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通过硬件实验对龙门起重机进行部分饱和非线性控制
摘要：龙门起重机通常是具有高耦合系统状态的欠驱动非线性动力系统，我们在本文中提出了用于龙门起重机系统的部分饱和非线性控制器，将起重机模型转换为目标（即期望的闭环）系统，通过在控制器中引入平滑饱和函数来保证“软”车启动。首先，我们要建立一个具有期望的信号收敛和稳定性能的客观系统，然后，基于目标动力学结构，通过求解一个偏微分方程，直接推导出部分饱和控制律，而不需要对原始起重机模型执行部分反馈线性化操作，同时，基于李雅普诺夫的方法确保了目标系统的收敛性和稳定性。为了验证所提出的方法的实际控制性能，我们实施数值模拟和硬件实验，来说明新方法相对于现有方法在性能上确实有所提高，同时也减少了调控力度。
关键词：非线性控制 龙门起重机 目标系统 部分饱和
- 引言
非线性欠驱动机电系统在实际应用中发挥着越来越重要的作用，它包括起重机、非完整移动机器人、欠驱动直升机和船舶等，对于这些系统来说，通常具有高度非线性和强态耦合。此外，这种系统的基本性质是，较多的自由度（DOF）需要由少量的控制输入来支配，这就为其控制器开发带来了进一步的挑战，因此，这个热门的研究主题引起了很多关注。门式起重机作为强大的工业机械，属于具有复杂非线性动力学的欠驱动系统这一类型。起重机的控制问题很重要但充满了挑战，为此已经进行了大量的研究来改善控制系统性能，线性控制方法已经开发出来，例如最优控制，轨迹规划，输入整形，延迟反馈控制，模糊PID控制等，以实现令人满意的性能。然而，如果欠驱动负载呈现大振幅摆动运动，这些基于线性化方法的性能可能会降低。因此，采用非线性的起重机控制技术，主要有能量方法、非线性运动规划、饱和控制、滑动模式、基于局部反馈线性化的方法等。除了前面提到的控制方法，很多研究人员还应用智能战略，包括遗传算法（GA），神经网络（NN）和模糊逻辑控制，来优化和提高起重机控制系统的性能。
对于现有的（起重机）调节/稳定方法，调节/稳定误差通常被定义为当前状态变量（推车位移）与它们的期望值（期望的推车位置）之间的误差[8–11,20,21,26,35,36]。因此，一个潜在的问题是初始计算控制力极大地依赖于运输距离（即，初始定位误差）。对于在特定传送距离处适当调整的一组控制增益，当期望位置在不同的运输过程中变得更远时，控制力（特别是初始力）将变得更大，而且有可能导致电机的损坏，此外，相应的大车加速度将激发大幅度的负载摆动角，这在实际中是意想不到的。解决这个问题的一种可能的方法是当期望的位置改变时重调控制增益，但是这样做很麻烦，因为调整例如起重机的非线性控制系统通常很复杂，并且目前没有可用的一般准则。
本文提出了一种用于欠驱动龙门起重机的部分饱和非线性控制方案，其实现了优异的控制性能并保证“软”车启动，并且适当选择的一组控制增益对于不同距离的运输过程效果很好。目前，大多数起重机控制方法的推导，可以在其中通过制造李雅普诺夫函数，然后取其时间导数（以设计控制律）来建立。与这些方法不同的是，我们通过借鉴创新建设性的能量整形技术，交替地构造具有一些特定结构的期望目标（即闭环）系统，然后获得控制规则，将原始起重机转化为目标动力学系统，我们还将平滑饱和函数引入到控制律中成功地减少控制力，尤其是初始控制力，稳定性和信号收敛性能得到了基于李雅普诺夫技术的大力支持。该方法既在Matlab / Simulink的环境下在数值上实现并且在龙门起重机试验台上成功地实施，这证实了所提出的方案可以表现出优于现有方案的性能，即更好的摆动抑制，降低调控力度以及增加了耐用性。此外，验证结果还说明，对于所提出的方法，当运输距离改变（变长）时，不需要重新调节控制增益，这为实际实施带来了很多方便。
