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Journal of the Mechanics and Physics of Solids
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Journal of the Mechanics and Physics of Solids 120 (2018) 199–207
可拉伸柔性电子器件中的蜂窝状孔洞衬底在大拉伸作用下的等效介质研究
Hang Chen a,b,d,1, Feng Zhu c,d,1, Kyung-In Jang e, Xue Feng a, John A. Rogers f, Yihui Zhang a, Yonggang Huang d, Yinji Ma a,d,
a工程力学学系;清华大学力学与材料中心，北京，100084
b广州建筑科学研究院，科技发展中心，510440
c武汉理工大学物流工程学院，武汉，中国
d土木环境工程、机械工程、材料科学与工程学系;美国西北大学生物集成电子中心，伊文斯顿，IL 60208
e韩国大邱庆北科学技术学院机器人工程系，大邱42988，韩国材料科学与工程、生物医学工程、化学、机械工程、电子工程和计算机科学系; 生物集成电子中心;Simpson Querrey纳米/生物技术研究所;西北大学，伊利诺斯州埃文斯顿60208
a r t i c l e i n f o r m a b s t r a c t
开放的、蜂窝状的可拉伸电子系统衬底的概念之所以引起人们的兴趣，部分是因为它们能够最大限度地减少先进的、生物集成的植入物中生物流体的自然扩散或对流流动受到的干扰。整体弹性性能,特别是拉伸性,这样的系统是很难确定的 ,因为他们强烈地依赖于蛇形互联的校准和相对于蜂窝基质开口的位置,而且现阶段的可视化硬件很难精确控制它们的位置。本文建立了蜂窝衬底有限变形下等效介质的基本模型。结果表明，连接到这种等效介质的蛇形互连线的弹性拉伸能力代表了对实际蜂窝衬底情况的下界估计，在这种情况下，连接采用不同的排列方式和位置。这一发现为可拉伸性提供了一个简单、保守的估计，它作为可拉伸电子产品中利用蜂窝基板的平台的工程设计规则具有普遍的实用价值。
copy; 2017 Elsevier Ltd. All rights reserved
Keywords:
Equivalent medium for cellular materials Constitutive model under finite deformation Stretchable electronics
Elastic stretchability
1.介绍
先进材料和力学设计的最新进展，导致了不同类型的柔性电子技术的快速发展,高性能无机电子材料是利用收益率水平令人印象深刻的系统机械灵活性和拉伸性,为广泛的生物和医学应用。
类似眼睛的数码相机 (Ko et al., 2008), 用于集成或部署在血管内的设备 (Klinker et al., 2015; Lee et al., 2015) 连接大脑的神经回路 (Kang et al., 2016; Zhang et al., 2016), 心脏 (Lu et al., 2015; Xu et al., 2015)和皮肤 (Jang et al., 2016; Koh et al., 2016; Li et al., 2017b; Webb et al., 2015). 基本的方法是利用可变形的互连将脆性材料从与整体系统变形相关的应变中分离出来，从而允许拉伸、弯曲和扭转的复杂组合，而不会导致性能的断裂或退化 (Avila and Xue, 2017; Chen et al., 2016a, b; Yang et al., 2017).
在可拉伸设备的设计上已经投入了大量的努力 (Rogers et al., 2010). 最常见的方法是将所有功能部件放置在刚性设备“岛屿”上，这些“岛屿”通过可拉伸/可变形互连进行电气和机械连接 (Choi et al., 2016; Lu and Yang, 2015; Ma et al., 2017; Song, 2015; Zhang et al., 2015). 这些互连要么采用由于衬底预应变释放而产生的屈曲形成的平面外弧形(Jones et al., 2004; Khang et al., 2006; Lacour et al., 2005; Ma et al., 2016b; Su et al., 2012; Wang et al., 2017)或平面内蛇形 (Gonzalez et al., 2008; Huyghe et al., 2008; Liu and Lu, 2016; Xu et al., 2017; Zhang and Parnell, 2017)以实现系统层面的可拉伸性。这种带有岛屿和互连的系统总是集成在或封装在固体衬底上，当安装在生物组织上时支持和保护系统 (Li et al., 2017a).
