DYNAMIC ANALYSIS OF SPEED-DEPENDENT FRICTION-INDUCED TORQUE IN A NONLINEAR BRAKE SYSTEM
By Osman Taha Sen, M.S. The Ohio State University
Abstract
This study examines a low frequency, friction induced brake vibration problem (often known as the judder phenomenon in automobiles) that is excited by the surface distortions in the rotor. A nonlinear brake system is analyzed using experimental, analytical, and numerical approaches, though the main goal is to find new or improved analytical solutions for the speed-dependent characteristics of the governing system.
Initially, a two degree of freedom torsional model of the brake system with clearance nonlinearity is proposed, where the main excitation is the multiple order frictional torque, as related to the rotor profile imperfections. The nonlinear model is first simplified as a quasi-linear model by ignoring the clearance, and closed form solutions (for a decelerating system) are obtained with and without the viscous damping element. New solutions match well with the numerical integration and numerical convolution results. The nonlinear model is then numerically solved using two different methods to calculate the speed-dependent friction induced torques. The discontinuous curves are first approximated with smoothening functions, and then event detection and location algorithms are utilized. Both approaches compare well unless the discontinuous functions are poorly smoothed. Second, quasi-linear and nonlinear models are utilized to calculate the envelopes of the response amplitudes over a range of applicable speeds. The envelope functions are first derived from the closed form analytical solutions of the quasi-linear model. In addition, a Hilbert transform based envelope curve prediction method is proposed and applied to both quasi-linear and nonlinear models. Envelope curves are calculated for single and multiple order rotor surface excitations, and the estimations match well with analytical and numerical solutions. Furthermore, the multi-term harmonic balance method is successfully adapted to construct the order domain solutions for the nonlinear model. The arc-length continuation scheme is successfully implemented and the stability of the solutions is checked. Third, a new dynamic friction experiment is designed and constructed with a torsional resonance and clearance nonlinearity. Experimental data clearly show the speed-dependent behavior of the friction induced torque in the shaft, as controlled by the multiple orders of the rotor surface distortion. Key dynamic events that occur during a braking test are identified by using the time, frequency and order domain analyses. Measurements are finally used to validate the nonlinear and quasi-linear models over the applicable speed ranges. Finally, a nonlinear brake pad model is developed to investigate the torque amplitude behavior observed at the higher speeds in the dynamic friction experiment, and the effects of normal load and frictional constraints acting on the pad are studied. Nonlinear model is solved numerically for many normal load and constraint combinations, and the peak-to-peak variations in the friction force are compared. Tractable analytical solutions are obtained as well. Numerical and analytical solutions are validated with a bench experiment, where a translating brake band is used to replace the brake rotor. The trends explain the significance of the center of contact force concept.
Chapter1 Introduction
1.1 Motivation
Brake noise and vibration problems in ground vehicles are classified according to their excitation mechanisms, fundamental frequencies, structural modes, and human perception. Three main friction induced problems that have been studied include squeal (above 1 kHz), groan (100 to 500 Hz), and judder (less than 100 Hz) even though much of the scientific literature has focused on brake squeal. The focus of this dissertation is on brake judder since it is not well understood and yet these problems could be costly for vehicle manufacturers and brake system suppliers, given high warranty costs and customer perception. The brake judder phenomenon is usually associated with a dynamic amplification of the brake torque T(t) variations due to geometric, structural, thermal, and material factors. The mechanical or kinematic sources are directly related to the geometric distortions of the brake rotor such as disc thickness variation and lateral run-out; and, this type of forced vibration phenomenon is usually known as the lsquo;cold judderrsquo;. Thermal or “hot” judder” is due to the release of intense heat during braking, which induce deformations, such as warping, hot spotting, etc., on brake rotor surface. Finally the non-uniform transfer film distribution at the pad-rotor interface could lead to a spatially varying friction coefficient. All of these mechanisms generate cyclic friction force or torque at a frequency that is proportional to the vehicle or wheel speed. Based on the shape and nature of surface non-uniformity, multiple orders of the external excitation may be significant, though the fundamental frequency of such orders decreases as the system decelerates. Low frequency structure borne vibrations, due to the speed-dependent brake torque variations, are felt by the driver through steering wheel, brake pedal, or floor .
