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功能梯度轴对称制动盘热弹性接触问题的有限元分析
M.M. Shahzamaniana,b, B.B. Saharia,b , M. Bayat b,c,*, F. Mustaphad , Z.N. Ismarrubiea
a机械与制造工程系，马来西亚博特拉大学，43400 UPM，沙登，马来西亚雪兰莪州
b先进技术研究院（ITMA），马来西亚博特拉大学，43400 UPM，沙登，马来西亚雪兰莪州
c机械工程系，马来西亚大学，50603吉隆坡，马来西亚
d航空航天工程系，马来西亚博特拉大学，43400 UPM，沙登，马来西亚雪兰莪州
关键词: 功能梯度材料 制动盘 有限元方法 热弹性
摘要：现在要分析的是功能梯度旋转制动盘的热弹性接触问题，这种问题来源于接触摩擦产生的热量。有限元分析方法在此被应用。制动盘的材料特性被设想为沿幂律分布的径向方向，内表面和外表面被分别认为是金属的和陶瓷的。制动衬块被认为由纯材料制成。库伦接触摩擦被假设为热源。它在制动衬块和制动盘之间被等分为两部分，热应力也由此产生。将功能梯度盘的力学响应与文献中已知的结果进行比较和查证，结果表明在安装好的功能梯度制动盘上径向位移的最大值不在外表面。而当制动衬块厚度与制动盘厚度的比值为0.66时，它们之间的所有面积处于全接触状态。据观察，由热机的负载造成的总的应变在制动盘的一些部分上是负的，然而，热应变却总是正的。所以可以得到如下的结论，金属陶瓷的分级指数对功能梯度盘的热力学响应有着十分重要的影响。
- 前言
制动盘的设计通常是采用两个滑动接触的表面。制动盘两侧的压力值可以是不同的，这也导致了制动盘的偏移。相接触的表面也会产生热量。这些制动盘在受到弯曲和热膨胀的影响时有可能会变得有偏差。制动盘的最大应力和挠度可通过赋予其随位置变化的材料特性来进行控制。该盘具有均衡的厚度。制动盘是一种典型的实体中空旋转盘，这种盘受到体积力、热学、摩擦和弯曲载荷的影响。在此次分析中，各组成元件在效率、寿命、和散热能力等方面的性能取决于材料、旋转速度和运行条件。通常情况下，制动盘由金属材料或纤维增强复合材料制成。然而，机械特性的逐渐改变可适应不同的应用和工作环境，例如在太空中，在高温时轻量化和耐久性就变得非常重要。如果某种材料满足下述条件，即其中两种或更多材料的体积分数作为沿结构某一维或多维一点到另一点的位置函数变化平滑且连续，则其被称为功能梯度材料(FGMS)[1,2]。这些形成后主要用在高温条件下的材料被认为是能应用到宇宙飞船上的超轻型且耐高温的材料[3]。在本研究中，制动盘由金属陶瓷功能梯度材料制成，以利用金属的强度和陶瓷的抗热性能。制动器的摩擦因数随着半径的改变而改变。因此，本研究有两大目标，即位移和应力范围的测定以及接触状态的评价。有限元分析方法(FEM)在此被应用。
已经有一些研究均质制动盘的接触摩擦和摩擦热问题的作品被发表了。Hasan和Alerting[4]利用有限元分析方法分析了热力学表面负载对半无限介质的弹塑性变形的影响。Ke和Wang[5]将功能梯度材料分成了数个子层以形成一个多层次的模型, 该模型用于具有平面应变状态变形下任意变化的剪切模量的滑动摩擦的接触分析。Yevtushenko和Kovalenko[6,7]研究了一种针对于半空间和滑动体的轴对称接触问题的解决方法，该方法将由摩擦和磨损产生的瞬态热考虑在内。他们发现由于滑动摩擦接触中的摩擦力而形成的热源会导致十分关键的接触压力的重新分配。
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术语 D stress–strain matrix (N/m 2 ) 应力应变矩阵(N/m 2 ) D c bending stiffness related to ceramic 陶瓷的抗弯刚度 E modulus of elasticity (N/m 2 ) 弹性模量(N/m 2 ) G Shear modulus (N/m 2 ) 剪切模量(N/m 2 ) h thickness (mm) 厚度(mm) K thermal conductivity (W/(m℃)) 热导率(W/(m℃)) n volume fraction 体积分数 q pressure (kPa) 压强(kPa) P material property 材料特性 Q T heat generation due to friction 摩擦热 r radius (mm) 半径(mm) R non-dimensional radius 无量纲半径 T temperature (℃) 温度(℃) Hf frictional dissipated energy converted into heat 摩擦热消耗的能量 V sliding rate between the brake disk and pad brake (m/s) 制动盘和制动衬块之间的滑动率(m/s) u displacement vector (m) 矢量位移(m) U displacement (m) 位移(m) w vertical displacement (m) 轴向位移(m) alpha; thermal expansion coefficient 热膨胀系数 ε strain 应变 lambda; factor of friction coefficient 摩擦系数的因数 mu; friction coefficient 摩擦系数 mu;effect effective friction coefficient 有效摩擦系数 nu; Poissonrsquo;s ratio 泊松比 rho; mass density (kg/m 3 ) 密度(kg/m 3 ) sigma; stress (N/m 2 ) 应力(N/m 2 ) tau; equivalent frictional stress (N/m 2 ) 等效摩擦应力(N/m 2 ) omega; angular velocity (rad/s) 角速度(rad/s) 脚注 除非有声明，否则，在和P, K,E, r, R, a, l, q, h, q, U, u, and r这些变量一起应用 时，本脚注有着如下的意义。 