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模型修正和实验测试高度灵活压电能量采集器
关键词：能量收集，灵活的设备，压电梁，自重，预应力，初始曲率
摘要：本文解决了压电能量采集器现有分析模型的局限性。 所提出的模型的目标是通过实验测试的验证预测高柔性压电器件（FPEDs）的行为，并包括高阶的衬底和压电材料的非线性，几何非线性，以及额外的自重和预应力的影响。
由于材料组成和尺寸，FPED中振动器动力学上的自重影响变得重要。开发的模型有利于以指定的角度在水平面上安装FPED性能的模拟。在一项研究中，长度为120mm的FPED，谐振频率改变超过30％建议安装方向考虑自重增加阻尼，并显着降低FPED性能 - 在这种情况下谐振频率减少50％。
1.介绍
能量采集是一个具有全球吸引力的课题，并且在研究和实践方面受到越来越多的关注应用可能性。实际上，该条件指的是将浪费的环境能量转换成有用能量，通常指电气方面。这里的重点是浪费的动能，其中转换方法是用如压电和电磁性捕获能量。研究人员的共识是压电能量转换提供优越的转换效率[1]，在此工作中采用这种机制。由这种装置产生的能量主要利用在为微型无线传感器供电，例如轮胎压力监测传感器或温度/湿度传感器。然而，正在进行的研究是使用这种技术在更大规模上提取功率，例如从海洋或风场等环境中提取功率。为此，Mutsuda等人[2]和Tanaka等人[3]已经开发了采用由硅橡胶（Si）和聚偏二氟乙烯（PVDF）薄膜组成的悬臂形式的高柔性压电装置（FPED）。总体愿景是通过组合几个装置（例如波动FPED和风力涡轮机）来创建“离岸可再生能源发电场”。这一建议是全球能源需求不断上升，同时减少对化石燃料的依赖和减缓全球变暖的一个解决方案。FPED的性质使得它们具有对于上述目标应用环境理想的固有的低基频。
早期的悬臂压电采集器分析建模主要假设线性行为。Sodano等人[4]使用Rayleigh-Ritz程序来估计安装的悬臂压电发电机的功率输出。Ertuk和Inman [5]在此之后开发了能量采集器的分布参数机电模型。Pateletal[6]通过准确地合并由于改变压电层的覆盖而产生的非均匀梁的影响而扩展了模型。模型的使用表明可以通过优化压电长度来改进性能，实验数据提供模型有效性。最近已经出现对于使用非线性模型预测理论性能的重要性[7-10]。非线性压电材料[11]，除了在经历大变形的结构中产生的几何非线性，还需要使用非线性模型。Stanton的早期工作[7]开发了考虑压电材料非线性的线性模型更高阶项的形式不成组方程。这个延伸在[9]中扩展，其中包括尖端效应和更高阶项以增加模型坚固性。对于公共悬臂采集器设计，认识到并记录了作为共振和激励频率之间的失配的结果显着下降。因此，重要的是能够预测非线性行为如何影响设备的频率响应，确保采集器设计使之性能最大化。
Mutsuda等人[2]和Tanaka等人[3]考虑的设备由Si和PVDF层制成，并且高度灵活。因此，它们可能经历几何非线性并表现出高水平的材料非线性。由Patel等人在[10]进行的模型非常适合分析这种情况，因为它包含衬底，压电和几何非线性的影响。作为基础，将根据Stanton等人[9]进行改变以在材料本构方程中包括更高阶的奇数功率非线性;增加模型有效范围被认为是必不可少的。与以前的工作不同，几个附加的关键效果在考虑FPED时也很重要。首先，自重影响振动动力学，可以在长细长束的状态中观察到水平或垂直安装。由于具有相反的重力，向下定向的垂直悬臂被加强效应存在于相对于重力的作用方向朝上的梁[12]。自重在以前在与能量采集器相关的工作中被忽视，例如Hobeck，Inman [13]和Xie等人[14]，他们都考虑垂直导向设备。相比之下，Friswell等人[15]执行垂直定向设备和集成自重效应的工作，但模型排除材料非线性。本文开发的模型将结合在从-90°到 90°范围内安装的FPED上自重的影响与水平。 预应力是影响FPED的动力学行为的第二个关键问题。 Ohetal[16]出版了在PVDF薄膜中产生残余应力，另外在粘合剂固化过程中产生化学收缩[17]。建模和预测残余应力效应是准确模拟FPED的动力学和电气性能的关键。
