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基于测斜数据的曲率和弯矩分析
P.S.K.Ooi and T.L.Ramsey
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摘要：在深基坑开挖过程中，支护挡墙的弯矩一般是通过测斜数据估算曲率后计算得到的。其基本思想是利用曲线拟合测斜数据，再对拟合曲线进行二次求导得到曲率。虽然有许多方法可以拟合测斜曲线估算曲率，但尚缺乏一致标准。本文评估了12种使用了电子表格或可编程计算器估算曲率的方法。这些方法被应用于60组从墙和挖孔桩测量的测斜数据，其中包括6个同时使用测斜仪和应变仪检测的横向负载测试钻轴，并直接比较了测斜仪和应变仪测量的曲率。对比表明，拟合连续五组测斜仪数据的分段三次多项式与应变仪的数据很好地吻合，并提出将此作为以测斜仪数据估算弯矩的合理方法。 DOI: 10.1061/（ASCE）1532-3641（2003）3:1（64） CE数据库关键词：曲率；弯矩；深基坑；挖掘 |
简介
我们经常需要在建造过程中估算挖掘支护挡墙的弯矩以及在横向负载测试中估算基坑的弯矩。但目前还没有可以直接测量弯矩的仪器，作为代替的方法，弯矩是通过曲率和材料属性被间接地推导出来，如下式：
（1）
式中，M、psi;、E和I分别为构件的弯矩、曲率、弹性模量和转动惯量。对于钢构件，I为转动惯量的总和；对于混凝土构件，I的计算方法取决于截面是否开裂。对于未开裂的截面，I为转动惯量的总和；对于开裂的截面，I为有效转动惯量，的计算方法如下式：
（2）
式中， 为换算的开裂截面的转动惯量；M为作用弯矩；为开裂弯矩，相当于张应力的最大值，其值可由混凝土的破裂模数通过下式计算：
（3）
式中，为横截面的中心轴线到弯曲外缘的距离。
曲率
曲率可以通过放置在构件顶部的传感器的测量值推导出来，如应变仪的应变或者测斜仪的位移。在使用应变仪的时候，通常将其在每个高程成对安装在相对的两面。根据应变仪之间的距离除以拉伸压力的值不同，从而提供了一种测量曲率的方法。如果在每个标高只有一个应变仪被安装或使用，则曲率为应变仪到中性轴的距离除以拉伸应变。
本文的重点在于研究通过测斜仪测得的横向位移轮廓估算曲率的方法。在由位移推导曲率的时候，横梁的曲率psi;等于：
(4)
式中，w为位移，z为曲线沿墙方向的横坐标。由于通常十分接近0，因此也可用以下简化公式代替公式4：
(5)
倾斜仪的横向位移
测协管可以通过伺服加速度计探针或电平计测量数据，这两者都能对倾斜角度进行测量，一般是将倾斜的角度参数转换为位移参数。通过坡纵剖面的一阶导数或位移的二阶导数求得曲率。
图1.两点的圆弧分段拟合
在这里定义各类测斜仪偏差。图1中的O点代表没有横向位移的倾角仪的最高点。倾角仪的底部通常延伸到有微小位移或没有位移的固定层。如果倾角仪的底部是可自由移动的，则会影响到被光学测量作为基准的顶部。在A点增加的相对于O点的偏差可以写作下式：
(6a)
式中，L为测量点之间的距离，是倾角仪在A点测出的与垂直面之间的角度。同样地，在B点和C点增加的误差可写作下式：
(6b)
(6c)
从初始值开始增加的偏差（Delta;）的变化可写作下式：
(7a)
(7b)
(7c)
式中的下标i代表初始值。随深度变化的累计偏差图表示了外壳的位移轮廓。在点A，B，C的累计偏差为：
(8a)
(8b)
(8c)
本文评估了一些估算曲率的常用方法，这些方法很好地使用了电子表格或可编程计算器。这些方法被应用到60套测斜仪测量的不同读数中进行比较，并对其使用进行了建议。
通过测斜数据估算曲率的方法
尽管有很多可适用的方法，但尚缺乏通过测斜数据推导曲率的统一标准。这些方法通常以一系列曲线拟合位移数据。从广义上讲，更为常见简单且实用的估算曲率的方法包括：
