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一个基于概率需求和机器可靠性分析的针对单元制造系统设计的多重目标数学
模型
摘要：本文为基于概率需求和机器可靠性分析的单元形成问题提供了一个动态多重对象混合整数数学模型。在这个模型中，总的系统成本，机器利用率成本，计划期间的最大系统故障率会同时达到最小值。总系统成本目标函数用于机器操作，内部生产，单元间物料处理和分包成本。由于在这类问题中，目标之间是相互冲突的，所以找到一个理想解决方案（同时满足所有目标的解决方案）不太可能。因此，这个研究使用增强ε约束方法（解决小尺寸问题）和一个非支配排序遗传算法（解决大尺寸问题）去找到Pareto最优前沿，因而决策者可以挑选一个完美解决方案。数值例子将被解决以证明该算法的效率。
关键字:成组技术；动态概率需求；多重目标数学模型；帕累托优化；指数分布；机器可靠性；机器可用性；泊松分布；多目标遗传算法
1 简介
制造业中的单元制造系统（成组技术的一个重要应用）被认为是一个提升车间生产效率的有效途径。一些研究者（Wemmerlov and Hyer）已经报道了这些优势的细节。单元形成作为单元制造的一部分实际上是成组技术在制造业及以零件的物理或操作相似性在零件设计和生产的不同方面进行分类的目的的生产系统的应用。在大多数已经形成的单元形成问题中，研究人员假设问题数据（例如，机器能力、产品结构与需求）在整个计划范围中是恒定的，而在实际情况下，这是不可能的，因为发生的机器故障，需求的变化，更短的产品生命周期，等等。
许多研究人员认为，机器在整个规划范围中是100%可靠的。在这种情况下，如果一个机器在零件分配给它时发生故障，该部分将有缺陷，而其他部分需要等待，直到修复损坏的机器。此外，本机的有效能力将不等于标称能力。为了能有效的解决这个问题，我们对机器可靠性进行优化，在加工路线（作为一个目标函数）加工业务的零件，并根据其在每个时间段的可用性估计每个机器的有效容量。
此外，许多研究者以确定的方式考虑需求，而在现实世界中，因为需求的变化和更短的产品生命周期，它是不确定的。因此，我们根据以前的时间周期和概率分布函数估计在每个时间段的每个部分类型的需求。我们在下面的章节中制定了多目标数学模型来解决这些问题。
2 文献综述
在以下三个小节中，通过对已经完成的工作简要描述，以解决单元制造系统的设计问题，机器故障问题的研究已经有所进展，然后概述了多准则决策，简要讨论了在单元制造系统（CMS）的多目标方法。
2.1 单元制造系统设计
在过去的30年里，CMS得到广泛研究，在这方面的文献十分丰富(Mansouri et al. [2], Song and Choi [3])。Lockwood et al.研究了CM调度问题。Schaller等人[5]提出了一个整数规划模型，在不同的规划时间段，确定要使用的单元和对单元的部件进行处理。由Chen [6]和Nsakanda等人[7]提出的CMS系统的生产计划考虑了部分需求，机器能力的限制，多工艺方案，和用于每一部分类型的替代工艺路线，目标函数零件的加工顺序为：单元间和单元内物料处理费用和外包选择。Chen and Cao [8] [9]认为在CMS设计中包括生产计划的协调。Saidi-Mehrabad and Safaei [10]提出了一个动态条件下单元形成的非线性整数模型。他们应用神经网络的方法，基于平均场理论和Hopfield模型的能量函数的概念，以尽量减少机器的摊销，搬迁，和小区间的移动成本。Defersha and Chen [11] 提出了在多个时间段的制造单元设计一个综合的数学模型。该模型试图最大限度地减少机器投资成本，间物料处理成本，经营成本，分包成本，刀具消耗成本，安装成本，以综合的方式重构系统成本。CM设计正在以更综合的模型和研究方法重点研究（Kioonet al. [12], Mahdavi等人[13], Rafiee等人[14]）。Kioon等人在CMS的设计，集生产计划、动态可配置提出了一个混合整数非线性模型，和多条路线。该模型试图以一种综合方式使机器投资成本，单元间和单元内的材料处理成本，运行成本，安装成本，和系统重新配置成本最小化。Mahdaviet al. [13] 提出了一种动态单元制造系统的数学模型，并考虑了模型中工人分配的灵活性。Rafiee等人[14] 提出了考虑生产计划批量和动态单元重构决策的单元形成问题的综合数学模型。Khaksar等人[15] 提出了一种用于单元制造系统的替代工艺路线和灵活配置多层布局设计一个整数线性规划模型。