可靠的3R机械手的奇异点检测
作者 R. Benoit, N. Delanoue, S. Lagrange, and P. Wenger
概要：设计新的机械手需要其运动行为的有关知识。重要的运动属性可以由特定的兴趣点所描述。重要的兴趣点包括尖点和节点，他们分别负责非奇异的姿势变化能力的和在工作空间的孔隙中特别奇异点的存在性。在实践中，在对这些点进行数值计算时应妥善解决这些错误。本文提出了基于区间分析方法设计的点的数值算法，从而在研究机器人的工作空间和关节空间中发现兴趣点的范围。该算法应用于具有相互正交关节轴的3R机械手。本文提出了预处理碰撞检测算法，例如，能够去检查机械臂对它的兴趣点的可访问性。本文旨在通过两个互补的算法，提出基于区间分析，提供可靠地方式来获得一个全面描述的机械手。
1、介绍
本文中描述的算法和方法应用于一组机器人机械手的研究：有相互正交关节轴的三回转关节机械手。这些机械手应被优先研究，因为他们可以被视为6R机械手的定位结构与球面手腕。一个主流观点是，他们可以是尖头的，这意味着他们可以改变他们的姿势，而不必遇到一个奇异点，该观点由Baili et al.在2004年和Wenger在2007年提出。它可能会也可能不会成为被期望的行为。
为了能帮助读者理解非奇异姿态变化的概念，激发尖头机械手的研究，我们有两个视频展示，分别是非奇异和奇异的姿势变化的轨迹，提出了与本文的在线版本(见补充)。对于只有转动关节轴的机器人，检查结构的奇异性可以通过几何方法来完成。事实上，如果末端执行器在一个转动关节轴上，或如果末端执行器在一条穿过所有驱动转动关节轴的直线上，则该机构是奇异的。（见Baili，2004）
一个尖点机器人至少有一个尖点在他的工作区的一个截面内。另一方面，在这个区域中节点的存在和机器人工作空间的孔隙的存在是紧密相关的。因此，尖点和节点是重要的兴趣点(Husty et al.,2008)。根据这些点的数量，可以建立一个分类(Corvez Rouillier,2004;baili et al.,2004)。
尖点和节点是根据在这些点上的奇异集的图像所形成的局部外形而命名的。实际上，在工作空间中的尖点，是一个至少有一个奇异集图像的横截面的数学尖点。同样地，在一个工作空间的截面，一个节点是位于奇异集图像的两个分支的交叉点。
形式上，一个节点被定义为一个工作空间点与两个奇异逆运动学解(IKS)。用类似的方式，一个尖点可以被定义为一个有三个相等的奇异IKS的工作空间点。这些定义被Baili et al.(2004)使用，以定义一个通过特征多项式证明尖点和节点存在的正式条件。
研究奇异点的性质，而不是只是隔离他们以避免不稳定行为是相对近期的研究(Wenger,2007)。然而，这种方法和检测一个机器人的奇异集有着很互补的共同目标，对于机器人的属性提供了有用的信息，特别是对于新颖的设计。检测奇异集的方法包括使用雅可比矩阵的行列式(det(Df))的数学评估标准的强力法和提取最小化量的点集的方法。在另一方面，方程det(Df)= 0被正式或隐式地求解后数值解可能会从这一分解中提取出来。对于正式复杂的运动功能，需要一个能在奇异点中返回精确约束条件的中间地带。这中间地带通常意味着一个有着区间分析方法协同的基本方案，这一点将于第三部分详细介绍。
我们在这里详细说明的算法的主要观点和方法是，使用区间分析，以可靠的方式，围住在机械手工作空间的电机剖面中的尖点和节点。为了找到这些点，我们使用了两个方程组，他们的根是从属于尖点和节点的关节空间点。为了封闭这些方程组的根，我们使用了区间牛顿法。
我们将验证，对于没有内部运动的，而且有着一些不精确的几何参数的机械手，用之前介绍的算法，也可以发现他们的尖点和节点。
当一个精确动作是必要时，对机械手组的完整研究，如Baili et al.(2004)所做的，能允许我们在一个大范围的几何参数内选择机械手。另外，本文算法让在选择区间内用几何参数研究机械手成为可能。这是保证机械手的行为，给他们几何参数，精密经济地制造实用机械手的第一步。
- 研究机械手
研究机械手有三个无限制的转动关节。因此，这足以限制我们对他们最后两个关节的研究。因为工作空间对于第一个关节轴是对称的,所以它足以限制对在由定义的平面内的半横截面的分析，我们会确定截面，用于计算的目的。
图1显示了研究机械手及其几何参数。注意,我们的算法中，为了方便,角beta;i代替了标准alpha;i，beta;i=pi;/2-alpha;i
图1 theta;1 = 0的一般3R机械手的运动图
