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DEM中非球形颗粒的基于概率的接触算法
摘要
离散元素法（DEM）广泛用于颗粒物质的研究。大多数这些研究是由于接触算法的限制在球形颗粒的建模。重要的是DEM模拟非球形颗粒，如果想知道颗粒材料的更真实的行为。基于概率接触算法在本文中提出。非球形颗粒之间的接触被转移那些球形颗粒之间的概率。颗粒的综合机械行为具有大量非球形颗粒的材料可以有效地建模，因为接触检测球形颗粒的算法仍然存在。为了验证所提出的算法，Hopper实验为球形和多面体粒子在物理和数值上执行。实现更高的精度稳定颗粒堆的休止角和轮廓，采用数字图像处理方法。数值结果与实验观察结果一致，均为球形和多面体颗粒。基于概率的接触算法在描述多面体的行为中是有效的粒子。
- 绪论
自然界中存在的大部分颗粒，例如砾石，片剂和种子，是非球形的，具有非光滑的边和角。不同形状的颗粒具有不同的性质。 粒子形状对单个颗粒或整个颗粒系统的整体特性有重要的影响。
Cundall提出的一种不连续分析方法[1,2]广泛应用于粒子系统仿真。为了方便起见，该方法分为离散和不同的元素法根据元件的形状，由商业代表软件粒子流代码（PFC2D＆3D）和独特的元素代码（UDEC＆3DEC）。通常，离散元素法（DEM）[3]是应用于模型和分析组件的机械行为的颗粒材料，其中具有圆盘形状的颗粒是二维的（2D）或三维（3D）中的球体方便实施和节省时间的优点。影响粒子形状对粒子流动和聚集行为的影响几乎没有在这种方法中考虑。因此，几个非球形形状在许多研究中用DEM来开发颗粒的真实机械行为。椭圆形和椭圆形粒子在离散元素数值模拟中发展，包括粒子相交计算的算法[4-6]，应力应变行为[7,8]，织物[9]和粒子生成[10-12]。多球法，其中单个粒子由两个或两个组成更重叠的球体，也被开发用于非球面建模颗粒[13-17]。此外，其他形状，如球形柱[18]，超分子[19]和基于粒子的组合有限离散元方法[20]。独特元素法主要用于模拟机械过程的准静态或动态加载中的岩石的接合或离散块体条件，建模为多边形或多面体元素[21-24]。两个元素之间有六种类型的接触关系：顶点 - 顶点，顶点 - 边缘，顶点 - 面，边缘 - 边缘，边缘 - 面和面对面。搜索和更新联系人需要大量的计算时间和大的存储容量。共平面[25]或快共平面[26]算法用于接触检测和确定多边形粒子之间的相对位置和多面体粒子。独特元素法适用于模拟大规模问题少量的多边形或多面体块，但它是不可接受的在模拟由大量颗粒组成的系统中复杂的接触问题和巨大的计算成本。 Fraige et al.[27]开发了一种用于立方体颗粒的多接触模型。包装和比较了实验和模拟中的流动行为。这个方法仅适用于立方体颗粒，不能用于模拟其他形状的粒子。因此，更简单和更高需要计算效率程序进行模拟大量的非球形颗粒。
在本文中，提出了一种基于概率的非球形粒子的接触算法。 它在DEM代码中实现GRANULE并应用于2D非圆形或3D非球形颗粒的模型机械行为。这个的主要优点方法是接触检测和接触力计算规则保持类似于球形粒子码，表明a相当于球形粒子码的计算效率实现。 为了验证建议的方法，两组料斗使用球形和多面体颗粒进行实验。使用数字图像测量来自实验和数值模拟的颗粒桩的轮廓和休止角分析方法。 数值模拟的结果是好的与实验观察一致，证明基于概率的接触算法适用于数值DEM中非球形颗粒的建模。
2.基于概率的接触算法
在具有圆形或球形颗粒的DEM中，边界重叠是用于确定两个颗粒是否接触。为了相同的重叠值，两个球形粒子被两个替换非球形颗粒，其可以或可以不仍然接触彼此，导致概率问题。也就是说，一对具有任何接触形状的颗粒可以被认为是等同的一对球形颗粒通过引入概率接触。基于这个想法，基于概率的接触算法是发达。非球形颗粒系统的接触状态可以在使用DEM的计算过程中的任何时间步骤实现代码与球形颗粒。复杂的接触检测避免多面体粒子，计算效率高保持。研究的最终目的是获得拟合曲线和非球形颗粒的形状因子的公式通过计算概率。基于概率接触算法在DEM代码中实现，可以使用以模拟与任何分级混合的各种形状的颗粒。对于简单，非圆形颗粒在2D和非球形颗粒中3D分别被认为是正多边形和多面体。不规则多边形和多面体将用于未来的研究。
2.1 概率计算
在二维一般粒子流数值模拟中，两个圆形当重叠发生时，认为颗粒接触它们在粒子运动期间。 两者之间的接触概率多边形，每个内接圆，可以很容易地通过圆的位置和多边形的几何关系界。