他们应用遗传算法来解决模型。他们的模型的一个新的方面在于，同时实施单元的形成和组织布局决策，以实现一个多楼层工厂的优化设计解决方案。Renzi等人[16] 介绍了人工智能在专用和可重构制造系统优化设计中的应用。Solimanpur等人[17] 用蚁群优化（ACO）方法求解单元形成问题。Moslemipour等人[18] 介绍了在柔性制造系统中设计动态和强大布局的智能方法。他们调查动态和强大的布局，各种解决方案的方法，特别是智能的方法，以及它们的优点和缺点。Chang等人[19] 制定了一个两阶段的数学规划模型，整合CMS设计过程中的三个关键问题，即，单元的形成，单元布局和考虑操作序列，和生产量的内机序列的替代工艺路线。他们提出了一个有效的禁忌搜索算法的基础上的广义相似系数来解决模型。
在这些研究中，零件的需求一直以确定性的方式考虑，然而在实际情况，由于市场和需求的变化，这是不可能的。我们认为考虑概率条件下的单元制造将是有用于根据市场变化的制造决策。
2.2单元制造系统中的机器可靠性
在单元制造系统中，机器可靠性的考虑还没有得到足够的重视，尽管研究人员已经在许多性能评价研究中讨论了它的重要性。Zakarian and Kusiak [14] 制定了评估系统的可用性作为衡量性能的CMS系统的分析方法。考虑在每个单元格中的工作条件下的机器的子集的概率，对整体制造系统的可用性进行评估。Jeon, Leep, and Parsei [20] 提出了一个CMS设计模型，在每个机器的预先定义的故障数中考虑备选路径。作者通过选择替代路线来处理故障，试图减少等待成本，早期/后期完成处罚成本，和库存持有成本的总和。Yazhau等人[21] and Dai,Zhou, and Jia [22] 综述了机器可靠性分析中故障分布的选择和应用。加工中心的故障概率分布在Yazhau等人[21]等人的研究中。Seifoddini and Djassemi [23] 提到，机器的可靠性是一个单元制造系统的性能的一个有影响力的因素。Diallo 等人[24] 提出了一种设计制造单元的方法，这个方法可以可以改变流程，计划处理机器故障。根据指数分布，研究了在不可靠机器存在的情况下，单个机器和制造系统状态的可靠性分析。K. Das等人[25]通过将预防性维护计划概念融入设计过程并演示，提出了一个新的CMS模型，通过一个数值例子，这个模型运用于单元设计，以提高可靠性，减少成本。K. Das [26]考虑了Weibull和指数可靠性分布在CMS设计中的应用。该模型的目的是选择最佳的工艺方案，以达到最高的系统可靠性的机器沿零件加工路线，同时优化系统成本。Saxena and Jain [27] 提出了考虑机器故障的可靠性问题的多目标动态单元生成问题。作者考虑了机器故障，生产计划，
分包，单元间物流和单元间运输的批处理尺寸，批量分割，交替进程路径，操作序列，同机副本，机器能力，切削工具的要求，工作负载平衡、机邻接约束，机器采购，和单元重构。
2.3 CMS中的多目标方法
自1990以来，多标准制造单元的设计一直是一个有吸引力的研究课题。赵和吴[28] 提出了一种利用特殊算子将机器组合为多目标制造单元的遗传算法：使单元间和单元内部运输成本最小化，使总单元负载变化最小化，使特殊元素最小化。Suresh and Slomp [29]提出了一个多目标程序，以解决劳动分配和单元形成中机器分组的问题。Arzi 等人[30]提出了一种在一个块状的环境中的多目标的单元设计方法。目标是实现分组效率和满足能力要求。作者考虑到：零件需求变化和零件类型需求相关性作为单元设计的一部分。
Khoo等人 [31] 提出了一种基于遗传算法的原型系统，将机器分配到制造单元中，适用于目标函数例如总的零件移动，单元负载变化和机器安装成本。Mansouri等人[32]采用称为XGA的多目标遗传算法来为决策者提供帕累托最优解决方案。Yasuda等人[33] 提出了一种分组遗传算法来解决多目标单元形成问题。考虑到给定时间内的加工时间，生产要求和机器上的可用时间两个目标，单元间流动和单元负载变化。雷和吴[34] 提出了基于帕累托最优性的多目标禁忌搜索（MOTS）算法，用于具有多个目标的机器零件探索问题: 最小化单元间和单元内移动的重量之和，最小化总单元负载变化。Aramoon Bajestani 等人 [35] 提出了一个多目标动态单元形成模型，其中总单元负荷变化和杂项成本（机器成本，单元间材料处理成本和机器搬迁成本）的总和将同时最小化。Tavakkoli-Moghaddamet等人 [36] 提出了一种模拟退火方法，用于解决资本约束的多标准单元形成问题的新数学模型。