本文的内容组织如下：问题的制定在第二部分详细介绍；在第三部分，我们构造一个客观的起重机系统，然后推导出控制律；在第四部分，我们证明闭环（客观）系统的平衡渐近稳定性；在第五部分展示了数值模拟和硬件实验结果；最后，在第六部分，提出了一些结论和讨论。
2.问题制定
让我们研究一个具有以下动力学特性的龙门起重机：
其中表示系统的状态向量， 和分别表示小车位移和负载摆动角，和 分别表示惯性矩阵，向心-科里奥利矩阵，重力矢量和控制输入矢量。它们被明确定义为
其中M表示推车质量，m表示负载质量，l是电缆长度，phi;由定义，F(t)表示施加在小车上的合力，由以下两部分组成：，
这里表示主动力，表示梁上的摩擦力。在本文中，以下的摩擦力模型类似于【38】中提到的摩擦力模型，是用来描述梁上的摩擦力的：
其中表示摩擦系数，由（2）和（3）将（1）改写成：
控制目标是开发一种能够调节所有状态变量到平衡的控制律，也就是说，小车能够驶到目标位置，同时抑制和消除不相关的负载摆动，即满足以下方程：
其中表示小车理想的位置，表示小车的定位误差，接下来很容易由公式（7）推导出以下公式：
再将公式（8）与公式（1）和（3）联立可以得到；
在下一部分中，我们将开发一个新的控制律能够满足公式（7）。
3.控制器的开发
在本节中，我们将建立一个具有理想（稳定性）性能的起重机系统。之后，将开发适当的控制规则将起重机动力学转换成期望的目标系统。
3.1客观系统的建立
为了实现（7）的控制目标，我们便要寻求一个适当的控制信号u(t)，使系统的开环动力学可以转换为具有独特的接近稳定平衡的闭环形式，指向所需的状态。为此，我们要通过遵守以下两个基本原则来建立一个客观的定律：（1）客观系统的平衡点应该是渐进稳定的；（2）设计的目标系统的结构应该与原始起重机动力学的结构类似，以便系统操作容易执行。根据上述两点，基于（9）的欧拉-拉格朗日结构，我们可以构造出以下期望的目标系统：
其中，表示期望惯性矩阵属于正定常数阵；
表示阻尼矩阵属于正半定阵；
表示期望的目标势能。
此外，还满足以下条件：相对于是正定的，并且在平衡点具有最小值。然后，可以得到以下的结论：
结论1：目标系统在平衡点满足李雅普诺夫稳定。
证明：考虑以下正定标量函数：
以公式（10）为对象取其时间导数得到以下结果：
因此，在平衡点上满足李雅普诺夫稳定。
就结论1而言，如果适当选择阻尼矩阵，我们可以使平衡点趋于稳定，根据这一理论，我们将在下一小节中选择的适当值。
3.2目标系统的匹配
通过将公式（10）的两边与相乘并做一些数学变形，我们可以推导出以下公式：
进一步推导出：
再将公式（9）带入公式（13）可以得到以下结果：
公式（14）又可以被改写为：
由于是可逆列向量，控制输入F(t)在ϕ的范围内可以仅影响系统的动态，即驱动部分，。 换句话说，对于可转换目标系统，应当满足以下约束：
其中，表示ϕ的左零化子
可以从公式（15）计算出F(t)：
其中，表示ϕ左边的广义逆矩阵，因此，如果在目标系统（10）中能够被计算出来，可以由公式（17）直接得到控制力F(t)。
备注1：显然，公式（17）可以由公式（15）自然的推导出来，实际上，由于是由公式（16）确定的，满足公式（17）的F(t)可以由公式（15）唯一表示出来，为了说明这一点，我们将进行一些数学推导。为了便于计算，我们定义：值得注意的是， 是通过公式（16）确定的，因此要保证公式（16）是成立的，根据公式（16）和，我们有以下推导：
再将公式（17）的F(t)带入公式（15）的左边可以得到：
这正好是公式（15）中的方程，因此不难看出，在（16）成立的条件下，我们可以将（15）与（17）相互转化。
为了推导出控制力F(t)，我们需要从（16）确定，然而，普通方程和偏微分方程都涉及到了（16），因此，为了使问题方便求解，我们将其分解为以下两个方程：
为了使这个方程可解，我们首先需要规定这三个项之一，为了方便起见，我们规定期望的惯性矩阵由以下公式表示：
其中是正数。然后，我们可以分别从（19）中解出，从（20）中解出。基于（2）中向心科里奥利矩阵的结构，可以得出：
