方向。 因此，有必要合成联动，以便尽可能接近地满足任何方位的Ackermann原理。 为了这样做，有必要获得给定值hI的角度hO。 因此，适当的运动学模型转向连杆是至关重要的。 另外，主角倾斜和脚轮角度提供了一致性与悬挂系统的转向联动对转向连杆的运动传递影响不大。 因此，空间实际上的真正的齿条 - 小齿轮转向连杆可被建模为用于调查阿克曼病情的平面联动。 转向系统的这种简化已经有了也被其他研究人员使用，例如[2,3]。
许多研究人员尝试了转向联动的错误优化研究。 Zarak和Townsend [3]优化了STO配置，如图1所示。 1b，在那里他们考虑了之间的距离内轮和外轮转向中心作为转向误差，并将其最小化为不同的机架行程。中他们使用了相对于车轮轨迹归一化的四个参数。 Felzien和Cronin [4]研究了转向误差的最小化。他们考虑了一个综合的麦克弗森悬架和转向联动模型，并将转向误差平方的加权和最小化。 Simionescu史密斯[5]讨论了Watt II函数产生的同源关系，并表明转向链的STO配置具有无限数量的关联，其中一个是CTO配置。 Simionescu和史密斯[2]使用三种参数，即标准化链路长度/链路长度比和两个角度CTO / STO配置优化了连杆的转向误差。选择设计参数由他们使用，其中一些是角度的，但是对于链路长度灵敏度分析是不合适的。因此，本文运动学优化采用三个均匀设计参数，即具有长度单位的那些。此外，任何实际的转向联动固有的制造公差，装配误差和由于磨损导致的间隙可能会影响目标函数价值显着。因此，除了运动学优化之外，执行最佳灵敏度分析也很重要。此外，[5]中给出的基于齿轮 - 小齿轮转向联动关系的方法是用于推广转向优化。使用这种方法，可以优化转向链接一次，结果扩展到期望的齿条 - 小齿轮转向连接，无论是CTO还是STO任何机架长度。根据作者的最佳知识，没有关于错误的敏感性的工作到目前为止已经报告了齿条转向系统的优化尺寸。此外，本文作为优化过程的一部分进行的灵敏度最小化也是新的齿轮齿轮转向联动设计的上下文。这样最小化目标函数和敏感性在文献中已经被认为是重要的鲁棒优化设计[6,7]。总而言之，论文的贡献如下
·用于优化CTO和CTO的齿条 - 小齿轮连杆的简单的广义方法提出STO。
·执行转向联动装置的最佳灵敏度。
·转向连杆机构针对最小转向误差以及最小灵敏度进行了优化。
·还提出了多目标优化问题的方法，其中设计的数量参数减少一个，从而提高优化的效率和速度。
本文的组织结构如下：第2节显示可以使用CTO联动的优化结果找到相应STO链接的优化参数，后果是任何STO配置具有CTO同源配置。 第3节提出了一个平面六杆的广义运动学建模齿轮齿轮转向连杆，然后在第4节中使用，以优化下面的转向连杆研究。 然后在第5节进一步使用最佳灵敏度分析，第6节进一步使用优化除最小转向误差之外具有最小灵敏度的转向连杆。 所提出的方法在第7节中说明，其次是第8节中的结论。
已知条件
如图1b所示转向梯形断点侧置在乘用车里更为普遍。图4里面的用AB0C1C2D0E标记的转向梯形有无限个同源物，这意味着所有同源转向梯形的输入输出特性都是相同的。例如对于转向梯形，其连接为众多与原转向梯形平行的转向梯形中的一个。继续讨论一个相似的行为，如图4a所示，联结ABCDE也是一个同源物，这只是图1a所示的中置构型中的一个。注意到图4b所示的STO联结的另一个CTO同源物（例如图4b里面的）是其中。作为结果，如果用图4a所示的STO联结长度除以其CTO同源物长度ABCDE可以得到。因为在产生同源物的函数中，相似联结的角变量是相等的，CTO构型的结果也适用于STO构型的同源物分析。该分析也显示STO联结和CTO联结的敏感程度是相同的。因此，要把CTO构型的结果推广到STO构型的结果，可以使用下面简单的方法。
除了机架长度以外的实际链接长度除以（Wt-Lr），而车轮底座和车轮轨道，即Wb和Wt除以Wt。 这种规范化与之前的其他作品相反研究人员喜欢Simionescu和Smith [2]和Zarak和Townsend [3]，其中标准化完成相对于轮轨，Wt。 通过这种归一化，CTO联动，即图1的ABCDE。 4a。此外，归一化参数La，Lt，H，Wb和Wt分别表示为la，lt，h，wb和wt。优化后，最佳的la，lt和h被非正规化，以找到优化的STO的La，Lt和H连接一定的机架长度。 很明显，CTO配置可以以相同的方式处理由于与STO连接相同，除了其机架长度Lr为零。 请注意，Lr被定义因为两个拉杆端连接到机架上的运动问题的距离。
动力学模型
如第2节所述，CTO配置如图1所示。 为此，这里考虑图1a运动学建模与分析。 CTO转向连杆机构是运动学上六杆连杆[8]，如图所示在图1中。 在该图中，链接由＃1表示。。。 ，＃6和关节由1，。。。 ，7.库茨巴赫标准说明这种联动的DOF是一个。 此外，向量和表示长度的转向臂而向量l2和l4代表长度为lt的拉杆。 此外，在每个链接结束时，都考虑了一个二维坐标系，固定在之前的链接上。
由图5可知，
其中wt是轮轨，b是齿条位移，h是从前轮轴到齿条的距离而i和j分别是沿着X1和Y1的单位矢。式（2）可以用其标量来把其分量表示为
