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蜂窝基板在大变形下的各向力学特性
祝锋：
武汉理工大学物流工程学院
中国武汉，430063
西北大学生物集成电子学中心
土木与环境工程系
机械工程与材料工程
伊利诺斯州，IL60208
肖汉斌：
武汉理工大学物流工程学院
中国武汉，430063
Yeguang Xue：
西北大学生物集成电子学中心
土木与环境工程系
机械工程与材料工程
伊利诺斯州，IL60208
Xue Feng：
清华大学柔性跨学科电子技术研究中心
工程力学系
中国北京，100084
Yonggang Huang：
西北大学生物集成电子学中心
土木与环境工程系
机械工程与材料工程
伊利诺斯州，IL60208
Yinji Ma：
清华大学柔性跨学科电子技术研究中心
工程力学系
中国北京，100084
电子邮件：mayinji@gmail.com
前言
可延展柔性电子元件的使用不仅可以最大程度地减少对生物流体自然扩散或对流的干扰，还可以减小电子元件对皮肤舒适性的影响。在现有的有限元拉伸条件下，柔性衬底等效介质的解析本构模型仅适用于延蜂窝状孔洞壁方向拉伸。本文旨在为沿任何方向进行细调的柔性基底的各向异性建立一个本构分析模型。该模型给出了在没有任何参数拟合的情况下，通过基本的元素分析（FEA），从而给出始终存在的柔性基底的非线性应力-应变曲线。对于施加的应变lt;10％，应力-应变曲线具有不同的拉伸方向，但它们的差异表示施加的应变增加，显示出变形引起的各向异性。线性和非线性弹性单元壁的结果比较清楚地表明，柔性基底的非线性应力-应变曲线差异主要来自单元壁的有限旋转。
[DOI:10.1115/1.4039964]
关键词：各向异性当量介质；蜂窝材料；本构模型；有限变形；可拉伸电子学
1.介绍
无机可延展电子技术的发展取得了重要进展[1-7]，这项技术将可以大变形的机械特性和高性能的电学特性与人体组织完美贴合，同时还保留了完整的电学功能。此类无机可拉伸电子器件始终集成在在诸如Silbion[8]，Ecoflex[9 ]和聚二甲基硅氧烷[3]等柔性基底中。这些弹性固体破坏了生物流体的自然扩散或对流，并降低了穿着舒适度，例如汗液在皮肤上的停止。一种实现高渗透性的解决方案是使用蜂窝材料[10]，该基质可使生物流体通过软基质。
这种蜂窝基底的另一个优势是其等效模量较低，该模量可能低于原始材料的模量，因此可减小可拉伸电子器件与生物组织之间的界面应力[8]，从而使这些电子产品穿戴起来更舒适[10,11]。
蜂窝基底等效介质的现有力学模型集中在平面剪切不稳定性[12]，压缩不稳定性[13]和线性弹性响应[14-16]。Chenetal[11]研究了将蜂窝基底向下蚀刻的非线性反应是因为同种方法无法沿孔壁的方向进行研究，这是由于蜂窝基底的另一种可能是沿着同一个方向蚀刻的。
图1（a）和1（b）显示了柔性可延展蜂窝基底的中心距尺寸d。蜂窝孔壁的长和宽分别是和。其中是柔性衬底的孔隙率。设全局坐标系的x轴与蜂窝孔洞壁平行，柔性基底呈现线弹性或者超弹性，角度表示
拉伸方向。图 1（c）显示了通过多孔壁的初始模量归一化的标称应力与通过沿 x 和 y 方向拉伸的有限元分析（FEA ）获得的多孔基质等效介质的工程应变的对比方向，即平行（=0度）和垂直于蜂窝壁（=90度）孔隙率为=60％，70％，80％和 90％。显然，对于在高孔隙率下比如ge;70%下，x和y轴方向的拉伸曲线相距很远，表明各向异性很大。本文的目的是建立一个解析本构模型，用于研究等效介质在任意方向大变形下的蜂窝基底的各向异性，以确定它的模量最低的拉伸方向，这便是它价值最高的拉伸方向。这对于工程设计可拉伸电子元件的蜂窝基板非常重要。比如，眼脸或关节处的皮肤收到定向拉伸[17,18]，以使其与最低模量的拉伸方向平行，从而使柔性基底对皮肤的自然运动的约束达到最小化。