i 指功能梯度制动盘的内表面 o 指功能梯度制动盘的外表面 i, pad 指制动衬块的内表面 o, pad 指制动衬块的外表面 r 指半径方向 thetasym; 指圆周方向 z 指轴向或横向 r thetasym;, thetasym; r, rz 指切向（极坐标系统） m 指金属 max 指最大值 cr 指陶瓷 ref 指无压力 上标 除非有声明，否则，在和ε, E and k 这几个变量一起使用时，本上标有着如 下的意义。 el elastic 弹性的 th thermal 热的
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为了满足精确的设计和较长的使用寿命，挠度对制动盘应力的影响应该被考虑到。利用剪切变形理论，挠度的问题已经被解决了[8-12]。对于具有变厚度环形板的大挠度问题，Reddy和Huang也已做过非常仔细的分析[8]。他们用到了一般Reisner板方程和卡门板方程，并利用有限元分析方法来进行解决。他们研究了径厚比（即剪切变形）以及材料特性的非线性对应力和变形的影响。为表明功能梯度圆板的轴对称弯曲和拉伸，Reddy[9]等人应用了一阶剪切变形理论。为一阶剪切变形理论的挠度、合力和合力矩的解决方案在基于经典基尔霍夫板理论各向同性板的相应的量的形式被呈现。经典板理论（CPT）和一阶剪切变形理论的弯曲解决方案之间的确切的关系为服务于功能梯度圆板而被开发。Bayat等人[10]运用精确和半解析的方法来获得功能梯度旋转盘在材料特性沿厚度方向改变时的小挠度和大挠度。此外，他们[11]还应用了一阶剪切变形理论来研究具有轴对称弯曲载荷的功能梯度旋转盘。Bayat等人[12]将之前的工作延伸到对具有变厚度功能梯度旋转盘的热弹性分析。他们将他们的弯曲情况的结果与Reddy等人[9]在同样情况下的结果进行了比较。
Durodola 和 Attia[13,14]提出了功能梯度旋转盘的有限元分析。他们在磁盘建模时用的是非均质的各向异性材料。Kordkheili 和 Naghdabadi[15]应用半解析法来获得平面应力条件下轴对称功能梯度材料旋转盘的热弹性解决方案。他们将他们的结果与Durodola 和 Attia[13,14]在离心载荷下的结果进行比较。Bayat等人[16,17]使用精确解法和半解析方法来获得具有可变厚度收到机械载荷的功能梯度旋转盘的弹性解。
许多对功能梯度材料的研究都与热应力和热变性的分析有关。最近几年，Jabbari等人[18]研究了粗而短的功能梯度材料圆筒上的轴对称机械热应力。他们开发了稳态二维轴对称机械热应力的确切的解决方案，这种方案专门针对用功能梯度材料做的短中空圆柱体。Matsunaga[19]提出了一种二维高阶变形理论，此理论用于对受热力学载荷功能梯度板的位移和应力的评价。Bayat等人[20]应用受径向对称载荷的可变厚度功能梯度旋转盘来获得机械热应力。Bayat等人[21]还分析了一种均匀且厚度变化的功能梯度旋转盘的热弹性响应，此盘具有与温度相关的材料特性。
从我们所能了解到的来看，至今还没有与受摩擦热的功能梯度制动盘的分析有关的作品被报道。在本研究中，一个功能梯度中空旋转制动盘(Fig.1)被分析。该盘内径ri,外径ro,厚度为h,相对于z轴对称,与另一个均质材料中空盘相接触。制动盘各组成元件的材料特性被设想为可通过用盘的半径的幂律分布表示。摩擦被认为是造成热应力的热源。热、弯曲、摩擦和体积力被认为存在于一个功能梯度制动器上。一些基本因素例如材料性能分级及变形、应力和位移场大小的比例等的影响同样被探讨。但下面我们的主题是制动性能的确定。
制动盘
制动衬块
Fig.1. 制动盘和制动衬块之间的配置
- 级配关系
在本研究中，功能梯度制动盘沿径向的材料的特性变化假定为以下的形式[11,12]：
P(r)=(Po-Pi)()n Pi rilt;rlt;ro (1)
这里Po和Pi分别是中空盘外表面和内表面相应的属性。而r o和 r i分别是中空制动盘的外半径和内半径，nge; 0是该材料的分级指数。在本文中，泊松比nu;被假设为是固定不变的。弹性模量E、密度rho;、热导率K、热膨胀系数alpha;、摩擦系数mu;被认为是根据级配方程（1）而变化的。举个例子，弹性模量E假定的形式是由下式给定的，
E(r)=(Eo-Ei) ()n Ei rilt;rlt;ro (2)
在本文中，制动盘有如下尺寸：r o = 100 (mm), r i = 20(mm)，h = 10 (mm)。通过使用无量纲半径R和无量纲弹性模量E，由下式定义，
R=r/ro, E=E/ Eo (3)
这里0.2le;Rle;1。E与R的变化如Fig. 2所示。
按照[17]相同的方法，摩擦系数mu;假定的形式，如下式，
mu;(r)=( mu;o-mu;i) ()n mu;i rilt;rlt;ro (4)
定义为mu;的无量纲的摩擦系数可表示为，
mu;=(1-mu;i) ()
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