2D型蜘蛛起重机结构保存优化控制
Sushant Bahadure
Veermata Jijabai Technological Institute,
Mumbai,
India - 400019
Email: sushant.bahadure@gmail.com
Chinde Venkatesh
Rachit Mehra*
Veermata Jijabai Technological Institute,
Mumbai,
India - 400019
Email: chanti.venky47@gmail.com
*Email: rachitmehra@gmail.com
Farukh Kazi**
Navdeep Singh***
Veermata Jijabai Technological Institute,
Mumbai,
India - 400019
**IEEE member,
**Email: fskazi@vjti.org.in
***Email: nmsingh59@gmail.com
摘要 - 在本文中，我们提出了一种基于离散力学导出的结构保存数值积分器的2D蜘蛛起重机的最佳控制方法。该离散框架是针对拉格朗日最优控制问题开发的。该方法基于用于机械系统的Lagrange-d Alembert原理的直接离散化。所得到的强制离散欧拉拉格朗日方程然后作为优化给定成本函数的约束。这种优化方法被称为DMOC，离散力学最优控制，它继承了变分积分器展示的运动的对称性和积分等特殊属性。起重机在重工业中普遍存在。由于有效载荷可能呈现摆摆摆动的事实，因此桥式起重机的精确有效载荷定位是困难的。这需要真正有效的控制策略。受到这种渴望，在最小化力量的同时实现快速和精确的有效载荷定位。在本文中，我们考虑了Spider-Crane的平面版本。我们的目标是：以最小的力量点对点传输有效载荷。
- 引言
在各个行业如运输，建筑和制造业起重机起重要作用。在操作和操作中，操作稳定的负载是复杂的。起重机操作员以这样的方式移动负载，使得负载连接的电缆由于安全原因而保持垂直，这种策略由于在处理中的额外时间而引起大的经济损失。为了提高工作效率，应该预期负载的摆动，以及必须采用预期负载摆动低惯性起重机设计来承载载荷的路径平整的方法。由于没有大的惯性吊臂，起重机可以以更高的速度工作。这种起重机是由Ecole多功能自动化控制实验室设计的，该系统可以在[1]中找到。详细的数学模型可以通过各种方法解决。在控制拉格朗日方法[2]中，通过反馈控制动能来实现负载稳定。通过将所需方程与现有的欧拉 - 拉格朗日方程进行比较，得到必要的反馈。在基于被动的控制器的IDA-PBC [3]中，系统以端口控制的哈密尔顿算式[4]，[5]建模，另一种端口 - 哈密尔顿形式是从期望的稳定条件导出的，通过使用状态反馈能量整形系统完成将系统形式转换为所需的端口 - 哈密尔顿形式。在负载稳定中采用的另一种方法是缩放水平控制，在该方法中利用模型预测控制方法。该方法需要高精度的系统数学模型。这种方法已在[6]中讨论过。
相关工作：由微分方程描述的动态系统系统的最优控制方法的不同方法在[7]中给出，DMOC是用离散机械系统解决最优控制问题的第一种方法，以导出结果的结构保留方案 优化算法，其第一个实现包括应用于空间任务设计和形成飞行[8,9,10,11] DMOC已经应用于机器人，生物识别和图像分析[12,13,14,15,16]。 [13,14]分析了具有对称性或非完整约束条件的机械系统。 扩展如多体动力学和混合系统正在调查中[11,15]。
这项工作包括离散2D-Spider起重机，并将其精确控制，用于精确的负载定位操作。离散机械系统的一个重要方面是必须保持与连续机械计数器部件相关的属性。交互性，动量守恒，能量保存是一些属性。为了实现这一点，我们将最近新兴的方法应用于DMOC - 离散力学和最优控制。在本文中，质量的负载将从零初始速度的稳定平衡点转移到其他稳定的平衡点，同时以最小的努力。即负载稳定力最小化。本文的组织结构如下：第二部分包括2D蜘蛛起重机的动力学和建模，并提出了问题。第三节涵盖结构保留离散化方法，第四部分包括其应用于二维解耦蜘蛛起重机。在第五节中，我们用结语来整理论文。
