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多准则决策在装配线平衡中的应用
F.Jolai·M.Jahangoshai Rezaee·A.Vazifeh
摘要
装配线平衡问题对于制造系统的表现有着非常重要的影响，与此同时，装配线平衡问题又通常是一个多目标问题。无论是通过算法还是程序化的装配线平衡方法通常都不能很高效的解决这些问题。基于此，本文提出了使用数据包络分析（DEA）的方法用来解决装配线平衡问题。通过应用一个叫“灵活线平衡(Flexible Line Balancing——FLB)”的计算机辅助装配线平衡软件来生成大量可供选择的解决方案，同时形成定量的决策单元输出。本文使用的是一种定量的表现衡量方法。接下来我们使用了DEA法来解决了一个多目标装配线平衡问题，验证了此种方法的有效性。
关键词：装配线平衡.数据发展分析.COMSOAL（阿克斯法）.多准则决策
绪论
装配线平衡问题对制造系统的实际表现和生产效率的影响非常的大，在过去的几十年里一直都是研究的热点。一条装配线包括一组有限的工作要素或者工序，组中的每一个成员都有一个操作时间，组中还有一套优先关系用来规定任务进行的先后顺序。基础的线平衡问题是将工序有序的按照工作站进行排序，从而在先后顺序得到满足的同时最优化所需要的效率指标。
简单线平衡问题（SALBP）有以下几个主要特点：（Baybars 1986; Scholl 1999,Chapt. 2.2; Becker and Scholl 2006; Boysen et al. 2007）
- 大规模生产同一产品；生产流程已知。
- 产线周期时间CT固定
- 不变（且完整的）操作时间tj
- 在安排任务时除了优先关系约束外没有其他限制
- 在连续的生产线上有M个单边工作站
- 工作站的拥有同等的工人和机器是。
- 最优化线效率LE=sum; t j / ( M * C T )。
目前发现的线平衡问题及其变种问题的最优化方法的说明有Baybars（1986）和Scholl（1999）。线平衡问题一般讨论的是单产品的装配线平衡，最简单的一类线平衡问题就是众所周知的装箱问题，就是把一个一维目标装进数个有着给定容量的完全相同的容器里。假设在一段时间内的任务是固定的，只把时间作为一个单独的维度进行考虑。然后根据箱子的容量计算周期时间，这个问题变成了如何在一个工作站的操作时间都小于周期时间，并且所使用的工作站数量最小的情况下，将操作工序分配给各个工作站的问题。
当然，这个简单的模型没有考虑到操作之间的先后关系约束，而是假设产品可以以任意的顺序装配。由于适用于非循环优先约束（Saceerdoti 1977），装箱问题成为了最简单的装配线平衡问题（SALBP）,有两个关于这个问题的观点比较经典（Scholl 1999）：
SALBP-1的内容是将任务分配给各个工作站从而使得在给定的生产率下工作站的数量最小。
SALBP-2的目标是将生产率最大化，或者说，在给定工作站数量的前提下，将闲置浪费的时间最小化。
Klein and Scholl（1999）比较了数值实验的结果包括通过最高效的分支定界法解决第一类简单装配线平衡问题。Driscoll and Thilakawardana (2001)将问题的困难程度和解的质量用定量的方式进行了划分。自从这个问题以NP-hard（非确定性多项式难题）的名字为人所知，一个大型NP-hard难题往往需要非常漫长的计算时间。但是使用遗传算法（Rekiek et al. 2002）和禁忌搜索（Lapierre et al. 2006）可以得到很有意思的结果。在相关论文中有这一领域的工作的综述（Rekieket al. 2002; Scholl and Becker 2006; Becker and Scholl 2006;Dolgui et al. 2008）。
