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分析和设计中的有限元素
大型增材制造、保角、孔隙度级配及轻量化晶格结构的建模与仿真
帕特里克·特利奥特,弗拉基米尔·布里洛夫斯基
加拿大魁北克省蒙特利尔圣母院西街1100号高等技术学院机械工程系
条信息
关键词：
晶格结构
有限元素
孔隙度分级
增材制造
摘要
增材制造的出现，使设计和制造轻量化零件成为可能具有复杂几何形状的晶格结构。然而，进行计算机模拟来预测这种结构的力学行为仍然是一个挑战，特别是当支柱的数量很高时。
首先，这篇文章提出了一种快速建立大量杆件组成的网格结构的方法。该方法利用有限元网络的计算能力，将空间网格划分为一系列网络，其边缘定义了网格的支板。在这一过程中，可以清晰的定义一个分级。
其次，在数值模拟方面，采用梁有限元法对杆件进行建模。为了充分模拟整个孔隙度范围，材料的刚度可以在结构的任意点进行调整，主要是为了弥补粗大梁单元的有效性不足。通过对机械加载的矩形结构的位移分布进行充分的预测，验证了该方法的有效性，但是一个实验验证提出了与小支板制造限制相关的问题。
1.介绍
金属部件的增材制造为轻量化结构[1]的设计和优化打开了大门，而晶格单元的使用产生了高强度结构，同时伴随着相对较小的质量[2]。许多不同类型的细胞可用于晶格结构，如四面体[3-5]，立方体[6，7]和金刚石[8，9]。对这种晶格结构的力学行为的预测可以依赖于分析方法或有限单元等数值方法。在分析模型中，伯努利-欧拉或季莫申科光束理论，可以用来预测单个细胞的行为；事实上，利用这些理论研究了几种类型的单元细胞（立方体、四面体、八面体和金刚石）。该技术的主要限制是梁理论的有效性，因为他们迫使支柱的长度远远大于其深度。
因此，只有非常高的孔隙结构才能进行分析研究，单个单元也可以用实体有限单元来研究，在这种情况下跨深比限制不再成立。对于四面体、立方和球面单元格已经进行了若干这样的研究[7，14，15]。在这种情况下，可以研究整个孔隙度范围，但固体元素的数量很快就成了一个问题。实际上正如本文所讨论的，正确地用实体单元建模单元格所需的节点和元素的数量是如此之大，以至于整个晶格在计算时间和内存方面，许多支板的结构都是不可控的。相对而言，很少有研究包含大量支柱的整个结构的行为；这些包括模拟压入剂渗透到四面体晶格结构[5]和分析缺口对类似结构的影响[16]。在这种情况下，可以对代表高孔隙度结构的梁单元进行模拟，并把中等孔隙度到低等孔隙度的量单元放在一边。
本文的主要目的是提出一种利用量有限元模拟无孔隙度水平限制的整体晶格结构的方法。其主要特点是当梁单元的跨深比过小时，对材料刚度进行修正，以弥补梁单元理论的有效性损失。本文所研究的晶格结构是由一系列连接在一起的杆架组成的三维桁架，用以定义四面体单元。之所以选择这些结构，是因为这些结构在轻质结构[17]中表现出了优越的力学性能。
标题中的“大”一词不是指被模拟对象的物理尺寸，而是指晶格结构中杆的数量，事实上，该方法是为了使用传统的台式计算机模拟具有数十或数百根支柱的结构而开发的。标题还包括术语“保形”，因为建议的方法保证细胞的末端将匹配零件的物理边界。
本文的第一部分简要介绍了整个开发方法。第二部分描述了孔集配桁架结构的STL文件是如何为增材制造工艺生成的。有效地生成复杂三维晶格结构的STL文件的能力确实是这项工作的次要目标。然后在第三节进行收敛分析，以确定最优的有限元尺寸，产生收敛结果的实体和梁单元在这一工作中使用。第四部分引入刚度修正因子，将梁单元有限元模拟结果与实体单元有限元模拟结果进行匹配，即使孔率较低。第五部分通过比较梁单元和实体单元模拟的格构结构的力学性能，对刚度修正因子的使用进行了数值验证。最后在第六部分中，对一个由大量杆件组成的结构进行了建模，采用增广制造法建立结构模型，采用有限元方法进行仿真，并进行了实验测试，验证了该方法对复杂结构的可靠性。
2.方法概述
该工作是基于一个零件镶嵌成一系列四面体来子对三位桁架结构的定义。目前市场上有大量的有限元网络，已经掌握了这种镶嵌工艺；这里使用ANSYS 15.0网格。
用户使用他们喜欢的CAD软件，必须首先构建定义网格结构填充体积的部件的几何形状（见图1A）。然后通过交换文件格式（如IGES或STEP）将几何图形传输到网格，并通过控制四面体的大小进行镶嵌（见图1B）。结果必然是保角拓扑。每个四面体由4个顶点和6条边组成，可以与其它四面体共享。每条边定义了晶格结构的支柱。在某些特定的环境下，零件外表面产生的三角形“孔”可以密封，例如桁架结构的某些面必须承受压力。如图1B所示，用户选择的这些“关闭”面被涂成红色，所有其他面都是专门为去除在制造过程中被困在零件内部的粉末而打开的。
