英语原文共 14 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
摘要
本文分析了一个复杂网络上具有出生和死亡的SIR模型，根据感染情况将感染个体划分为m组，将人与人之间的接触视为无标度的社会网络。我们得到了基本繁殖数R0以及各种免疫方案的效果。结果表明，在一定条件下，无病平衡点是局部和全局渐近稳定的，否则无病平衡点是不稳定的，存在唯一全局渐近稳定的地方病平衡点。数值模拟结果验证了我们的理论结果，为传染病的控制提供了一条有希望的途径
1.介绍
J.M. Hyman, J. Li, A.E. Stanley[1]提出了一种具有不同传染性的疾病传播模型。从那时起，许多工作正在进行。J. m . Hyman, J. Li[2,3]研究了具有差异传染力的确定性模型的基本繁殖数，研究了具有差异传染力的确定性模型的动态行为[4-7]。然而，传染病在人群中的传播不仅取决于疾病的特征，还取决于人群的结构和组合。传染病传播的确定性模型通常假设同质随机混合，这意味着所有个体相互接触的可能性是相等的，因此，如果被感染，同样有可能感染人群中的易感人群，然而，在现实中很少观察到这种情况。
图1 联系人流程的状态转换规则。132/5000 在略微使用符号的情况下，用大写字母S、I1、Ii、Im、R和E表示网络中站点的数目或状态
为了克服这一缺点，人们做了大量的研究，其中一个重要的工作就是建立复杂的网络模型。1999年，Barabasi和Albert提出了一种新的复杂网络模型：无标度网络(BA)[8]。在无标度网络中，任意节点与其他节点相连的概率p (k)按照幂律p(k) = Cf (k)kminus;r, r isin; (2,3]，其中f (k)是k的函数分布。尽管人们经常观察到，真实的人类社会和疾病传播网络表现出几个数量级的无标度特性，但分布的尾部却总是有界的。此外，许多学者也研究了流行病在复杂网络上传播的机理[9-11]。Yuan等人[12]利用复杂网络的概念，提出了一种基于媒体无预警规划的传染病模型。他们发现感知程序对度较小的节点有更大的影响。此外，Wang等人[13]假设环境与人口是均匀混合的，建立了水传播疾病网络流行模型。这一有趣的结果为进一步了解疾病在多种传播途径中的传播提供了依据。[9、14)的研究表明一个流行阈值lambda;C = 1/lang;krang;均匀网络存在，lang;krang;是平均连通性(度)网络。如果lambda; lt; lambda;C，疾病将会消失，否则会有持久性。然而，有压倒性的证据表明，真正的网络，包括熟人的社交网络或个人之间的其他关系，食物网，遵循的是幂律分布。对于一些传播时间较长的传染病，我们可以在模型中考虑出生、死亡等种群动态。Liu[15]等人考虑传染病在网络上的生死传播情况，得到传染病的流行阈值。此外，Cao等人[16]也使用了这种新的方法，他们提出了一种带有出生和死亡的异质网络的性传播疾病模型。Yuan等人[17]讨论了具有两个易感群体的SIR模型在复杂网络上的稳定性，得到了基本再生产数，证明了平衡态的全局稳定性。
然而，关于差异感染的网络模型的文献很少。特别是，很少有论文关注这些模型的动态行为。Fu等人[18,19]提出了出生和死亡差异感染的网络模型，并计算了基本繁殖数。在论文[20]中，Jie Lou和Tommaso Ruggeri研究了双重感染的SIR模型。得到了病毒的基本繁殖数，证明了病毒无病平衡点的全局渐近稳定和感染的持续性。
在以往工作的基础上，我们将研究一个包含流感、乙型肝炎、结核病等多种传染病的复杂网络上出生和死亡的差异感染SIR模型。在下一节中，将描述流行病模型。下一节专门研究基本再生产数和平衡的存在性。在第4节中，我们将给出平衡的稳定性。第5节给出了支持理论分析的数值模拟。我们将在第6节中研究各种免疫方案的效果。论文第七部分是结论和讨论。
2.模型描述
在本节中，我们描述了与出生和死亡有关的差异感染的SIR模型，并将分析的网络标记为N。假设N的每个位置都是空的或者只有一个个体占据，并且N的每个位置只能在S、Ii、R、E中选择一个状态 (i = 1,2，hellip;i,m)。这些符号分别代表一个易受感染的个体职业、一个来自第i个感染组的受感染个体职业、一个恢复的个体职业和一个空的。接触过程的状态转变规律如图1所示。在略微使用符号的情况下，图1中的大写字母表示网络中站点的数量或站点的状态。此外，对于S, Ii, R, E中的每一个状态(i = 1,2，hellip;,m)根据位置的程度分为n组。Ii,k,( i = 1,2，hellip;，m, k = 1,2，hellip;，n)为k度感染个体的密度，属于第i个感染组。Sk, Rk表示度为k的易感个体和恢复个体的密度。空位可以以b的速率生出一个健康的个体，而被占用的位则以mu;的速率变为空。。如果一个健康个体的邻居中有来自第i个感染组的感染个体，则可以以lambda;i的速率进行接触感染，并且新感染的个体将以tau;i的概率进入第i个感染组，被感染的个体可以一定的速率gamma;i治愈。
根据以上分析，均场方程可写为[15]
其中sum;itau;i = 1且（1-Sk -sum;iIi,k –Rk）是空节点的密度.tau;i是新感染个体进入第i个感染组的概率。对于不相关的网络，可以写出Theta;为[9,21]
其中Theta;i = sum;kkp(k)Ii,k，I = 1,2,hellip;,m，而lambda;i是易感个体可以通过接触感染的比率。此处p (k)是设分布并且度lang;krang;= sum;kkp(k)。设QK= Sk sum;iIi,k Rk，把(1)关于k次的所有方程相加，则可以得到关于Q的方程