- 解析本构模型
如图1（a）和1（b）中的蜂窝状衬底，可以将孔壁建模为高孔隙率的梁由于，蜂窝壁的原始材料具有应力－应变曲线，其中是标称值应力，是工程应变，是线性弹性模量，并且函数f满足。如图1（b）所示，柔性基底的基本组成单位是由三个相距120度且具有蜂窝壁长度l/2的柔性材料组成。如图1（a）对于柔性基底的单轴拉伸关于柔性基底的中点都是反对称的，弯矩为零的壁，即图1（b）中半长单元壁的三个尖端的弯矩为零。力量在垂直于拉伸方向的三个蜂窝孔壁的尖端为0（有关详细信息，请参见附录和图9）。让（i=1，2和3），图1（b）表示沿三个蜂窝墙尖端的力拉伸方向满足，其中是施加到图1（b）中基本单元的净力。垂直于拉伸方向的投影长度为（图10）。柔性基底等效介质中的标称应力在拉伸方向上由归一化的是。
三个局部坐标系用平行于相应孔洞壁的轴引入（图1（b）和图2），在全局坐标系有角度。在局部坐标系中，力分别有。分别表示变形前和变形后沿第i个孔壁的弧长，用表示变形的第i个孔洞壁的切线与轴之间的夹角（图2）。在第i个蜂窝壁（图2）中的剪力：
每个蜂窝孔壁中的力平衡[19,20]：
图1（a）蜂窝基底的示意图，（b）基本单元的力学模型以及（c）蜂
窝基底等效介质的标准化标称应力（T^3）与工程应变（e）的关系
通过FEA在不同的x和y方向上孔隙率50%，60％，70％，80％和90％
其中与每个单元壁中的标称应力Ni /（E0delta;）有关，通过dsi/dSi=1 f^-1[Ni/（E0delta;）]。每个蜂窝壁中Mi的力矩平衡（图2）给出
代入方程式（1）的动量平衡方程（2c），连同弯矩-曲率关系，得到：
其中是孔壁的弯曲刚度。上面的方程，加上，得
其中，是通过积分以下方程式确定的。（4）
蜂窝壁末端的局部坐标可以从等式中的phi;i获得。（4），以及
，为：
变形后，蜂窝壁端部的全局坐标与等式（6）中的局部坐标相关。
变形后基本单元的力和力矩的平衡要求（8）
把式（6）和式（7）带进式（8），然后用。由式（6）和式（7）根据。
用d归一化的变形前蜂窝壁壁端部的整体坐标为三个单元壁沿x和y方向的工程应变分别为：
图3（a）和3（b）分别示出了柔性基底沿x方向和y方向的周期。沿x和y方向的三个蜂窝壁的投影长度的比率分别为：壁1：壁2：壁3=1：1：4和1：1：0，给出了沿x和y方向的柔性基底的工程应变：
图2整体和局部坐标系中有限变形下蜂窝壁的梁模型
图3 沿（a）x和（b）y方向的有效像元长度示意图
沿x方向的点A和B之间以及沿y方向的点C和D之间的相对位移用d归一化的图3（b）是：
沿y方向的点A和B之间的距离为d，沿x方向的点C和D之间的距离为，多孔基质的剪切应变为：
沿拉伸方向的工程应变为：
- 结果
为了说明上面的解析本构模型，采用了两个弹性模型，即线性弹性模型和Mooney-Rivlin模型[21]并比较了本节中的蜂窝壁，它们解析地给出了单轴应力-应变曲线：
线性弹性模型是：
用于Mooney–Rivlin模型[21]。这两个模型中唯一的 材料属性是线性弹性模量E0。对于线性弹性模型，图4显示 了在高孔隙率= 60％，70％，80％和90％