1.2 Literature review
Unlike the squeal phenomenon, the scientific literature on the brake judder is sparse. Jacobsson has conducted a comprehensive review (in 2003), of plausible causes and effects of brake judder. Further, Jacobsson has proposed a two degree of freedom linear model though the external forces are limited to single orders of wheel speed. In a more recent study, Duan and Singh have sugges
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非线性制动系统中摩擦力矩与速度的动态分析
奥斯曼·塔哈森，M.S 俄亥俄州立大学
摘要
本文针对由转子表面变形激发的低频，摩擦引起的制动振动问题（通常称为汽车中的颤抖现象）进行了研究。虽然主要目标是找到新的或改进的与管理系统速度相关特性的分析方法，但非线性制动系统的研究会使用实验、分析和数值三种方法。
首先，含有间隙非线性的制动系统的两自由度扭转模型被提出，其中主要激励是与转子轮廓缺陷有关的多阶摩擦扭矩。 非线性模型首先通过忽略间隙被简化为准线性模型，并且在具有和不具有粘性阻尼元件的情况下获得闭合形式解（对于减速系统）。新的解决方法可以与数值积分和数值卷积结果很好地匹配。使用两种不同的方法对非线性模型进行数值求解，以计算速度相关的摩擦引起的转矩。 不连续曲线首先用平滑函数近似，然后使用事件检测和定位算法拟合。除非不连续函数的平滑性较差，两种方法都能很好地拟合。第二，准线性和非线性模型用于计算在一定范围内可应用速度的响应幅度的包络。包络函数首先从准线性模型的闭合形式解析解中导出。此外，提出基于希尔伯特变换的包络曲线预测方法并应用于准线性和非线性模型。计算单级和多级转子表面激励的包络曲线，并且估计量与分析法、数值法匹配良好。此外，多项谐波平衡方法成功地适用于构建非线性模型的阶域解。成功实施弧长连续方案，并证明此方案具有稳定性。第三，设计构造具有扭转共振和间隙非线性的新的动态摩擦实验。实验数据清楚地显示了与速度相关的摩擦引起轴的转矩的变化，其由转子表面变形的多个阶次控制。在制动测试期间发生的关键动态事件通过使用时间、频率和阶次域分析来识别。测量最终用于验证在适用的速度范围内的非线性和准线性模型。最后，开发非线性制动片模型，以研究在动态摩擦实验中较高速度下观察到的扭矩幅度表现，并研究作用在衬垫上的法向载荷和摩擦约束的影响。对于许多法向载荷和约束组合，对数值求解非线性模型，并比较摩擦力的峰值变化，并获得可处理的分析解。数值和分析解法通过实验验证，其中平移制动带用于更换制动转子。趋势变化解释了接触力中心的意义。
1 引言
1.1 写作目的
地面车辆中的制动噪声和振动问题根据它们的激励机制，基本频率，结构模式和人类感知来分类。已经研究的三个主要的摩擦引起的问题包括尖叫（大于1kHz），吱嘎（100至500Hz）和振颤（小于100Hz），即使大多数科学文献集中于制动尖叫。本文的重点是制动振颤，因为不易理解，考虑到高保修成本和客户感知，这些问题对车辆制造商和制动系统供应商花费较大。制动颤抖现象通常与由几何，结构，热和材料因素引起的制动扭矩T（t）变化的动态放大相关联。机械或动力源与制动盘的几何变形直接相关，例如盘厚度变化和侧向跳动，这种类型的强制振动现象通常被称为“冷抖动”。热或“热”振颤是由于在制动期间释放强烈的热，引发制动转子表面上的变形，如翘曲、热点等。最后，在衬垫-转子交界处，非均匀转移膜可导致摩擦系数在空间的变化。所有这些机构在与车辆或车轮速度成比例的频率下产生循环摩擦力或扭矩。基于表面不均匀性的形状和性质，外部激励的多阶可能是显着的，尽管其基频随着系统减速而减小。由于制动转矩依赖于速度变化，低频结构承受的振动可由驾驶员通过方向盘，制动踏板或地板感觉到。
1.2 文献参阅