1.二次分段曲线拟合；
2.三次分段曲线拟合；
3.圆弧分段拟合；
4.全局高阶多项式曲线拟合。
二次分段曲线拟合
使用曲率中心差分近似为二阶微分方程，图1中B点的曲率写作下式：
（9a）
式（9a）可适用于间隔均匀分布的数据。如果数据间隔不均匀分布，也可在使用电子传感器的情况下，用以下公式近似求得B点曲率：
（9b）
式中，和分别为点A到点B，和点B到点C之间的距离。
计算在某点的第二差值达拟合位移的两个连续的时间间隔（即，三个点）的二次曲线。在每一点重复此练习完全忽视了如何顺利地将连续二次方程式结合在一起。其结果是，这种方法会产生不真实的曲率的本地尖峰，并因此产生不真实的曲率的弯矩图。为了使绘图曲线平滑，常见的做法是取多点的平均曲率，即，在B点的曲率即为点A，B和C等点的平均曲率。
计算在某点的二阶差分相当于要拟合两个连续的位移区间（即三个点）的二次曲线。在每一点重复此步骤则会完全忽略如何平滑地将连续二次曲线拟合在一起。使用这种方法，其结果会产生不真实的局部峰值，从而生成不准确的弯矩图。为了使曲线平滑，常见的做法是取多点的数据计算出平均曲率。例如，B点的曲率就通过A,B,C三点的曲率平均得出。
（10a）
（10b）
在这种情况下，每个窗口需要采集5个点，而不是3个点的连续累积偏差。同样地，5个点的平均曲率可以下式估算：
（11）
用于计算平均的曲率值越多，弯矩图就越平滑。因此，可根据窗口中数据点的数目不同而推导出该公式的更多变式。因为是通过独立二次方程式拟合活动窗口的点，此类方法被称为二次曲线分段拟合。为方便起见，由在各窗口的数据点的数目所区分这些公式。例如，公式（9）（10）和（11）分别使用了3、5、7个点。
三次分段曲线拟合
二次多项式不能很好的模拟出曲线的拐点，而三次多项式则对此更为适用。三次多项式,（其中A，B，C和D是常数）,可以精确拟合4个连续的数据点。如果一个三次多项式拟合超过4个点，所得到的曲线可能不能完全拟合所有的数据点。在每个活动窗口的三次多项式的常数可以很容易地通过电子表格宏命令，计算机代数系统或简单的计算机算法估算得出。在深度z的曲率可通过下式计算：
（12）
此外，根据活动窗口中数据点的数量不同存在许多可能的变化，并且忽略了相邻三次多项式是否平滑地从一个点过渡到了另一个。
三次样条曲线满足了“从一点平滑过渡到另一个点”这一条件。它们是拟合有两个相邻点的活动窗口的三次分段函数。三次样条曲线的特点是，所得到的曲线能够精确拟合所有给定的数据，并且能连续平滑地显示。这是因为，三次多项式的一阶导数和二阶导数在整个范围内是连续的。在这项研究中，运用了经改进的三次样条曲线，其只有一阶导数是连续的。其实际优点是过冲更少，且内插的曲线仅受到本地点的变化的影响。
图2.三点的圆弧分段拟合
圆弧分段拟合
下面给出此方法的两种变型。在第一种变型中，假定每两个相邻的读数之间的间隔是一段圆弧（图1）。如果该弯曲段由弧（AB）表示，并且和分别表示点A和点B的倾角，通过几何学可知，在AB中点的曲率等于圆半径R的倒数，如下式所示：
（13）
其中，与是在该点的弧度。一段圆弧的长度与其弦长L的关系如下：
（14）
结合公式（13）和（14）得到以下，和L的曲率表达式：
（15）
在该方法的第二种变型中，一段圆弧可以拟合3个连续的数据点（图2）。其对应的曲率表达式如下式：
（16）
式中a、b、c为由数据点形成的三角形的三边的长度；是三角形的面积。假设这三个连续数据的坐标为（，），（，）和（，），则：
（17a）
（17b）
（17c）
（17d）
全局高阶多项式曲线拟合