图2 参数为d2=1, d3=1.5, d4=0.7, r2=0.5, r3=0.5的3R正交机械手的后两个关节(theta;2,theta;3)和工作空间的横截面中的奇异点集
我们将首先考虑像Baili et al.(2004)那样的机械手，也就是，有着正交旋转而且最后一个关节无补偿量的机械手。如图1中选择的约束，这些机械手是由beta;2=beta;3=r3=0定义的。
图2显示了正交机械手的实例，关节(theta;2,theta;3)和工作空间的横截面中的奇异点集。图2还说明在工作空间截面图中尖点和节点的性质,如尖点(C1,C2,C3,C4)和节点(N1、N2)。也显示了在关节空间中的奇异点集的逆运动学解,分别是(c1,c2,c3,c4)和({ n1,n1rsquo;},{ n2,n2rsquo;})，它们是我们在这份论文中有效搜索的点。
我们将显示我们的方法能提供和Baili et al.(2004)相同的结果。此外,我们的方法也可以用在其最后一个关节有一个补偿量的机械手上，而且总是返回一个搜索奇异关节空间点的精确范围。
3 区间分析的应用
3.1 区间分析
区间分析是一种计算方法，它操作区间，而不是操作值。这一点是数值计算的关键，因为它保证了值在区间里(见Jaulin et al .,2001;Moore,1996)，其边界可以完全由计算机存储。区间分析同时计算了数字和误差。
在这篇文章中,方框是区间的向量。区间的概念可以通过笛卡儿积引申,所以区间分析可以用包含映射扩展到方框。
f为一个映射，包含映射f是一个关系到方框D的函数[f]，f(D)sub;[f](D)。注意(xisin;DrArr;f(x)isin;[f](D))。
事实上，f的包含映射[f]被选择用以最小化关于包含的方框[f](D)。
对于有大量的计算指令时，当一个值的限制集可以被精确表示时，这种计算方法对于其可用性是是有助的。在这种情况下，点P是由最小的包含P点的方框所表示的，f(P)是由在包含f(D)的像方空间中最小的方框{f}(D)所表示的。
3.2 机器人学中的区间分析
由于区间分析在第三部分中说明的属性，区间分析是一种能在机器人学中广泛运用的工具(见Merlet,2011)，例如机械手的动力学计算，包括平行机械手。
区间分析的机器人应用之一是奇异分析,也就是,寻找机械手的运动映射奇异点。为了找到这些奇异点,我们使用了一种通用方案,它由在方框研究中的细分和收缩过程组成。主要的想法是,搜索点被定义为一个方程的根。然后,任何方框的映射图像的相关方程不包含0,不包含任何搜索点。如果一个方框可能包含一个根,那么算子需在最初的方框里缩小方框至一个更小的包含根的方框。最终,当方框不能以这种方式减少时,切成几个副方框再次进行研究。这个方案的一个实例——将机械手的奇异点包含进去,可以在Bohigas et al.(2012)和Bohigas et al.(2013)找到。让通用方案与区间分析协同的方式是,他们都操作方框而且目的是包含计算值。
如前所述,有几种方法,无论是否使用了区间分析,都包含了一个机械手的奇异点。但是,验证这些奇异点的性质也是必要的。例如,假设你成功地发现了工作空间内的奇异点集的范围，如在图3所示。真正的奇异集可能是是图3中描述的其中一个。为了确定一个机械手的行为，有必要验证两条曲线是否相交。
图3两个相同的方框的两组可能的覆盖曲线
本文中,我们使用区间分析，提出一个能包含特殊奇异点的算法，这些特殊奇异点能定义机械手行为。因此,下一小节将提出一个方法来将从一个方程里包含数字根,通过区间分析:区间牛顿法。
3.3 区间牛顿法
给定一个广场方程组所描述的f = 0,我们可以定义一个在方框上的算子。当D是一个方框且xisin;D时，这个关联到映射f的区间牛顿算子Nf被定义为:
df(D)是一个包含所有在点D上联系到f的微分的线性映射矩阵的矩阵间隔，而且(.)minus;1是矩阵求逆的算子。在事实上,在我们的算法中,(.)minus;1的计算被应用于逆矩阵的计算公式。应该注意,是在Eq.(1)内，而不是(df(D))minus;1times;f(x),任何一组(D,f(x))可以被使用，只要它包含解w(Aw = f(x)isin;df(D)。
主要观点是D和Nf(D)的拓扑关系取决于D中根的存在。
1、如果Nf(D)sub;D则exist;!xisin;D，比如f(x)=0且xisin;Nf(D),
2、如果Nf(D)cap;D=empty;则不存在xisin;D，比如f(x)=0
3、如果Nf(D)cap;Dne;empty;则(如果exist;xisin;D，比如f(x)=0则xisin;Nf(D)cap;D）
