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基于一组地形道路轮廓的重型卡车最优化燃料的速度轨迹
Anders Frouml;berg, Erik Hellstrouml;m and Lars Nielsen
摘要
解决的问题是如何在各种道路地形上，驱动重型卡车使得燃料消耗最小化。使用一个现实的卡车动力总成的模型，构建燃料消耗最小化的优化问题。通过问题的解决方案，得到最佳的速度分布。这里的优势是，可以找到明确的分析解决方案，这对于一些测试的道路能做到。构造测试道路很容易得到分析解决方案，但仍然需要捕捉到真正道路的重要属性。在这种方式中，所得到的解决方案解释了一些自己和其他人使用更精细的建模和数值优化，如动态规划。
结果表明，对于水平路和小坡度，最佳的解决方案是以恒定速度驱动。对于大坡度下坡，最佳的是利用车辆的动能去加速，以获得速度。这种速度的增加是用来降低其他路段的速度，使总平均速度保持不变。考虑到限制的最高速度的最佳速度更新的战略，最大限度地减少刹车使用。即使发动机不产生任何扭矩也可以做到，例如在陡峭的下坡之前减速，卡车之后将加速。
1.介绍
对于重型卡车，燃料是运行成本的很大一部分。一个好的司机对如何以燃料最优的方式驾驶有一定的直觉。针对不同种类的车辆，找到燃料消耗最佳驾驶方式的问题已经被研究过。这个研究的早期工作已经使用了更简单的模型[2]，或者他们已经使用带有近似解决方案的最佳控制理论方法，例如动态规划[7,8,10,12]。在这些类型的模拟中，观察到许多有趣的行为。例如，有时观察到在下坡之前减速是最佳的，而有时则不是。这可能取决于诸如车辆质量或道路倾斜度的参数的改变。本文的一个目标是通过制定一个得到分析解决方案的问题来直接观察。
燃料效率驾驶行为的分析推导通过使用重型卡车的物理模型给出，其给出了燃料消耗预测，但是仍然具有可控的复杂性。构建的测试道路的最佳解决方案对于理解重型卡车的能量使用是重要的。本研究的目的是提供前面提到的洞察，也为标准案例如上坡和下坡，丘陵和凹陷提供适当的策略。完整的最优策略将是这样的标准情况的连续链，其中参数依赖性将是显式的。此外，所提出的最佳解决方案可用于验证次优实时模型预测巡航控制器，或教导驾驶员如何更有效地驾驶。
2.卡车模型
这里将使用的模型结构已经被证实可以将燃料消耗预测在几个百分点内[11]，但仍然具有这样一个简单的特性，它可以用于燃料消耗的分析研究。
该模型由以下部件组成：发动机，变速器，主减速器，车轮和底盘，所有模型如[9]所示。发动机建模为:
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(1) |
上式中，是发动机燃油消耗，单位是mg/冲程，是发动机转速，以及函数从测量数据映射。对于典型的柴油发动机，发动机扭矩的仿射模型是合理的近似，并且可以写作：
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(2) |
这种仿射模型将在稍后用于优化燃料消耗。
飞轮和发动机的其他旋转部件被建模为：
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(3) |
上式中，是飞轮转矩。
变速器和主减速器被建模为具有传动比和效率的集成部件，如下式：
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(4) |
其中，是车轮速度，是传动系统的集成惯量，并且是车轮扭矩。车轮被建模为没有滑动的滚动车轮，如下式：
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(5) |
其中是车轮半径，是车辆速度，是车轮驱动力。卡车的运动模型为：
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(6) |
其中是车辆质量和右侧分别是车轮力，空气阻力，滚动阻力和法向力。阻力是:
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(7) |
其中后者的力取决于道路坡度。
结合所有方程，结果是：
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(8) |
总而言之，模型可以写成形式
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(9) |
其中是行进的距离。
3.水平道路上的最佳速度
上一节中提出的模型具有与[2]中使用的类似的结构。在这里，模型结构扩展了更详细的发动机模型和滚动阻力。在[2]中表明，水平道路上的最佳速度分布是恒定速度。对于所使用的发动机模型的假设是燃料消耗与所产生的功成比例。现在它表明当来自[2]的模型用等式（2）所描述的更详细的发动机模型扩展时，恒定速度也是最佳的。
首先研究的模型由等式（1）-（9）给出。该模型可以写成：
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(10) |
其中是来自等式（8）的集总模型常数。以恒定速度行驶，即以固定档位行驶，，即在距离上成比例的燃料消耗：
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(11) |
上式中，以及。距离被分成两部分如下：
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(12) |
并假定车辆正在驾驶一定距离，分别为恒速和，见图1，总燃料消耗可以写成