- 二维蜘蛛起重机
考虑2D蜘蛛鹤机构，如图1所示，通过改变电缆长度l 1和l2来控制负载位置。 这种机械结构的所有重要元件是固定的，并且通过电缆进行定位，因此通常由于低惯性而用于高速操作。 电缆系统处于致动系统下。 考虑到有效载荷质量m的摆动为theta;，我们在2D平面中引导载荷的位置，只有两个控制输入控制长度l 1，l 2。
在制定动态模型时进行了以下假设。
bull;电缆质量较小且无弹性。
bull;推车和绞车的耗散力可以忽略不计。
bull;假设两个塔架处于相同的高度。
我们提出了我们的问题，即找出质量m的有效载荷的最佳努力路径，该质量m由电缆悬挂在质量为M的环上，其中驱动力f x和fy然后进一步应用于应用，使用最佳f x，fy和系统的几何计算电缆张力。该二维蜘蛛起重机的这种分析称为解耦蜘蛛起重机。龙门起重机构的配置变量为
而拉格朗日可以定义为
而且
和
得到的欧拉 - 拉格朗日方程为：
如图2所示，Fx和Fy是施加在质量M的弹簧上的控制力，质量m的有效载荷用非弹性电缆悬挂。 我们将把这个子系统称为龙门架机构或解耦蜘蛛起重机，为了简单起见，滑轮，电缆和塔架被忽略。
- 最佳控制
本节介绍离散结构中的拉格朗日优化控制问题。 但首先，我们介绍最优控制和变分力学的基础知识，并建立两个概念，用于离散机械系统的最优控制。
A变分力学
在Lagrange-dAlembert原则形式中描述系统行为的系统的最优控制，以解决这些问题数字离散微积分
的变化应用两次，一次是对所考虑的机械系统的描述，以及推导出优化问题的必要最优条件。 在Lagrange-dAlembert原理的离散化过程中应用变分原理导致结构保留时间步长方程，它们作为优化问题的等式约束。
B.拉格朗日优化控制
在时间间隔[0，T]期间，由拉格朗日L描述的机械系统将在曲线q（t）isin;Q上从初始状态（q（0），q（0））=（q 0， ˙q0）isin;TQ到最终状态。 通过具有选定的控制参数u（t）的拉格朗日控制力fLC影响运动，使得给定的目标功能
是通过J：T Qtimes;U→R最小化成本函数和最终条件C：T Qtimes;U→R连续可微。 最终状态由r：TQtimes;TQ→Rnr给出最终时间约束r（q（t），（q（t）），qT，qT）= 0，其中（qT，˙qT）isin;TQ是 固定为所需的最终状态。系统的q（t）的运动是满足Lagrang-dAlembert原则，这要求
对于delta;q（0）=delta;q（T）= 0的所有变化delta;q，拉格朗日系统的最优控制问题的拟合如下。 最小化成本函数J
受到了
在本文中，优化从给定的开始到终点放置支付所需的努力。 固定边界条件的优化问题从此形成。固定边界条件：这是具有固定的初始和最终速度和无路径约束的配置的优化问题的特殊情况，
受到了
C.离散化
在离散化过程中，连续系统的状态空间TQ由离散路径qd替换为Qtimes;Q和路径q：[0,1]→Q：[0，h，2h，...，（N h = 1） ]→Q，Nisin;N同样连续力f：[0,1]→T * Q近似为离散力fd：[0，h，2h，...，（Nh = 1）]→T * Q 使用的点数qk = qd（kh）和fk = fd（kh）。 通过近似小时间间隔[kh，（k 1）h]，Ld：Qtimes;Q→R的动作积分来拉格朗日离散化。
而强制系统离散虚拟工作也起着重要的作用
f-k和f kisin;T* Q分别称为左右离散力。
现在，离散版本的Lagrange-dAlembert原理[10]需要用[delta;q0=delta;qN= 0]找到离散路径[qkNk = 0]
这相当于离散拉格朗日 - 阿莱伯特原理D2Ld（qk-1，qk） D1Ld（qk，qk 1） f k-1 f-k = 0，（11）其中k = ...，N-1，D1是相对于第一分量的导数，D2是相对于第二分量的导数，所得方程称为强制离散欧拉 - 拉格朗日方程。分散成本函数：成本函数近似 在短时间间隔[kh，（k 1）h]中给出