Javadian等人 [37] 提出了用于单元制造设计的多目标数学模型。该模型最大限度地减少了每个时期的单元负荷变化，同时降低了杂项成本（机器成本，单元间和单元内物质处理成本，机器硬化成本，机器采购成本，库存持有成本，订单成本和机器搬迁成本）的总和。他们用NSGAII解决了这个多目标模型，以获得Pareto最优解。Shiyas等人 [38] 提出并分析了制造单元设计的数学模型，这个模型考虑了两个相互冲突的目标，如单元异质性和单元间移动。他们开发了一种基于遗传算法（GA）的解决方案，用于使用优化包解决模型。该模型通过考虑实际的限制因素，辅助决策者从不同的替代方案中选择合适的单元设计方案。Jabal Amelia等人[39] 提出了一种多目标纯整数线性规划方法，用于替代工艺路线和机器可靠性考虑的单元形成问题。他们使用一种方法来模拟机器的不可靠性在成本和时间效应方面的影响，而不是将系统可靠性建模为明确的目标函数。
根据文献综述，解决动态CMS问题的多目标方法吸引了研究者的关注。少数作者在概率条件下考虑了需求。因此，在这篇论文中，我们通过考虑机器可靠性和零件的概率需求，开发了一个新的CMS多目标动态数学模型。此外，我们设计了多目标遗传算法（NSGAII）来解决这个问题。以下三个目标要同时进行优化：（1）杂项费用之和（机器开销和搬迁成本，单元间运动成本，分包成本），（2）机器利用成本，（3）系统错误（或系统可靠性）。
本文的其余部分安排如下：第3节介绍了多目标优化的基本定义。在4.1节中，介绍了机器的可靠性和有效的机器能力定义。动态概率需求条件问题在第5节中论述。第6节给出了问题的详细描述和提出的模型。第7和8节处理了所提出的方法(增强ε约束方法和NSGAII法)。计算结果在第9节中提供。
3多目标优化
多目标优化问题具有若干目标函数，这些目标函数将被最小化或最大化。一般来说，问题有许多约束，任何可行的解决方案（包括最优解）都必须满足它们。在下文中，我们以一般形式说明多目标优化问题（MOOP）：
最大化/最小化
约束于
解x =（x1，x2，...，xn）是n决策变量的向量，f（x）=（f1（x），f2（x），...，fm（x））是解在客观空间的向量。术语gj（x）和hk（x）被称为约束函数。最后一组约束称为变量边界，限制每个决策变量xi取下限xi（1）和上限xi（u）约束中的值。一些基本的多目标概念如下：
（1）控制：我们说决策向量x主导决策向量y，当且仅当
及
如果问题是最小化问题，则“≺”运算符表示“lt;”，如果优化问题是最大化问题，则“≺”表示“gt;”。
- 非支配解：所有决定向量，控制其他向量但互不相关的决策向量，被称为帕累托意义上的非支配解或最优解。
- 全局帕累托最优集：整个可行研究空间的非支配解是全局帕累托最优集。所有非目标向量的集合称为前帕累托（PF）。找到帕累托最优集或PF的近似集被称为帕累托优化。有关多目标优化的详细描述，有兴趣的读者可以参考Collette和Siarry[40]。
4 机器的可靠性和有效的机器能力
制造系统由多台加工工件的机器组成。制造系统的可靠性由所涉及的所有机器的可靠性来计算，每台机器的可靠性由其可用性定义。
系统可用性:系统可用性是系统或组件在给定时间点或在指定时间段内以规定的方式运行和维护时执行其所需功能的概率（Ebeling [41]）。
机器可用性：机器可用性是机器在给定时间点运行的可能性或机器运行的某个间隔内的时间百分比。
实际上，所有机器都被认为是不可靠或可靠的，具有可靠性标记。当机器运作时，它产生; 当机器关闭时，它等待修理。可用性度量由以下类型组成，与分布类型无关：
点可用性A（t）：在时间t的点可用性是机器/系统在时间t正常工作的概率。
因为在制造环境中，机器状态是动态的，并且机器处于操作状态或不工作状态的概率相对于时间而变化，这取决于修理状况。因此，在CMS设计中，必须考虑机器的可用性，在单元形成问题上确定有效的机器能力。用于研究CMS或任何类似制造系统的动态行为的适当模型是离散状态连续时间马尔科夫过程，假设机器故障和修复时间的指数分布以及故障模式的独立性。
以下是使用指数分布对CMS环境中机器可用性的关键概念的描述。
如图1所示，可以通过分析马尔可夫过程的转换图来找到由只有一台具有修复率r和故障率lambda;（rgt; 0和lambda;gt; 0）的机器组成的系统的模型可用性。
lt;
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