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(13) |
这里研究的问题是如何选择和，使得燃料消耗（13）最小化，距离和与时间的关系如下：
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(14) |
图1.平均速度v驱动的距离s，速度和的距离和。
其中是总平均速度。优化问题是最小化（13），满足约束（14）。目标函数通过使用拉格朗日方法的约束增加如下所示：
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(15) |
其中，是一个恒定拉格朗日乘数。最小值通过求解定义的方程求得，通过设置拉格朗日函数的偏导数零，如下所示：
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(16) |
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(17) |
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(18) |
用乘以（16），用乘以（17），消除得到：
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(19) |
可以重新排列得到：
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(20) |
对于，的物理现实值，该方程的唯一解是。使用总行程时间（18）的约束，可以看出该速度也是该距离的指定平均速度：
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(21) |
如果计算拉格朗日的第二偏导数，则可以看出该点也是最小值。
在[2]中表明，考虑到速度和之间的加速和减速不会改变速度必须相等的解决方案。最好的是，在理想情况下，从到加速所需的额外能量（参见图1）将在从1v减速到时恢复，使得加速和减速的能量消耗效果为零。这一事实也容易用变化的演算理论来表示。考虑到加速度，找到具有给定平均速度并且使燃料消耗最小化的从点a到点b的速度轨迹的问题,可以使用等式（10）被写为:
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(22) |
受制于给定平均速度的约束，即:
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(23) |
其中是指定的平均速度。这个问题的形式如下：
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(24) |
约束为：
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(25) |
最佳化的必要条件是它满足微分方程[4]
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(26) |
其中lambda;是恒定拉格朗日乘数。结合（22）和（23）得：
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(27) |
比如，即使考虑到进行加速和减速，最佳速度曲线是恒定速度。
4.小坡度上的最佳速度
在[2]中显示，对于小梯度，它是最佳的恒定速度。将显示，对于模型（10）-（11）也是如此。第一小梯度将根据倾斜角度来定义[3]。
考虑模型（8）。让加速度和燃料为零。然后可以看出，对所有倾斜角满足：
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(28) |
即使发动机不产生任何工作，车辆也将加速。通过在（28）中设置相等来得到的极限
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(29) |
有关极限角的特性，请参见图2。
对于上坡，角度使用最大加油量定义：
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(30) |
即发动机强大到足以加速的角度。然后得到极限角：
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(31) |
图2.不同车辆质量和最高档位
的车辆速度对应的的下坡坡度的极限角度图。
图3.不同车辆质量的车辆速度的上坡坡度的限制角度图。
最大燃料喷射在此被建模中为发动机转速中的二阶多项式。有关极限角的特性，请参见图3。
现在可以做出小梯度的定义。
定义1：小梯度是所有具有倾斜的梯度
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(32) |
注意，当为正时，取负值。
现在，利用小梯度的定义，可以计算具有水平段和具有小梯度的段的道路的最优解。对于具有恒定斜率的小坡度的路段，燃料消耗（11）变为：
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(33) |
其中是由于道路倾斜的附加成本。将一个水平切线部分与其中一个小梯度组合，现在总燃料消耗（13）变为：
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(34) |
拉格
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