颗粒1和2当它们的边界重叠时接触。
它们满足以下条件：
其中delta;是两个圆（2D）或球（3D）的重叠; D是两个颗粒的中心之间的距离; 和R1和R2是颗粒的半径。
根据胡克定律和牛顿第三定律，重叠delta;为分成对应于颗粒1和2的两部分。
首先采用2D情况，两个圆形颗粒各自记录一个正多边形。两个多边形之间的接触概率颗粒由圆形颗粒的重叠确定几何的多边形。在这项研究中，刻有正多边形被认为具有相同的边缘但是具有不同的半径。粒子具有内接的正五边形作为示例以示出具有相应接触概率的接触状态，如图1所示。假设圆形颗粒与之接触
delta;的重叠，两个额外的外部接触圆，每个与颗粒1和2同心，被引入作为描述的辅助多边形粒子的接触状态。这些的几何两个颗粒是相似的，因此选择颗粒1或2确定颗粒的接触概率应该得到同样的结果。这里，选择颗粒1用于导出接触
可能性。粒子1的同心圆的半径为：
r1 = R1minus; delta;1 （3）
多边形的接触概率通过表示由圆形颗粒1包围的初始部分的面积和边缘的多边形作为S0，以及由同心圆包围的阴影部分圆和边为S.根据几何分析，概率
的两个内接多边形不接触的比例等于区域S和S0。 因此，多边形的接触概率被定义为:
其中alpha;=pi;/ n，n是正多边形边缘的数量，beta;= arccos（Rcosalpha;/ r）。
在两者的过程中存在两个关键接触状态粒子彼此接近。 第一个对应于delta;= 0，r1 = R1，其中两个圆形颗粒最初接触，as如图1所示。 如图1（a）所示。 阴影部分S完全一致此时的初始部分S0和接触概率两个内接的正多边形为零。 另一个发生在什么时候r1 =R1cosalpha;，其中阴影部分消失，表示同心圆与多边形内部接触。 因此，多边形的接触概率等于1，即多边形可能总是在接触。 多边形保持与圆形颗粒的重叠接触，其在第二个之后增加临界状态。 多边形的接触概率从零开始变化到一个作为第一临界接触状态转向第二，与颗粒的重叠增加。
类似地，在3D中两个内接多面体的接触概率也可以根据几何分析获得。 为了简单起见，正多面体，包括四面体，六面体，八面体，十二面体和二十面体，如图2所示。
将半径为r1 = R1-delta;1的同心球切割成几个部分由内接的多面体的面。 还有两个多面体的临界接触状态。 第一次发生时两个球形颗粒接触。 在该状态下，delta;= 0，r1 = R1，和两个内接正多面体的接触概率为零。 第二个对应于的接触概率多面体转向一个作为球形颗粒的重叠增加。 此时，同心球内部接触与多面体。 多面体的接触概率不同在这两个关键接触状态之间从零到一。
多面体的接触概率根据两个定义卷。 第一个表示对应于之间的部分的V0球形颗粒的内部和外部内接多面体。 另一个表示V作为的一部分同心球由多面体的面上的平面切割。两个多面体不接触的概率等于V和V0的比率。 接触概率给出如下：
其中VS是球形颗粒的体积，VH是体积的内接正多面体。
有N个球面的同心球面由多面体切割的相同体积的VQ。 一个关键点是球形段的基部与其边缘相切多面体，如图1所示。 3（b）。 因此，计算体积V可以分为两种情况。 首先，基地的半径球形段RQ大于内切圆的RQ多面体rf，如图6所示。 图3（a）。 相比之下，在第二情况下，球形段RQ的底部的半径小于多面体面rf的内切圆的面积。 体积V可以给出如下：
其中VQ是球形段的体积，VOL是体积两个相邻球形段之间的重叠部分，N是多面体的数量，M是多面体边缘的数量，RQ是球形段的底部的半径，并且rf是多面体的内切圆的半径。
根据直接获得球形段的体积到以下等式：
其中h是球形段的高度。
表格1粒径，数量和总体积
两个相邻球面之间的重叠体积段不能直接计算。 因此，积分法是介绍了卷。 笛卡尔坐标系建立，以球体的中心为原点。 x-z平面平行于多面体S1，z轴平行两个相邻球形段相交的直线如图1所示。 如图4（a）所示。 因此，与面S1相邻的面S2，平行于z轴。 其平面方程为:
其中HS是从球体中心到多面体的距离面Si（i = 1,2，...，n），HL是距离中心的距离多面体面Si到边缘，beta;为两者之间的夹角相邻的多面体。
假设平面y = c切割同心球并获得a球形段，如图1所示，4（b）基地的半径球形段
阴影部分的面积由球形的底部包围段和面S2 [如图1所示]，4（b）]可以给出如下：
其中alpha;= x / RQ。