将式(1)与式(3)结合起来，就可以得到一个极限系统
其中Q* k =b/(b micro;)，现在只需要对模型系统(4)进行详细的研究，而不需要对模型系统(1)进行详细的研究。
3.平衡和基本生产数
显然，系统(4)具有无病平衡E0(S0 k,I0 i,k)
对于i = 1, 2,hellip;hellip;,m, k = 1,2,hellip;hellip;,n，接下来，推导出基本繁殖数R0的表达式。流行病学中最核心的概念之一是基本繁殖数，它的定义是一个典型的感染个体在一个完全易感人群中所产生的二次感染的预期数量。数学上，R0是无病平衡稳定的阈值，与疫情的峰值和最终规模有关。然后可以效仿范登德里什和沃特莫[22]或迪克曼内塔尔等人[23]的做法获取复制号。
该系统(4)涉及受感染状态，Ii,k，i = 1,2，hellip;m ,k = 1,2,hellip;, n;和未感染状态,Sk, k = 1, 2,hellip;, n。当Ii k趋近于0时，我们得到
则式(4)的第二个方程是封闭的，线性方程组为
我们将参考方程(5)作为线性感染子系统，它只描述了新感染体的产生和已有感染体状态的变化。如果我们设置I =(I1,I2,hellip;hellip;,Im,)T，其中Ii = (Ii,1,Ii,2,hellip;hellip;Ii,n)T。其中素数表示转置，线性感染子系统可以写成这种形式
传输矩阵Gamma;对应,矩阵Sigma;对应转换。在本文中，我们将死亡包含在转换矩阵中，以保持符号的简单性(与[22,23]形成对比)。因此,所有的流行病学事件导致新感染通过Gamma;纳入模型,通过Sigma;和所有其他事件。进展死亡或免疫保证Sigma;是可逆的。我们的模型、传输矩阵Gamma;和转换矩阵Sigma;给出
其中
对于i,j = 1,2,hellip;hellip;m，从而给出了具有大域的下一代矩阵KL
接下来，我们将计算KL的主特征值，它等于基本复制数R0。因为KL的所有行是成比例的，所以KL的秩是1，这意味着KL有mn - 1个特征值等于0。这里我们引入一个正向量
然后我们可以验证一下
其中
它是KL的主特征值，让(4)的右边为0，可以得到
由(2)和(6)可得
此外，一个关于Theta;派生自洽性平等
显然Theta;= 0 是(7)的一个解决方案。自从Theta;iisin;(0,1],对于I = 1,2,hellip;,m,众所周知,0 lt;Theta;le;sum;ilambda;i。所以如果存在一个非平凡解，它应该满足
事实上
可以得到
对于每一各k，由式(4)的第一个方程，可以得到一个不等式
得出Sk le; = S0 k，接下来，将(4)关于k次的方程相加
这意味着(Sk Sigma;iIi,k) le; 。因此，系统(4)的极限集包含在R(m 1)n的非负锥的以下有界区域内
其中I = 1,2,hellip;..,m，k = 1,2,hellip;hellip;n，因此，我们得出以下定理
引理3.1 如果R0 ＞ 1，地方病平衡点E*(S* k，I* i,k)存在于Gamma;系统(4)的内部。
4.平衡稳定性
在本节中，我们考虑平衡点E0和E*的稳定性。
对于非线性微分方程组
如果f（x0）= 0，则x0为平衡。现在我们要考虑平衡点x0处系统（8）的稳定性。 当x→x0时，根据泰勒定理，
因此，线性函数Df（x0）是x = x0附近的非线性函数f（x）的良好的第一近似值，可以合理地预期，非线性系统（8）的行为将近似于x0的点，通过其线性化在x0处的行为（有关详细信息，请参见pp.65minus;161 [24]）。Df（x0）称为雅可比矩阵。Df（x0）由
方程
被称为（8）的线性系统。然后我们可以看到，如果所有特征值均为非正值，则系统（9）的解是稳定的（有关详细信息，请参阅第1-58页[24]）。
对于我们的系统（4），无病平衡E0的雅可比矩阵为
其中
这里
对于i，j = 1,2，...，m。 由于J2与J|E0的特征值没有关系，因此此处未显示J2的表达式。 可以看出，J|E0的n个特征值等于-micro;。另外还有mn个特征值被确定，我们现在声称矩阵-J3是一个M矩阵。另外，通过正向量对矩阵-J3使用左乘法
其中
可以得出
其中
是一个正向量。 然后，根据M矩阵理论，J3的所有特征值都具有负实部，这意味着如果R0 lt;1，则无病平衡的局部渐近稳定性。另一方面，通过数学归纳法表明， J3的行列式由
接下来，基于n和m的奇偶性进行讨论。如果n和m中的一个为偶数，则J3的特征值个数为偶数。此外，当R0gt; 1，则我们的Det J3 lt;0。 J3至少具有一个正实部的特征值。如果n和m均为奇数，则J3的特征值数为奇数。此外，当R0gt; 1，则我们确定J3gt; 0.因此矩阵J3具有至少一个正实部的特征值。
因此，如果R0gt; 1，则矩阵J3具有至少一个具有正实部的特征值。也就是说，无病平衡是不稳定的。因此，
定理4.1 如果R0 lt;1，则系统（4）的无病平衡E0局部渐近稳定，而如果R0gt; 1，则不稳定。
定理4.2 如果R0le;1，则系统（4）的无病平衡E0全局渐近稳定。
证明 让我们考虑李雅普诺夫函数
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[239245]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