因此（19）可以化简为
然后，可以导出的一个可行解：
其中是正阻尼增益。为了保证是正半定，我们取
。通过进一步将（2）的和（21）的带入（22），可以推导出：
其中，表示的行列式，很容易判断出这说明和是正半定数，因此，（17）括号中的第三项计算为
随后，我们继续求解。将（2）、（3）和（21）的等式带入（20）可以得到以下表达式：
便得到了以下偏微分方程：
在解出（25）之后，我们可以推导出以下结果：
其中，表示任意标量函数，为了保证是正定的，我们选择
其中，是未知的正定增益，因此，可以从（26）（27）中得到：
这表明：
因此，（17）的括号中的第四项可以被导出为
在把（2），（3），（8），（18），（24），（30），（29），（31）带入（17）并做一些数学变形，最终获得控制律：
控制律（32）可以驱动系统到平衡点，这便是下一节中所述的定理支持的。
备注2：在F(t)中引入双曲线函数tanh( )能效地减少初始控制，因此保证了小车的平滑启动。对于零初始条件，即，
初始控制力可以从（32）计算为
其中最后一项是对于没有饱和的情况的初始控制力。 因此，如果期望的小车位置非常远，即，所提出的控制器可以有效地降低初始控制力并实现小车的软启动，从而有效降低小车的加速度，避免负载大幅度摆动。 此外，所提出的控制器还减少了整个运输过程期间的控制消耗，这将通过模拟第5节中提供的实验结果来证明。
备注3： 值得指出的是，对于部分饱和的控制器，可以方便地用其他平滑饱和函数（例如arctan（·）等）替换双曲正切函数tanh（·），使其能够保证稳定性和收敛性质。
备注4：与线性控制系统不同，没有一般的指导方针来选择控制增益和非线性控制系统，如起重机。 经过大量的仿真和实验测试，在这一点上总结了一些规则，来选择合适的所提出的控制器的参数。 更准确地说，和的效应分别类似于传统的比例积分微分（PID）控制中的比例和微分增益；因此，可以从PID控制调谐中借鉴选择和。而参数提供了额外的灵活性来调整控制系统的响应，并且当选择和时，我们可以将其设置为特定的正常数值。 一旦确定和，我们可以进一步改变的值以产生更好的系统响应。
4.稳定性和性能分析
在本节中我们将说明闭环（客观系统）信号的收敛以及使用基于李雅普诺夫技术的稳定性分析。 以下定理适用于将起重机动力转换成的所需要的控制律即（32），而其中的是由（21）（23）（28）确定的。
定理1：客观系统（10）在平衡点是趋于稳定的，即，
证明：为了证明这个定理，我们将（28）中的带入（11）以导出李雅普诺夫函数：
沿着（10）的轨迹取（33）的时间导数直接指示（12）的结果。 然后，通过（23），（12）可以改写为：
因此，闭环系统（10）的平衡点是满足李雅普诺夫稳定的，可以从（7），（32）和（34）得出以下结论：
为了完成证明，让定义为并且将表示为中的最大不变集。然后，从（34）可以看出在中，有
其中C1是待确定的常数。在求解C1之前，我们将（6）代入（5）并重新排列便得到以下公式：
通过将（32）代入（37）并采用（36）的结论，得出以下结果：
从（38）可以看出，以的速率增加/减少。 如果C1是非零常数，则它表示其中，这与（35）的事实矛盾，因此我们可以得出结论：
然后，从（38）得出，其中C2是常数。 用C1做一些类似的分析，可以得到：
其中C3是常数，将（39）带入（36）得到，它与（6），（39）和（40）一同可以得到：
然后，如果C3是非零常数，则其中，这显然与（35）的结论相矛盾。 因此，错误，然后由（36）和（40），我们有
通过采用的实际假设，得出结论
在（40），（41）和（42）的基础上，我们得出结论：最大的不变集合只包含平衡点。 然后，通过调用LaSalle的不变性定理[39]，闭环系统状态变量渐近地收敛到平衡点。
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