适当的高阶多项式函数可以用最小二乘法全局拟合横向位移轮廓。这可以通过通用计算机代数系统、电子表格或统计分析软件来实现。这些多项式函数通过二阶微分计算出曲率（式5）。索尔斯（1983）通过九次多项式拟合了巴西里约热内卢的隔水墙的偏离轮廓以反算出其弯矩。波赫等（1997）通过七次多项式拟合了建造在新加坡的隔水墙的偏离轮廓。普赖斯等（1987）通过六次多项式拟合了法国布列塔尼的侧向受荷桩的变形量以估算弯矩。由此产生的问题是应该使用几次多项式才可行。如果总体一共包含N个数据读数，要能够拟合所有的数据则需要（N-1）次多项式。然而，最理想的情况应该是得到一个能够“充分”描述数据的最低阶多项式。假设检验的严格方法（米勒等，2000）可用于确定合适的多项式次幂，但是不能在未检查配合等级的情况下“盲目”应用。沃尔斯特龙等（1972）曾评论过，高阶多项式曲线拟合技术具有减少数据误差的优点，但使用时应注意以下几个重要因素：（1）很难区分由于读数误差造成的不稳定数据和读数中真实突变；（2）很难找到一个多项式适合所有数据点，（3）使用单精度代替双精度数时，由于高阶项的常数可以非常小，因此数学精确度可能会降低。
方法比较
以下是分析60组测斜仪数据的12种方法：
1.二次分段曲线拟合三点窗口[式9（a）]；
2.二次分段曲线拟合五点窗口[式10]；
3.二次分段曲线拟合七点窗口[式11]；
4.三次分段曲线拟合四点窗口[式12]；
5.三次分段曲线拟合五点窗口[式12]；
6.三次分段曲线拟合六点窗口[式12]；
7.三次分段曲线拟合七点窗口[式12]；
8.三次分段曲线拟合八点窗口[式12]；
9.修正的三次样条曲线；
10.两点窗口的圆弧分段拟合[式15]；
11.三点窗口的圆弧分段拟合[式16]；
12.全局六次多项式拟合。
数据来自于安装在由支护桩和绝缘层组成的基坑支护墙的测斜仪，并在横向负载测试钻孔桩。表1提供了这些墙壁和钻孔轴的列表。
从数学角度看，共有两大类的方法。方法1、4、9、10和11精确适合所有的测斜数据点，而其余方法更倾向于拟合曲线不一定要经过所有的数据点。假设每一个数据点是“真实的”，“正确的”和“不被质疑的”，那么方法1，4，9，10，和11是更适合的。然而，在正常情况下，基于测斜数据估算的弯矩有以下几个误差来源：
1.模型误差：即在预测方法中可能存在的总体偏差；
2.系统误差：即由测斜仪测量偏移和重复性所产生的误差。造成系统误差的可能原因有：（1）天气潮湿或极端温度等导致设备运作不当；（2）使用不一致的读数单位，电缆和试样（即在后来的读数中使用的开关设备和电缆等会导致位移值的发生错误）；（3）腐蚀的接插件；（4）轮轴轴承的机械故障会导致探针不集中（即探头的轴和测斜管不重合等）；（5）电缆延伸；（6）测斜管和已安装的介质的弹性不同；（7）传感器和读数器的校准漂移等。
3.固有空间变异性。由于不均匀的厚度或缺陷，结构元件的性能可能会随深度的变化而变化。这些性能影响抗弯刚度（EI）和测量的曲率。然而，由测量产生的被测性能的不确定性小于由于平均效应所产生的在某点测量的不确定性；
4.由于测量频率不足所产生的统计不确定性。因为这只是“与读数的平方根成正比所累积的，它通常是可以被成正比累积的读数系统误差所掩盖的”（米克尔森和威尔逊，1983）。
为了校正这些误差，运用各种技术重复测量相同的结构，（1）为了比较各种估算曲率的方法；（2）为了评估数据的可靠性。在建筑行业中，这种冗余是不常实现的。即使冗余测量可行，仍需要使用经验和判断去决定哪些方法更为可靠。因此，应该优先考虑更近似的规程，如方法2，3，5，6，7，8和12。
以下是基于对测斜数据的分析所做出的观察结果：
1.在图3中，曲率值采用了几个精选的方法来绘制测斜仪数据集1。观察发现，曲率值呈现显著变化。在表2中，极值分散更为明显，并将每种方法获得的最大曲率值与使用方法5获得的最大曲率值进行了总结。方法5即是标准，选择原因后述；
2.在表3中，将12组数据的曲率比最大
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