另一个重要的特征是在结构的每个顶点上调整孔隙度的可能性，从图1C中开孔的大小可以看出， 零件从左侧到右侧孔隙度都在增加。局部孔隙度仅由用户在几个选定的顶点上指定。所有其他顶点的孔隙度都是由克里格插值得到的，克里格差值是一种已在地质学中广泛应用了几十年的互极技术[18]。
然后，顶点的坐标和镶嵌连接被导出到文本文件中，并由一个专有的MATLAB程序读取，该程序将重建结构并生成两个输出。第1个输出是STL几何，它既可以用于实体有限元分析，也可以用于增材制造(见图1C)。有关该部分的STL表示的更多细节将在下一节给中给出。第2个输出为有限元模型，其中杆件由梁单元建模，封闭面采用壳单元建模（图1D)。有限元模型用于模拟由大量杆件组成的结构。
3.四面体细胞的建模
本节描述用于为STL文件建模是四面体单元格的方法。这个过程遵循网络化步骤，在此之后，每个四面体的顶点坐标和边的连接性都是已知的（图2A中的点i、j、k和1是四面体顶点的说明）。同样，在每个顶点上，通过克里格插值孔隙度，对给定孔隙度确定补偿值（OV）。OV是一个控制四面体中三角形开口大小的长度比。孔隙度与OV的关系将在后面讨论。
使用特定顶点（例如顶点i）的OV然后来定位三个点。这些点分别称为pi、qi和ri，它们位于从顶点i开始，到s、t和u处相对边的中间的直线上（见图2B）。直线上点pi、qi和ri的精确位置由式（1）的偏移量给出，其中，如|i pi|为点i到pi的距离：OV=|i pi|/|i s|=|i qi|/|i t|=|i ri|/|i u| （1）
然后计算位于由点pi、qi和ri定义的三角形质心处的点wi（见图2C）。对于一个给定的四面体，这个过程重复三次，根据其他顶点的孔隙度和OV来定位对应的点。然后根据边界表示方法对给定四面体的四个面分别进行排序处理。确实，对于给定的三角形面（例如图2D中的i-j-k面），九个点的位置为，i，j，k，pi，pj，pk，wi，wj和wk和以下三种情况之一：
·三角形面与另一个四面体重合，三个四边形面必须用STL文件表示（见图2E）;
·三角形的面部与另一个四面体融合（意思是这个面是零件的另一个外边界），并且它位于零件的一个开口边界上。在这种情况下，STL文件中必须表示六个四边形曲面（见图2F）;
·三角形的面部与另一个四面体重合，它位于零件的封闭边界上。在这种情况下，STL文件中只能表示两个三角形表面（见图2G）。
通过对每个四面体的四个面进行顺序处理，产生了一系列划分封闭壳层的表面，封闭壳层又划分了晶格结构的多孔体体积。在这种方法中，研究了孔隙度（用户提供的输入）和OV（几何参数）之间的关系，分析了十个不同展弦比的四元体。如图3A所示，四面体的展弦比由三条边（a，b，c）的长度以及在四面体内随机设置的三个角（alpha;，beta;，gamma;）以下限制：1le;b/ale;4，1le;c/ale;4，75°le;alpha;le;105°，75°le;beta;le;105°，75°le;gamma;le;105°。图3B和C显示了其中两个随机生成的四面体。对于每一个四面体，采用0.01~0.70不等的OV数构建一个四面体细胞，四面体细胞有四个开放的外表面。用三个不同偏移量构建的同一四面体单元如图3D-F所示。
用式（2）计算一个四面体细胞的孔隙度P，V是多孔四面体细胞的体积，Vs为固体四面体的体积。对于每一个可能的四面体和偏移量的组合，孔隙度都被计算并报告在一个图表中（见图4中的黑点）。对于任何给定的偏移量，计算的孔隙度与四面体的几何形状无关。因此孔隙度与偏移量之间只有一个关系，式（3）和图4中给出的三次多项式关系是计算数据的最佳拟合。因此当孔隙度在一个给定的顶点上相互作用时，由多项式方程可以很容易的得到OV，并且可以构造一个四面体单元的曲面。P=1-V/Vs （2）
OV=-1.0254Psup3; 1.5468Psup2; -1.1783P 0.684 （3）
4.收敛性分析