这种方法的一个缺点是，这种固体基质/封装会通过可拉伸的电子设备破坏生物流体的自然扩散或对流流动 (Dou et al., 2015) Lee等人(2017)提出了一种生物启发的蜂窝状蜂窝基质来实现高通透性，解决了这一问题。此外，蜂窝基板的等效模量远远低于由相同材料制成的固体基板(Jang et al., 2015), 因此可以实现更大的拉伸性，如下文所述。
拉伸性是最重要的一个定义属性的类电子产品,范围从30%为表皮应用程序(Kim et al., 2011b) 和多功能皮肤膜心脏测量和刺激(Xu et al., 2014, 2015), 到125%对于以导管为基础的心脏消融治疗设备 (Kim et al., 2011a). 利用蜂窝状孔洞衬底的可伸缩电子学的一个主要挑战是，与蜂窝状孔洞衬底相关的电子学的互连和其他特性的精确定位非常的困难。因此，集成系统的可拉伸程度有很大的变化，因为正如本文所示，可拉伸性取决于互连线的排列和位置。本文的目的是建立关于蜂窝状孔洞衬底上典型互连的所有排列和位置的可拉伸性的下限估计。第二节建立了蜂窝状孔洞衬底有限变形下等效介质的解析本构模型，该模型与直接数值模拟结果在100%应变作用下的结果吻合较好。 第3节 比较了以32种不同的排列、位置和方向连接到等效介质和连接到蜂窝状孔洞衬底的蛇行互联的弹性拉缩性能。结果表明，在不同排列方式下，等效介质的弹性拉伸能力是蜂窝状孔洞衬底的下界。结果值代表了一个简单的，保守的估计弹性拉伸性，并有助于设计可拉伸的电子粘结到蜂窝状基板。
需要指出的是，对于微元变形下的蜂窝结构力学有广泛的研究(e.g., Chen et al., 2016c; Giboson and Ashby, 1997; Giboson et al., 1982; Hasanyan and Waas, 2016; Mora and Waas, 2007; Okumura et al., 2004; Zhu, 2010), 基于新胡克本构模型的有限变形研究较少 (e.g., Mihai and Goriely, 2015; Mihai et al., 2017) 对于拉伸超过20%的情况，新胡克模型与直接的数值模拟有很大的偏差，因此在涉及到非常大的拉伸(e.g，100%)的可拉伸电子产品的应用上存在不足。
2.有限变形下蜂窝基质的解析本构模型
设E0为蜂窝壁的线性弹性模量。一般来说,名义应力和工程应变之间的关系的原始材料蜂窝墙可以写成 sigma; = E0 f (ε),其中函数f满足 df /dε|ε=0 = 1. 本节旨在建立等效介质的应力-应变关系的蜂窝状孔洞衬底的f和蜂窝状孔洞衬底的孔隙度phi; .
可拉伸电子产品中使用的蜂窝基板具有高孔隙率 (大于70%)具有高渗透率和可拉伸性。图1a为示意图。插图的六角形蜂窝基质(中心-中心)单元尺寸d。 蜂窝壁有长度 l = d/ 和宽度 delta; = d(1 minus; ). 在实验中等高孔隙度为80%, delta;蜂窝壁宽度远小于其长度l,蜂窝壁可以建模为梁。. 用于沿着全局坐标系的x方向的单轴拉伸 {x, y} (平行于蜂窝壁), 的x方向的单轴拉伸，蜂窝基底的基本单元如图.1b所示，由三根长度为l/2，间距为120°的梁组成。让2P表示单元内的力(沿面外方向的单位厚度)?墙沿x方向的( 图.1b),这使这面墙的名义应力,由E0规范化,当 h = 2P/(E0delta; )= /(1 minus; ), 其中 = 2P/(E0d) 为蜂窝基底等效介质中的公称应力，也用E0标准化。从单轴应力应变曲线sigma; = E0 f (ε) 对于蜂窝壁的原始材料，工程应变在蜂窝壁中平行于拉伸方向为
（1）
倾斜蜂窝壁
平行于x方向
的蜂窝壁
Fig. 1. (a)蜂窝基质示意图，(b)单元蜂窝力学模型
Fig. 2. 建立了有限变形条件下倾斜蜂窝壁的梁模型，建立了整体坐标系和局部坐标系
有限元分析 (Lee et al., 2017) 表明，倾斜蜂窝壁 (不平行于拉伸方向x) 的应变远小于沿x方向的应变。因此，斜胞壁采用线性弹性关系。 局部坐标系 {xmacr;, ymacr;}是这样引入的:x轴平行于斜向蜂窝壁，如图. 1b和2所示。让 S和 s 表示变形前后沿斜胞壁轴线的弧长, ϕ=ϕ (s)分别为在切线和x轴 (Fig. 2)之间的夹角. 倾斜蜂窝壁中的剪切力Q和斜轴力N (Fig. 2)与P和ϕ有关。
（2a）
（2b）
斜壁受力平衡给出 (Ma et al., 2016a; Ma and Zhang, 2016)
（3a）
（3b）
ds及ds相关应变 N/(E0delta;) 在斜壁旁边ds/dS= 1 N/(E0delta; ) (Fan et al., 2017). 斜壁弯矩M的平衡如Fig. 2所示
（3c）
式(2)代入式(3c)中的力矩平衡, 以及动量-曲率关系 M=E0Idϕ/dS (Ma et al., 2016a), 所给
(4)
式中为胞壁抗弯刚度。上面的方程，由于对称性， 和无弯矩条件。给出
（5）
由方程（5）从s=0到s=l/2积分得到。
（6）
给出了用孔隙度Phi;表示的beta;和标准化的名义应力。斜壁末端的局部坐标(图1b和2中的点1)可由in Eq(5)求得， /ds=sin
(7)
斜墙端部的全局坐标{x, y}，用d进行标准化，得到
（8）
式(1)给出平行于拉伸方向(图1a点A)的胞壁端部坐标{x, y} (被d标准化)为
（9a）
（9b）
方程式。(8)和(9)结合初始坐标( , )，给出与拉伸方向(x和y方向)平行和垂直的蜂窝基底的等效工程应变为
（10a）
（10b）
其中、和分别来自方程式(7)-(9)，与原始材料的孔隙率
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