Mc Mullen and Frazier (1998)写过一篇和本文相似的论文，他们使用了一种启发式方法，然后通过DEA来对不同的装配线平衡方案的结果进行了比较。他们通过启发式算法求解了七个线平衡问题。当求得问题的答案之后，他们使用仿真技术得到了装配平衡问题的产出，这些结果都是通过DEA来进行评价衡量。从另一个角度来书，一种使用仿真和DEA来辅助管理，用以决定在装配线平衡中哪些启发条件最能够适合他们的需求的方法已经问世了。他们提出了一种可以衡量启发式算法在求解装配线平衡问题中的作用的手段。
本文提出了一种用以解决装配线平衡问题的DEA方法。这种方法第一次使用了FLB软件来生成一个装配线平衡问题可供选择的解（DMUs）的确切数量。阿克斯法不仅能够用于生成装配线平衡可行解的过程，还可以收集定量的性能表现的信息。最终，DEA可以分析这些衡量性能表现的数据，使之引导DEA得到最优解，进而解决装配线平衡问题。这种方法综合了所有算法和程式化方法解决线平衡问题的优点。接下来将通过一个例子来证明这种方法的效率和效果。它使用了别的装配线平衡问题的准则。
不像Mc Mullen and Frazier (1998)的论文那样，我们的论文使用了一种算法（阿克斯法）生产数个装配线平衡的解。另一方面，我们的论文对使用阿克斯法得到的装配线平衡问题的解进行了评估，这帮助我们来决定哪一个阿克斯法的解是高效的。一个佐例将会用来展现这个方法的高效性和有效性。
这篇纹章的结构如下。第二部分给出了阿克斯法一个简明的介绍。第三部分讨论了DEA法及其的应用。这种方法的具体细节在第四部分呈现出来。接下来的第五部分就是一个例证实践。最后的一个部分则将会得出最终结论。
阿克斯法
阿克斯法（COMSOAL）算法名称的英文含义是“一种排序装配线操作顺序的计算机方法”（The Computer Method of Sequencing Operations for Assembly Lines），它是由Arcus（1966）提出的，包括了一种描述优先关系的方式，当计算机执行一个列表类型的数据库设计时比较简单。多数对于阿克斯法的引用都在装配线平衡领域(Dar-El1975; Erel and Sarin 1998; Osman and Shing 1986; De Puy and Whitehouse 2000)。另一个在这个领域的成果是Lapierre et al. (2006)的。他们设计了的一个很好的针对多属性装配线平衡问题的算法。这位作者为工作站提供了一个多属性以及伪随机的属性选择版本的阿克斯算法。Gokcen et al. (2006) 提出了一个用于装配线平衡问题的算法程序。想要应用这个程序，在每条装配线上装配的产品应该是同一产品的不同或者相似的模型，而且他们的周期时间也必须要是相同的。这个程序的任务分配逻辑和阿克斯法相似。它可以应用于一条以上的平行生产线。阿克斯法迅速的得到许多的可行解并使用其中的最优解作为其最终输出的结果。它产生一个待安排的活动的列表，而且这些活动必须满足所有的程序要求。然后，下一个安排的活动是随机从这个待安排的表中选择出来的，这样就产生了一个新的待安排活动表。COMSOAL不停的重复这样的步骤直到所有的活动都被安排好。
一个COMSOAL算法得到结果的迭代过程如下：
步骤1：对于每一个任务，识别所有在优先顺序上紧随其后的任务。
步骤2：把所有装配任务放入表A，把所有的任务立即按照先后顺序在任务优先级图表中进行排序。
步骤3：以表A为基础，创建一个表B。组成表B的是优先级最高的任务，即这些任务在任务优先级图表中有0个更优先的任务。如果没有任务仍未分配到各站，结束。
步骤4：以表B为基础，创建表C。表C中包含了那些工序时间不比此工站的剩余空闲时间大的任务，如果表C是空的，创建一个新的可用时间为周期时间的工站，重复步骤4。
步骤5：随机从表C中选择一个任务分配到工作站中
步骤6：更新工作站的剩余空闲时间和表B用以反映所占用了的时间以及在这个阶段完成了的优先级高的任务。如果表B是空的，更新表A然后返回步骤3。否则返回步骤4。