为了比较用实体或梁有限元建模的晶格结构的行为，确保结果独立性所需的单元大小是很重要的。利用ANSYS 15.0有限元软件对结构进行了第1次收敛分析，确定了实体单元建模时的最优单元尺寸。为此，一个测量1mmtimes;1mmtimes;1mm的单位立方体被分成五个四面体细胞。然后，该结构的孔隙度在0.05~0.95之间变化，并增加0.1。得到了11种结构，每一种结构都用四面体10节点二次单元（ANSYS SOLID187单元）进行网格划分，单元大小分别为0.2，0.1，0.05和0.025。这些元素的大小分别给出了单元立方体边缘上的5个，10个，20个和40个元素。为了便于说明，图5显示了孔隙度的两种组合和相对元素的尺寸。计算了44种可能组合的相对刚度。在划分结构的6个平面中的5个，即x=0，y=0，y=1，z=0和z=1上所有的节点，都被约束在与平面垂直的方向上具有相同的位移。这种边界条件迫使这些面在变形过程中重新形成平面，并在许多工程中得到了应用[14，15，19]。设x=1平面上所有节点沿x方向的位移为0.01。然后通过假设线性弹性材料的特性（杨氏模量为100GPa，泊松比为0.3）进行有限元模拟。然后对x方向上所有的作用力求和，以确定拉伸三次结构所需的力，已知初始尺寸、作用位移和总反力，计算了有效刚度。最后该刚度除以材料的杨氏模量，得到相对刚度。
表1给出了44个仿真中的16个仿真结果：相对刚度，ANSYS构建模型所需的CPU时间和求解问题所需的网格节点数。当单元尺寸减半时，相对刚度变化小于1%，则认为达到了收敛。例如，相对单元尺寸为0.2的0.35孔隙结构需要求解0.9s。网格包含3422个节点，计算相对刚度为0.3342。接下来，将相对元素大小减半，使相对元素大小为0.1。该单元尺寸的相对刚度为0.3264，相对于之前的单元尺寸变化2.4%，当元素大小再次减半到0.05，相对刚度变化小于1%，认为是收敛的，因此使用相对元素大小0.05需要一个网格，该网格计算的节点数是前一个网格的5倍，而获得的精度低于1%。对于其它孔隙度的研究也可以得出相同的结论。因此，相对单元尺寸为0.1将用于分析网格结构与实体单元啮合。
通过采用梁单元模型的结构进行的二次收敛分析，确定了每杆单元的最优单元数。同样的结果包含五个四面体细胞被使用，但这一次他与梁单元啮合。在整个工作过程中，梁模型的质量与相应的固体模型相同。这个假设保证了惯性力（例如重力加速度）可以与梁模型得到充分的模拟。选取的单元为基于Timoshenko梁理论的三维双节点梁单元（ANSYS BEAM188单元）。每个支柱的单元数从1~4不等。为了方便起见，图6显示了每个支柱由三个元素组成的网格结构，总共需要44个节点。所有其他的边界条件与以前讨论的完全相同。表2显示了每个支柱的孔隙度和单元数的几种组合。很明显，与实体建模相比，解决该问题所需的时间明显减少。此外，当每个支柱只使用一个元素时，结果已经收敛。事实上，当单元数增加一倍，相对刚度变化小于1%，这主要是由于张拉/压缩是桁架结构的主要受力状态。在这种情况下，可以使用杆件，但仍然决定使用梁件。使用梁单元的动机是为了获得用于表示封闭面的壳体元素所需的旋转自由度。此外，如果结构是一个框架而不是桁架，由于观察到的主要弯曲行为，每个支柱将需要更多的元素。事实上，对于由金刚石电池构成的结构，每根支柱需要5个以上的梁单元。因此，在接下来的部分中进行的仿真，每个支柱只需要使用一个元素，但是每个支柱使用两个元素。这种选择的原因再次与使用壳单元来模拟四面体细胞的封闭面有关。如果每个支板使用一个梁单元（见图7A），则支板中不存在中间节点，只使用一个3节点壳单元封闭一个四面体单元的表面。这样就不可能看到压力引起的壳体位移。每个支撑杆上有两个梁单元，封闭面中部有一个附加节点（见图7B），封闭面可以由六个壳单元建模，模拟垂直位移。
5.刚度修正系数
表1和表2的结果表明，梁模型在节点数上明显优于实体模型，因此计算时间更短。不幸的是，梁模型计算行为的有效性值得怀疑，事实上，图8所示的两种模型相对刚度的比较，结果表明，梁模型不能准确预测实体模型的计算值。在有限元中，梁单元对于细长结构是有效的，根据经验，梁单元的跨深比必须至少为8[20]。因此，对于高孔隙率，如0.95梁模型的相对刚度仅比实体模型小14%，但在孔隙率较低的情况下，如0.05，则相差大于450%。很明显，低孔隙度支板的跨深比不再有效，如图5A所示，当孔隙度为0.25时，低孔隙度支板的跨深比小于8。因此，梁单元的计算方法不适用于低孔隙度结构
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