本文详细介绍了压电能量收集器现有非线性模型的理论模型修正（i）高阶奇数功率材料非线性，（ii）样本自重和（iii）样本中的固有预应力的项。通过在内部制造的设备的实验测试验证这些扩展和模型验证。论文如下。首先，先前的非线性建模的摘要详细描述了修改以适应高阶奇数功率材料非线性。其次，提供了来自实验测试的数据以证明包括自重和预应力的必要性以及它们对能量采集的影响。在这里也将提出效应的截面理论模型推导。在本文的第二部分，注意力转向验证。首先，将获得未知的材料性质，包括材料非线性的系数静态和动态测试。随后，单独验证与自重和预应力有关的模型扩展。此外，分析模型用于突出这些影响在预测FPED行为的重要性。
图1。本文使用的尺寸和方向符号。
- 高度灵活的压电器件的建模
在本节中，给出了分析模型的开发和扩展。该模型的目的是预测FPED的电性能和动态行为。先前由Pateletal [10]和Stanton等人[9]进行的非线性工作形成了模型核心的基础。
具有贯穿使用的尺寸和方向概念的单压电晶片能采集器示意图如图1所示。牛顿惯性坐标系由（x; y; z）表示，局部坐标系由（xi;; theta;;zeta;）表示; x 1表示压电层从夹紧端的距离，x 2表示压电层的长度。 梁如图1所示变形，使得横向和纵向时变变形分别由v（s; t）和u（s; t）表示。 为了方便，在所有后续方程和文本中，将省略v（s; t）和u（s; t）中的s和t。
2.1回顾以前的各种非线性模型
Patel等人提出了压电振动能量收集器的非线性建模的前期工作[10]。包括两者：
在每个材料本构方程中以单数高阶项的形式的材料非线性
通过提出束不可伸展性的几何非线性。
注意，在基底层中包括材料非线性，这里使用硅橡胶（Si）用于支撑层是重要的。
从[10]，衬底材料的本构方程是：
， （1）
其中是轴向应力，是轴向应变，上标s是指衬底层。衬底的材料非线性系数被指定为，是衬底材料杨氏模量。
同样从[10]，压电材料的本构方程是：
， （2）
， （3）
其中上标p表示压电层，表示压电材料的杨氏模量，表示电场强度。是压电材料常数，是材料介电常数。 常数和表示非线性特性，并且对于每个“批次”的压电材料是特异的和独特的。
然而，如Stanton等人在[9]中详细描述的，具有奇数功率的应变的高阶项在双原子组合物中的非线性效应的组成方程中需要保留。 更重要的是，更高阶项对于更好地捕获在更宽跨度的激励条件下的动态行为是必要的。 由于这些原因，上述本构关系，（1）-（3），修改为以下五次函数：
（4）
（5）
和
（6）
最初获得图1所示的三个梁段中的每一个的动能和势能表达式
使用方程（4）-（6）。
动能：
（7）
势能：
（8）
其中是FPED的质量单位长度，常数至在附录A中定义。注意使用不可伸长性条件（公式（9））将纵向坡度与横向坡度相关联。
（9）
利用转移矩阵方法的子模型允许通过基于经典束理论提供分段束的自然频率和线性振动模式形状来设计优化压电材料覆盖。该信息与Galerkin的方法和扩展的Hamilton原理一起使用从能量积分以获得非线性方程的运动。 为了避免程序重复性，在此省略详细的导出步骤，并且读者参考Patel[18]用于一般的逐步程序; 尽管对于具有较低阶非线性的情况。 本文提供了使用修改的本构方程（4）-（6）的最终表达式：
（10）
和 （11）
其中和分别表示RTH模式下的机械阻尼比和固有频率。 是基数加速度，是时间相关的广义坐标，是跨电阻器产生的电压。到是与时间无关的常数，可以在附录B中找到。除了时间无关的常数的变化，方程（10）和[18]中发现的之间的差异是（i）包括项和（ii）项替换项。 方程（10）和（11）是使用普通微分方程（ODE）求解器在Matlab中通过Simulinks接口[19]数值求解的单模近似，已实现稳态条件下的数据记录。在实验工作和模型验证期间，只有围绕基频的激发使人感兴趣。为此，在分析模型使用期间，将仅针对r = 1求解等式（10）和（11）。本节开发了一个基于Stanton等人[9] 和Patel等人[10]的模型。以下部分将显示此基础的扩展模型与对高度灵活的装置特别重要的现象有关。