与尖叫现象不同，关于制动颤动的科学文献很少。Jacobsson对制动抖动的可能原因和影响进行了全面审查（2003年），对尖叫只有貌似合理的缘由分析。此外，Jacobsson提出外力被限制为单个级的车轮速度下的两自由度线性模型。在最近的一项研究中，Duan和Singh提出了包括制动转子（源），悬架系统（路径）和方向盘（接收器）的三自由度线性模型。在该模型中，方向盘角位移的动态放大用于表示抖动行为。Kang和Choi使用简化的集总参数卡尺模型来预测T（t），但没有解决动态放大问题。Leslie描述了一种详细的卡尺模型：T（t）振幅与制动片、卡钳体和液压系统的刚度相关，但是没有计算振幅增长。Kim et al使用商用多体动力学方法代码表明，制动转子的法向方向上刚度较低、旋转方向上刚度较高，会导致T（t）振幅较低。旋转机械中经典的速度相关问题首先由Lewis研究，其中单自由度线性扭转系统以恒定角加速度从静止加速。 在刘易斯模型中，施加由于质量不平衡而产生的单阶外力。 在该模型中，系统通过临界速度，因此观察到响应的放大。 纽兰已进一步调查了刘易斯问题，他声称只有数值或近似分析方法可用于这些问题。
1.3 问题描述
与制动颤抖问题直接相关的一些未解决的研究问题总结如下：1）制动系统非线性对振颤问题的瞬态特性（由于随时间变化的激励频率）的影响是未知的; 2）仅分析了具有单级激励的线性系统模型，因此不能清楚地显示转子表面轮廓对T（t）响应的影响; 3）影响T（t）变化的制动钳动力学问题有待解决; 4）非线性接触刚度和阻尼模型未用于研究振颤问题;5）驱动压力的调节，首先由Duan和Singh提出抑制颤抖的控制策略，未经实验验证，需要进一步分析调查以便更好地理解。本论文的范围仅限于对前三个问题的调查，假设和目标。本文提出的工作范围限于“冷抖动”问题，并且只有制动转子表面变形被认为是制动转矩变化的主要原因。主要目标是了解与速度相关的摩擦引起的制动扭矩变化，通过分析、数值和实验法研究关键问题来实现。需要近似和简化，以建立一个易处理的研究问题，包括以下：1）衬垫-转子界面假定为简单的线性接触模型，包括平移弹簧和粘性阻尼器； 2）库仑公式用于描述摩擦界面；3）假定所有惯性体质量分布均匀。
图1.1 两自由度非线性扭转模型 (a)准线性模型(b)非线性模型
提出图1.1的两自由度非线性扭转模型，由多阶摩擦扭矩激励。在该模型中，间隙非线性（在扭转耦合元件中）可以表示物理系统的等角速万向节或半轴花键和轴承毂组件上的间隙。 通过一个简单的准线性模型（图1.1（a）），以了解转子表面轮廓对T（t）响应的影响，以求建立可行的闭式分析方法。采用数值和半分析方法研究图1.1（b）的非线性模型。提出新的或改进的方法用于包络曲线估计T（t）变化使用图1.1的准线性和非线性模型。 这些方法包括以下：1）从准线性模型的闭合形式解析表达式中进行包络函数计算; 2）基于对准线性和非线性模型的T（t）响应的希尔伯特变换的包络曲线估计; 3）应用于非线性模型的半分析多项谐波平衡方法。设计一个新的动态摩擦实验来验证分析和数值解决方案。该实验应包括在速度的操作范围（观察T（t）上的动态放大）的扭转共振和扭转间隙。将开发特定的实验程序以获取订单域数据。提出一个代表性的非线性模型来研究正常载荷和摩擦导轨位置对系统响应的影响。在制动尖叫区域的有限研究表明，摩擦导轨和制动片之间的动态相互作用可能在噪声的产生中起重要作用。此外，由于垫和转子之间的接触位置的中心的变化，垫被活塞加载的方式可能导致不稳定性。所提出的非线性模型如图1.2所示，用于两个摩擦导向位置：后缘和前缘。在图中，F分别表示前缘和后缘处的法向力和接触力。此外，在衬垫-转子和衬垫-邻接托架界面处的摩擦力分别用Ff和Ffg示出。将设计一个简单的摩擦实验来研究这些效应并验证模型。
图1.2.非线性模型用于研究正常载荷和摩擦位置对T（t）响应的影响。
（a）后缘处的摩擦导向 (b）前缘的摩擦导向
- 速度相关摩擦转矩的阶域分析
2.1 引言
车辆制动颤振是摩擦引起的强制振动问题，并且通常由驾驶员通过方向盘，制动踏板或地板感觉到速度相关的运动。该低频问题由制动转子的几何变形激励，例如盘厚度变化和侧向跳动。外部强制功能的激励频率与车辆或车轮速度成比例，并且几何干扰的前几个级通常是主要的。Jacobsson在2003年之前的文献综述中讨论了合理的原因和影响。特别地，Jacobsson将抖动与基于简化的车辆模型的通过临界车辆速度时的制动转矩变化（T（t））的动态放大相关联。在最近的一项研究中，Duan和Singh通过使用包括制动转子，悬架系统和方向盘的源路径接收器模型来研究抖动问题。方向盘角位移的放大作为速度的函数被计算。表2.1总结了来自先前研究的所选择的速度相关的峰 - 峰值关于测量的卡尺的角加速度和预测的方向盘角位移。以峰-峰共振振幅作为参考对值进行归一化。幅度在较高速度下较低，但它们随着车辆速度激发共振而增长，然后随着转子减速而减小。系统共振是由于转向系统的拉杆和齿条 - 小齿轮子系统的组合扭转刚度，如Duan和Singh所报告的。他们还讨论了非线性垫和悬架套管刚度特性的影响。在相关研究中，Kang和Choi使用简化的集中参数卡尺模型来预测T（t）；然而，没有解决扭矩放大问题。Leslie描述了一种详细的卡尺模型，其中扭矩振幅与制动片、卡钳体和液压系统的刚度相关，但也没有计算振幅增长。Kim et al使用多体动力学方法（通过商业代码）建议制动转子的法向方向上的较低刚度和旋转方向上的较高刚度应当导致较低的T（t）振幅。总的来说，T（t）的速度相关行为不是很好理解，因此导致这种响应的物理机制在本章中将通过实验、分析和数值检查。尽管它首先由Jacobsson介绍，本章重点仍在于阶域分析，检查T（t）的包络函数。