下，当=0度（沿着蜂窝壁伸展）时的名义应力（通过E0标准化）与工程应变的关系。第2节中的柔性基底等效介质的解析本构模型与FEA结果非常吻合，即使对高达80％的工程应变，也没有任何参数拟合。= 0度-30 度表示所有拉伸方向因为蜂窝基材在x和y方向上均具有120度的旋转对称性和镜像对称性。例如，在y方向（= 90度，垂直于蜂窝壁）的拉伸与alpha;=30度相同。图5显示了线性弹性孔壁在孔隙率=80％和alpha;=0度，10度，20度和30度时的标称标称应力与工程
应变的关系，再次表明与FEA吻合良好，任何参数拟合。所有曲线均在较小的工程应变（lt;10％）时重合，这与结构在无限小变形下的弹性各向同性一致。对于超过10％的工程应变，曲线之间的距离很宽，反映了变形引起的各向异性的影响。沿蜂窝壁（= 0度）和垂直于蜂窝壁（= 30 度）拉伸的曲线分别是最低和最高的，这表明变形主要是通过蜂窝壁的弯曲而不是拉伸来控制的。=0度和= 30度的曲线之间的差异在工程应变为25%~50％时达到最大。随着工程应变的增
图5在= 80％下多孔弹性体在不同方向拉伸 = 0度，10度，20度和30度时在多孔基材上的 归一化标称应力与等效介质的工程应变的关系
图4线性弹性孔壁沿孔壁（= 0°）沿不同孔隙
度= 60％，70 ％，80%和90%拉伸时，孔壁的归
一化标称应力 对等效介质的工程应变
加，不同的曲线趋于收敛，这是因为 在较大的工程应变下，所有蜂窝壁都朝着拉伸方向旋转。在孔隙率= 80％的情况下，图6比较了线性弹性模型与单元壁的Mooney-Rivlin模型（= 0度和30度时）。显然，只有在工程应变超过30％后，蜂窝壁的非线性弹性才起作用。例如，在40％工程应变下，线性弹性模型和Mooney-Rivlin模型之间在x和y方向拉伸时的差异分别为6.9％和10.7％。在50％工程应变下，这些差异增加到9.6％和13.7％。线性和非线性弹性蜂窝壁之间的这些相对较小的差异清楚地表明，柔性基底的非线性应力-应变曲线主要是由蜂窝壁的有限旋转引起的。
对于固态的线性弹性PDMS（厚度为0.3 毫米，弹性模量为500 千帕 [10]，图7（a））和蜂窝状的（壁厚和弹性模量与固态PDMS相同，孔隙率= 80％和单元大小d = 0.52毫米，图7（b）），其外轮廓（3.4 毫米 * 3.4 毫米）与皮肤（1 毫米厚，弹性模量130 千帕 [22]）粘合在一起，FEA用于决定PDMS和表皮之间的界面剪切应力，它们是完美结合的。对于施加于皮肤（即PDMS下方的皮肤）的15％应变，8（a）和8（b）分别给出了固体PDMS和皮肤之间沿x和y方向拉伸的界面剪切应力，它们明显超过了正常皮肤敏感性20千帕[22]。图8（c）和8（d）表明，蜂窝PDMS与皮肤之间的界面剪切应力远低于20 千帕，与固体基质相比，对皮肤的约束更小。相比之下，图8（e）和8（f）给出了结果对于蜂窝基底的有效介质的结果显示界面剪切应力的顺序与8（c）和8（d）相同。沿x方向（= 0度）拉伸的界面剪切应力小于y方向（= 30度）的界面剪切应力，这与上面图5中建立的沿蜂窝壁方向的较小刚度一致。
图6 具有线性弹性单元或非线性弹性（Mooney-Rivlin ）
单元壁在孔隙率= 80％时并沿（= 0度）拉伸且正交的
柔性基底的归一化标称应力对等效介质 的工程应变
图7 （a）
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