2.2包含自重
在FPED的分析建模中从初步实验工作发现包括自重是必要的。图2提供了在三个方向上测试装置时的频率响应。在水平方向上，装置被安装和测试，其厚度方向平行于水平方向，从而最小化重力效应，参见图3。样品包括3mm厚的Si衬底和用作活性压电材料的0.08mm厚的PVDF薄膜。通过应用硅基粘合剂来实现粘合，以便保证每层之间的柔性和足够的内聚力。装置具有分别为12mm的宽度和100 plusmn; 1mm的悬垂长度。
数据物理GW-V4电磁振动器利用斯坦福研究系统SR785动态信号分析器提供基本激励，通过标准放大器将谐波信号输出到振动器。分析仪的一个输入通道用于监测来自PCB Piezotronic加速度计（型号：352C23）的基本加速度，反馈控制确保在扫频期间恒定加速度为plusmn;0.1dB。第二通道测量从PolyTec OFV-055激光振动计获得的点速度或由FPED产生的电压。在整篇文章中，基本加速度一致地应用于样品厚度方向的根部;在本电流测试中应用大小为的加速度。由于FPED的低谐振频率，每个激励频率的稳定时间超过5s用于避免记录数据的瞬态阶段。在所有情况下，在开路条件下测量电压，即PVDF层的电极通过无源示波器探针直接连接到分析仪。
图2。 实验数据表明梁方向对FPED的频率响应的影响。具有平行于地板的厚度方向的水平配置用作其中通过自重效应最小化的控制。
图3。 水平方向，厚度平行于地板。
图4。 示意图的定向采集器与尺寸和变形符号。
结果如图2所示，水平安装的器件的谐振频率为5.02Hz，指向下和向上的方向时分别变为5.24Hz和4.83Hz。两个极端方向之间的百分比差异为8.5％。更重要的是，由于高质量因素，在设计期间谐振频率的误差预测可能导致器件工作在比自身重量效应低50％的峰值性能 。从侧面来看，振动能量采集中面临的关键挑战之一是性能对激发频率的严重依赖性，然而这不是此处的焦点。关于这个问题的更多信息，读者参考Tang等人[20]。其中诸如（i）预加载和（ii）通过磁体引入非线性的技术的细节和比较，表现出尝试减少这种依赖性。
在下文中，分析建模包括自重。首先，用于获得分段梁的固有频率和模态形状的转移矩阵（TM）需要修改以适应重力加载。包括强制的情况的TM的形式在文献中容易查到，例如参见[21]，这里不再赘述。本质上，TM从以前使用的4times;4矩阵变为5times;5矩阵，其中第5列表示分布力;因此，梁模式形状受到该恒定分布负载的影响。
其次，更重要的是，重力加载在运动方程中产生了额外的能量项，见方程（10）。 在重力加载的实验和建模期间，梁将主要在图1中围绕z轴的角度取向。表示任意取向的采集器（相对于水平面的角度theta;，逆时针方向为正）的变形的示意图如图4所示。为了确定自重对梁的影响，有必要考虑作用在元件上的重力，如图4所示。长度为d s的梁段的重力势能由下式给出：
， （12）
其中g是重力常数，大小取。 在下文中，考虑刚体引力势能的项被忽略。因此，由于整个梁的弹性变形引起的重力势能由下式给出：
（13）
其中L是总梁长度。由于假定梁不可伸展，为了利用等式（9），等式（13）中的第二项必须由如下所示的部分积分：
（14）
其中括号内容相对于弧长s的导数。注意到在s=0时u=0，在s=L时，等式（14）可以表示为：
（15）
最后，使用方程（15）上的不可伸长性关系并代入方程（13），得到由于弹性变形的总重力势能的以下表达式：
（16）
还必须引入附加条件，其重要性将在稍后的结果部分中强调，参见第3.3.4节。由自重产生的初始变形在梁中产生纵向张力，并且使用上述程序容易获得用于此的表达式。恒定梁定向角theta;由悬臂的初始斜率v代替;由初始变形产生的样品中的张力因此产生：
（17）
在应用扩展的汉密尔顿原理和利用变量的演算之前，将等式（16）和（17）添加到势能表达式（8）。这导致以下附加项：
（18）
其中和有以下公式:
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