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车速 |
峰值间角加速度测量值 |
方向盘的预测峰峰值角位移 |
评价 |
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130 |
0.43 |
0.20 |
共振前 |
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95 |
1.00 |
1.00 |
共振时 |
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50 |
0.23 |
0.17 |
共振后 |
表2.1
2.2 问题描述
本研究的主要目的是（1）设计一个台架试验来模拟车辆的颤振源，并测量T（t），液压（p（t）），theta;1（t）（xi;f（t）和xi;p（t））的指针和活塞侧面; （2）开发台架试验的准线性模型，获得解析解，并估计T（t）的包络函数；和（3）开发台架试验的非线性数学模型，以研究其瞬态动力学并且将T（t）预测与关注于阶域分析的测量进行比较。
2.3 实验分析
在制动过程中，当旋转系统从高速减速时，在制动转子接口处产生摩擦转矩。使用以下传感器来捕获与速度相关的事件：制动钳的液压连接处的压力p（t）传感器，输出到遥测系统的基于应变计的扭矩传感T（t）片，输出到遥测系统的三轴加速度计卡钳体，在卡钳前缘处靠近转子表面的非接触位移探头（以测量xi;f（t），xi;p（t））以及连接到转子的正交编码器（测量theta;1 （t））。 p（Omega;1）和Delta;xi;（Omega;1）之间的关系总结在表2.2中。从表格值看出，随着Omega;1减小，对于n = 4和5，Delta;xi;（Omega;1）的振幅略微增加。特别地，n = 5处的Delta;xi;（Omega;1）振幅变得高于n = 4处的振幅从n = 4和5.beam的p（Omega;1）幅度可以清楚地看出这一相同的行为用于替换制动转子。
图2.1的台架试验基于缩放的动能或惯性概念设计，并且其仅包括一个没有悬架系统和轮胎 - 轮胎组件的制动弯。它包括通过轴连接的两个扭转惯性元件，制动转子和飞轮，以及位于车辆上的制动钳组件，使用较低的制动压力。制动后的最大转子温度保持在50°C左右。因此，研究范围限于检查温度对几何失真或摩擦系数的影响可忽略的“冷振颤”问题。制动转子的几何变形被假定为振颤响应的唯一来源。在实验中允许转子仅具有旋转运动，因此不可能进行摆动运动。实验具有扭转共振，这允许获得T（t）中的车辆样变化。制动（液压）压力pr（t）作为实验输入。如本节后面所述，总测量液压p（t）具有除了p r（t）之外的另一分量，该第二分量p a（t）是p（t）的一交叠部分，并且假设由xi;f（t）和xi;p（t）引起。假设制动压力p r不随时间变化，因此有不随时间变化的T r。交替部分p a（t）引发T（t）的振荡，但在本章中没有考虑从T（t）到p（t）的反馈。在制动事件期间，当旋转系统从高速减速时，在制动转子接口处产生摩擦转矩。使用以下传感器来捕获与速度相关的事件：制动钳的液压连接处的压力p（t）传感器，输出到遥测系统的基于应变计的扭矩传感T（t）片，输出到遥测系统的三轴加速度计卡钳体，在卡钳前缘处靠近转子表面的非接触位移探头（以测量xi;f（t），xi;p（t））以及连接到转子的正交编码器（测量theta;1 （t））。p（Omega;1）和Delta;xi;（Omega;1）之间的关系总结在表2.2中。从表格值看出，随着Omega;1减小，对于n = 4和5，Delta;xi;（Omega;1）的振幅略微增加。特别地，n = 5处的Delta;xi;（Omega;1）振幅变得高于n = 4处的振幅从n = 4和5.beam的p（Omega;1）幅度可以清楚地看出这一相同的行为用于替换制动转子。
图2.1 台架试验（无信号调理设备）
- 结论
3.1小结
在该实验中，研究了作用在定制垫上的法向载荷和摩擦约束的影响，并且针对法向载荷和约束位置的不同组合比较摩擦力的峰-峰变化。明确的趋势是实验确定的。实验室实验的非线性模型提供与测量相同的趋势。非线性模型被进一步简化以产生基于线性单自由度近似的分析解。非线性和线性模型在趋势方面与测量很好地匹配。所有结果都成功地解释了接触力概念的中心，并
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