图4 区间牛顿法
f被定义时的区间牛顿法应用(见Neumaier,1990)，算法的流程图如图4。
如果与雅可比矩阵相关联的研究组的根可逆时，区间牛顿算法能够找到一个正方形方程组的根，这意味着区间牛顿法只能找到孤立的根。
如果选择精度不够小，区间牛顿法也可能失败,。例如它可以让一个有着一定大小的研究方框比包含的几个根的精度更小。必须选择一个较小的精度,例如没有方框可以包含多个根时。
4 寻找尖点和节点
4.1 运动图和奇点的概念
我们应该首先记得在工作空间中的尖点和节点是末端执行器满足一些附加属性的奇异点:一个尖点包括三个等效逆运动学解，一个节点包括两个不同的等效逆运动学解。我们在寻找他们的逆运动学解，而不是在工作空间中寻找这些点。我们的兴趣点即是我们在关节空间处定义的尖点和节点，这分别是尖点和节点在工作空间中的奇异逆运动学解集。
在3R正交机械手的情况下，使用图1的约定，由于他们旋转参数theta;1的不变性，我们考虑关节空间JS 被定义为JS = {(theta;2theta;3)|minus;pi;le;theta;2 lt;pi;;minus;pi;le;theta;2 lt;pi;}。类似地，我们考虑电机的工作空间截面，SWS，而不是考虑整个工作区，这可以很容易地定义为绕Z轴的圆柱坐标系，减去角坐标。在工作空间中的位置(x,y,z)被转换为(rho;=x2 y2,z)。考虑到这些,机械手运动学映射可以表示为f=(f1,f2):R2sup;JS → SWS=R2，包括f1(theta;2,theta;3)=(cos(theta;2)(d4cos(theta;3) d3) d2minus;r3sin(theta;2))2 (d4sin(theta;3) r2)2，和f2(theta;2,theta;3)=sin(theta;2)(d4cos(theta;3) d3) r3cos(theta;2)。
当终端点P点到达关节轴时，内部运动出现。在这种情况下，逆运动学有着连续的解，在关节空间形成一条直线。在任何一个内部有横断运动线的方框内，该算法无法得出结论。
4.2 应用区间牛顿算法
在后文中,df指的是f的微分，Df指的是f的雅可比矩阵,这是df的关联矩阵。
几何因素:我们认为关节的尖端点C，C点的正交直线的Ker(df(C))是和奇异曲线的梯度是共线的，由(df)=0所定义。值得注意的是,在与向量v=(v1、v2)=0共线的R2,同样与向量w=(minus;v2,v1)=0正交。而且，如果Df(P)=0，Df的行是Ker(Df(P))的正交直线的基础,则正交Ker(Df(P))的维数为2，只要Df(P)是可逆的，因此它不能与grad(det(Df))(P)共线。把所有这一切放在一起,我们可以得出这样的结论:如果grad(det(Df))(P)不是零向量而且Df(P)不是零矩阵,则P是一个尖点:
算法的具体情况：系统(2)是正方形，它允许使用区间牛顿法找到其孤立的根。我们要寻找的系统(2)的根，是奇异点。然后，只要一个研究方框包含一个奇异点，我们将应用区间牛顿法，也就是说，只要det(Df)可能在方框内是是零值。为了检测那些值，最后的点grad(det(Df))(P)和Df(P)对于寻找的根P一定不是零值。然后,我们总是验证grad(det(Df))和Df(P)组件在应该包含一个尖点根的方框中不为零值。如果不是在一个孤立的方框的情况下，它将被分成几部分，再次研究。
4.2.2 对尖点的研究
几何因素:节点比尖点在根的映射中更容易被转录。的确,让E成为E的对角线,即E={(,)|isin;E}。然后,我们将寻找一对(x1,x2)isin;R2times;R2minus;R2,满足:
算法的具体情况:对系统（3）应用区间牛顿法，该系统需要一个有着4关节变量和4个方程正方形区间，有4关节变量和4个方程。我们在JStimes;JSsub;R2times;R2中搜索根，同时避免在JSsub;R2中的根，因为在最后一个子集中，当有根时，系统(3)的雅可比矩阵是不可逆的，区间牛顿法失败。
让Sj成为f的奇异集(在JS的关节空间内)
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
英语原文共 8 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[150114]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