总的来说，阿克斯法在让你和装配线生产计划中都是一个非常重要的部分。相对于试图手动计算这个复杂的问题，使用阿克斯法更加快捷，更加简单，而且更加的精确。除此之外，通过使用软件节省的大量时间相当于节省了企业的运转资金，进而节省了一大笔钱。在本文中，FLB软件是应用于阿克斯发的基础上的。
DEA
数据包络分析法是一种基于线性规划模型，评价相同的的产入和产出的决策单元的相对效率的方法。它通常被用来评估决策单元，在工业领域、大学、医院、银行、城市规划、设施规划等领域应用较多。DEA的两个基础模型分别是CCR（Charnes et al.1978）和BCC（Banker et al. 1984）分别对应不变规模效益和变动规模效益。DEA是应用于评测表现有相同的功能完全一致的目标和宗旨的决策单元的相对效率。
下面是应用于本部分的一些缩写。
n 待评价的决策单元
n 决策单元的数量
m 输入数量
s 输出数量
Xij 第j个决策单元的第i个输入的值
Yrj 第j个决策单元的第r个输出的值
vi 第i个输入的权重
ur 第r个输出的权重
通过使用DEA，多重输入输出的决策单元的相对效率就有计算的可能性了。决策单元的相对效率是通过效率的比定义计算的。(Charnes et al. 1978)。这种比将单个输入输出定义推广到多重输入输出而不用实现分配权重。对每一个决策单元都有用的权重是那些使得加权输入和加权输出间的比最大的。这些权重要在不使用任何方法去聚集合计输入输出的方式下决定，就像是价值或者市场价一样，是很必要的。如果需要评价一组使用同一类功能的决策单元的相对效率，这些决策单元必须也要使用同一类型的的输入从而得到同一类型的输出。每一个决策单元在给定的数据下都可以根据其利用输入产生输出的效率来评估它的效率。假设我们有n 个DMUs，当每一个DMUj(j=1，hellip;，n)都利用m个输入Xij（i=1，hellip;，m）得到s个输出Yrj（r=1，hellip;，s）。DEA通过下式评估DMUj的表现：
(1)
当vi（i= 1，hellip;，m），ur（=1,hellip;,s）作为输入和输出的权重一一对应综合决策单元DMUj的m次输入和s次输出。每一个决策单元DMUj在1式中的权重就可以由通过下面的数学规划问题决定了。(Charnes et al. 1978)：
（2）
使用DMUo来表示n个DMUs中的某一个的聚合输入输出比，oisin;｛1，hellip;，n｝，并定义Xio和Yro与DMUo的第i个输入和第r和输出一一对应。如果hi*=1，那么DMUj就是相对高效的。通过将DEA模型重新定义为线性规划，我们得到：
（3）
这就是著名的CRS模型。如果把加入模型(3),我们就得到了变动规模效益（VRS）模型。
每一个决策单元都在约束允许的前提下被分配了可供使用的数据中最高的预计效率分值（theta;ole;1），通过对输入和输出的最优化权重选择。如果DMUo匹配到的最大值theta;o=1，那么它就是高效的，但是如果theta;olt;1，它就是低效的，伴随着它的最优权重，另一个决策单元也将匹配到最大效率。基本上，数据包络分析的结果将所有的决策单元分成了两组，高效的（theta;o=1）和低效的（theta;olt;1）。
Fauml;re and Knox Lovell（1978）介绍了一个非径向的方法，可以允许有益输入的不成比例减少或者有益输出的增加。无论是包络模型还是非比例数据包络分析模型都得到相同的边界值。与此同时，它们的目标都是使低效的决策单元变得高效。输入导向的非径向变动规模效益模型如下：
图1：方法思维图
图2：装配线工序次序图
（4）
使Wi的偏好系数衡量输入值i总消耗的减少并且满足
，theta;i减少作为衡量输入值i的总消耗的关键要素。
具体方法
下面本部分将要使用的一些代号：
CT 周期时间
M 工作站的数量
N 要素的数量
Sav 工作站平均时间
Sj 站j的任务时间
tav 平均任务时间
ti 第i个任务的时间
tsd 任务时间方差
这种用来解决线平衡问题的方法的描
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