两个相邻球面之间的重叠体积通过对阴影部分的面积进行积分来获得段如下：
体积V，表明两者内切正则多面体在当前时间不接触，可以计算根据式 （8）。 然后通过获得接触概率P.等式 （6）。 图。 图5示出了接触概率与的关系重叠的五个规则多面体粒子。 联系人的价值当所有的重叠增加时，概率从零增加到一5例。 比较五者之间的接触概率多面体粒子具有相同的相对重叠，delta;1/ R1，a更大值由粒子获得，在球的近似中具有较小的误差。
应该注意的是，基于概率的联系算法是统计意义上的近似方法。 它在模拟中有效粒状系统具有大量的粒子，而它可能对于非常少的颗粒聚集体不够精确。
2.2.DEM代码扩展
基于概率的接触算法的优点是它可以嵌入任何DEM代码与各种联系模型非球形颗粒的模拟。 联系人型号不是焦点在本研究中，并选择DEM代码GRANULE实现算法。 在这段代码中，法向力由赫兹理论和切向力由Mindlin和确定Deresiewicz对干颗粒无附着力，细节请参考参考文献[28]和[29]。 验证的联系人模型是由Thornton和他的合作者进行[30-32]，并且被发现它具有足够的精度来模拟机械行为的由球形颗粒组成的颗粒集合体。
在GRANULE代码的计算过程中，在子程序中CYCLE，计算力的关系的子程序调用粒子之间的位移以确定它们在当前时间步骤中是否接触。 如果检测到的对颗粒接触，计算接触力的子程序颗粒之间将需要获得正切和切向接触力并更新接触半径。 否则，如果检测到的颗粒对不接触，另一对颗粒将接触搜索并判断它们是否接触。 这个计算应用于系统中的所有粒子。 该程序然后进行到下一时间步骤。
在本研究中，一个称为NONSPHERE的子程序用于计算多边形（2D）和多面（3D）粒子的接触概率发达。 NONSPHERE与FORTRAN内建函数RANDOM_NUMBER一起应用于粒子接触状态判断和相应的接触力确定。内置功能，RANDOM_NUMBER，用于生成对的随机数接触颗粒。在模拟过程中，当两个原始球形颗粒接触，接触概率的相应的非圆形颗粒由子程序NONSPHERE，并产生一个随机数内置函数，RANDOM_NUMBER。接触概率为表示为PROB_NON，随机数表示为RAND_NUM。如果PROB_NON大于RAND_NUM，则两个多面体颗粒接触。否则，如果PROB_NON较小比RAND_NUM，接触不存在于粒子之间。后确定该对多面体粒子的接触状态，赫兹理论和Mindlin和Deresiewicz理论被用于计算正常接触力和切向接触力，分别。该方法在每个时间步长应用于所有颗粒。图6示出了该方法的详细流程图。
3.料斗实验
进行相应的物理实验以验证提出的接触概率算法的可行性。 料斗测试分别使用球形和四面体颗粒。颗粒材料是聚甲醛（POM），图7显示了颗粒几何。 填充在料斗中的颗粒与两种尺寸的混合半径：4.5和4.0mm。 混合比为1:1。 粒径，总计颗粒数目和颗粒总体积列于表1中。
表2实验中使用的材料参数和模拟
实验设备由料斗，矩形箱，钢框架，滑轮和驱动部件，如图8所示料斗和矩形盒是由有机玻璃制成的几何形状。 驱动部件包括低速同步电动机和双向开关。 电机，带发动机转速为2.5 r / min，以4.2 mm / s的速度提升料斗。
首先将颗粒从顶部倒入料斗中。 接下来，颗粒的表面用尺子轻轻地压平。 颗粒系统很快在重力荷载下达到稳定状态。 基线是在料斗侧拉伸以确保相同的初始孔隙率每个试验中颗粒系统的堆积密度。 总填充料斗体积为1.272times;10 -3 m 3。图10示出比较填充在料斗中的球形和四面体颗粒。球形和四面体颗粒的表面是与料斗上的基线一致。 初始孔隙率这两个粒子系统分别为0.484和0.499。
填充颗粒后，按下开关，电机就位打开。 料斗以均匀的速度缓慢地提升。 粒子从料斗的口流出并形成稳定的积聚。相同的实验对球形和重复5次四面体颗粒。 相机放在前面矩形盒在同一高度的颗粒堆上记录整个放电过程。 颗粒堆在其中的形状形成过程可以容易地从视频获得。
4.数值模拟
球形和四面体颗粒的料斗实验模拟使用扩展DEM代码GRANULE与提出的接触概率算法。 颗粒的大小和数量料斗的几何形状与实验一致选择。 颗粒的机械性能参数和墙壁，由制造商提供，在列出表2.颗粒和壁之间的摩擦系数为使用与文献中相同的实验方法测量[33]。 摩
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