导致离散成本函数
在我们的问题中，我们对最小努力问题感兴趣，所以我们选择以下成本函数。
因此，成本函数仅取决于代表致动力的术语。
边界条件：在离散固定边界优化问题中，所有初始和最终条件配置和速度都需要以离散形式分配。 q（0）= q0，q（0）=˙q0和q（1）= q1，˙q（1）=˙q1as初始条件q（N-1）= qN -1， 1）=˙qN-1，q（N）= qN，˙q（N）=˙qN。 这两点导致在[]中使用标准勒让德变换讨论的两个离散边界条件
方程13应用于初始离散点，并且在最终点应用等式14，这些方程被应用为优化约束，这确保在优化轨迹总是根据给定问题在预定点开始和结束。
- 实施
在本文中，我们采用中点规则对于小间隔h的积分近似和微分近似。
位置矢量近似根据中点规则
以及在离散力量的情况下
即f-k = f k = h4（fkk 1）用作左右离散力。 离散拉格朗日相当于连续拉格朗日
和离散成本函数为
在我们的二维蜘蛛起重机问题中，如式（5）和（6）所示，驱动力f可以表示为
现在从等式（12）和（16）可以制定2D-蜘蛛起重机的离散成本函数，因为这个问题被证明是约束优化问题，对于初始点方程（13）将作为约束，最终目标点方程（14）将作为约束，并且在点之间需要满足方程（11）。
A广义算法
我们可以推广我们的实施步骤如下。
- 离散成本函数：通过采用中点规则连续成本函数可以离散化为
- 离散Lagrange-dAlembert原理：以离散Lagrange-dAlembert原理的形式包含系统动力学，并将其用作优化的约束。
现在在DiscreteLagrange-dAlembert原理上应用标准的Legendre变换获得边界条件。
在我们的时间步长偏差方案的起始点使用这个方程，而在最后一个离散点上使用这个方程
3）MATLAB中的实现：对于MATLABR优化，我们使用了Fmincon以及顺序二次编程算法（SQP）。 SQP是非线性约束优化的迭代方法。 SQP方法用于目标函数和约束两次连续可微分的问题。 SQP方法解决优化子问题的序列，每个优化子问题优化了约束的线性化的目标的二次模型。如果问题是无约束的，那么该方法可以减少到牛顿的方法来找到客观的渐变的消失点。如果问题只有等式约束，那么该方法等同于将牛顿方法应用于问题的一阶最优条件或Karush Kuhn Tucker条件。 SQP甲基 - ods已经在许多包中实现，包括NPSOL，NLPQL，OPSYC，OPTIMA，MATLAB和SQP。优化算法已经在[15]中广泛讨论。在我们的例子中，我们使用MATLAB软件包，对于这个问题，实现了Fmincon优化功能，它找到局部约束最优解，适用于单目标优化。在模拟开始时，对fmincon给出满足系统动力学的初步猜测。
求解器在初始猜测附近找到最小解。问题被定义为离散拉格朗日 - 阿耶伯原理方程（11），（13）和（14）最小化离散成本函数。
V.模拟研究
用系统参数环质量M 1.5Kg和3Kg作为有效载荷质量m，时间步长= 10，电缆长度L = 0.5; 起始点为（0.7,0.7）至（0.5,1），50秒内，初始theta;为0.1745 rad至0 rad，目标是在最小支点力量的初始点和最终点之间找到最佳轨迹。 优化结果在下图中以蓝色显示，并且为了比较目的，包括以红色显示的基于被动的优化结果，在基于被动的优化中进行最小的摆动以及最小的努力。
从图中可以看出，基于DMOC的方法给了我们更好的效果。 从图8和图9可以看出，在模拟中没有引起突发尖峰。 这对于实际执行蜘蛛起重机来说特别重要，可以驱动位于每个塔架的电缆长度电机。 这种线性平滑的上升力将导致每个马达的平滑扭矩轨迹。
DMOC在更大的时间步长中出现较少的误差，因此执行的路径以最小的误差达到更接近的目标。 在降低分辨率的情况下，DMOC具有计算优势。图7中用这种方法观察到的主要局限性是获得的最优解
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