其中c和s分别代表余弦和正弦函数，，以及归一化轮轨和Wt被统一起来。 参照附录A所示的推导，表示左转向臂的初始角度因为是从等式 （A.9） （A.7）和（A.8）。 这也等于h60。 如果范围内轮旋转被认为是40，这对于大多数乘用车来说是相当实用的，结果可以在hI = 0-40的范围内获得。 注意，对于拖尾配置，如图1所示。2A，h1 = h10hI，对于图1所示的引导配置。 2b，左转时h1 = h10 hI。 此外，对于直线前进配置，h6的初始值，即h60等于h10。 评估角度h6在机构的任意位置，首先计算齿条位移
其中
在等式 （5），应使用 号。 之后是类似于等式的表达式的推导。 等式（2）使用转向连杆的右侧， 5，这将提供由方程式（A.10）和（A.11）给出的的值。
压力角在连杆的力传递效率中起重要作用，被定义为驱动链路的速度矢量与驱动器链接方向之间的角度。 接头处的压力角图2的转向联动装置在图5中表示为，是与转向垂直的角度手臂，即＃1，和拉杆，即＃2。 根据上述定义，接头3处的压力角与相同。 发现接头4和5处的压力角分别与接头3和接头2处的压力角相似。
转向误差优化
在本节中，进行CTO构型的转向联动优化，以最大限度地减少转向误差，定义为
其中是在转向操纵期间由外前轮制成的实际角度，而是正确的。基于等式A给出的Ackermann原理，相同车轮的角度（1）。 参考图 5，角度是左转时或的变化，这取决于转向连杆是否分别是后退或前进。 这里的目标是最小化转向误差的最大值，缩写为MSE整个机架行程[2]，其中wt是统一的。 考虑以下约束：
（I）链接的初始集合必须通过链路长度可行，这意味着等式（A.8）里的应为非负数。
（II）输入端应至少旋转40度，换句话说，当，式（6）里的应该是非负的。
（III）机架位移必须是单向的，同时满足条件II意味着，对于i=1,..,n, 其中，bi是等式（5）在第i步对应输入角度。
（IV）输出连杆也应能与机架行程相对应地旋转，b。 换一种说法，式（A.11）中的必须满足。
动力学优化问题的正式表达如下
使MSE达到最小值，
同时满足
目标函数的变化，方程 （8a），相对于和h示于图6a和b作为样本，其中和h表示归一化的转向臂长度，拉杆长度和距离已经指出的前轮轴到齿条轴。 在这些图中，有两组点位于水平面上，对应于 和 MSE里对应为的点表示MSE超过20度的构型是不可接受的。 因此，他们的MSE被替换为。 类似地，对应于MSE= 绘制为显示不可行或非实用的值的联动参数。 换句话说，链路长度对应于的MSE在图 6a和b是不可行的，即使是可行的，因为输入链路不能以希望的角度旋转是不切实际的。研究这些图像之后，观察到一下几点：
（i）MSE沿着图6a和b的曲线彼此非常接近，选择一组链路长度为最佳值在实践中是不可接受的。 因此，额外的限制，如空间限制，齿条行程，灵敏度等都可以在优化过程中考虑。
（ii）最优点附近的MSE函数的斜率非常高，右边不同和左边相邻的区域，其中规定了高灵敏度的功能，。 由于不良变化转向连杆的设计参数，如连杆长度的制造公差，接头间隙，车身变形以及前轮前束角的调整。 通存在，关于设计参数的适当灵敏度分析很重要。
记住上述两个观察值，使用优化工具箱进行优化MATLAB在这个阶段。的结果示于图7和8，并与Simionescu和Smith的研究成果紧密相符 [2]。为了验证结果的正确性，对多个最优点进行了分析和验证按照[8]中给出的方法。
优化后的敏感度分析
对于敏感性研究，文献中发现了两个主要定义： Sharfi和Smith [9]将其定义为输出的变化相对于输入的小变化，而在[10]中，它被定义为比率目标函数的变化在最佳点处的设计参数的小变化。该后者也被称为“最佳敏感度”，并在此采用。在这种情况下，Knappe [11]使用了部分衍生物来研究参数偏差对输出的影响。他通过加上由于各个参数引起的偏差来获得总输出偏差，然后使用这些结果来分配实际的公差。 Sharfi和Smith [9]制定了与允许输出相对应的公差和间隙使用10-bar连接的偏导数的误差。 Chakraborty [12]提出了考虑链路长度和联合间隙公差的机制的概率模型。 Dhande和Chakraborty [13]将四杆函数生成联动的公差和间隙作为优化参数进行了处理，使用允许的输出偏差作为约束获得最佳值。注意，对于连续可微目标函数的优化问题，优化条件是第一个目标函数的导数为零，如图 9A所示。在这种情况下，导致Hessian矩阵的二阶导数用于分析输出函数相对于设计变量的变化[10]。在梯度不连续的目标函数的情况下在最佳点附近，如图1所示。 9b，可以使用附近的第一个派生词研究灵敏度。如第4节（ii）项所述，最佳灵敏度分析很重要调查设计参数变化的影响，即和h对变异的影响的最大转向误差（MSE），w等式（图8A）。在这里，灵敏度被定义为变化的比例目标函数w对设计参数和h的微小变化。
在这种情况下，最佳点是尖点，从图6的曲线可以看出，即目标函数一阶导数，，相对于设计参数和h，在最佳点没有定义。因此，使用最优点的正和负邻域中的导数而在后期最佳敏感性分析中。为此，介绍以下六维灵敏度矢量：
其中，当；，当，其中为的最优值
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