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6-1阀控马达
由伺服阀控制的旋转马达组成的液压动力元件可能是应用最广泛的组合。深入分析这种组合，将获得为设计和其他功率元件组合提供基本结果的动态性能。因为许多方程是非线性的，特别是阀的压力-流量曲线，必须进行线性分析。机器计算可以用来求解非线性方程组，但因为系数必须假定数值，结果只适用于给定的系统。即使很容易得到非线性问题，但由于设计过程、性能指标和测试数据的解释都是基于线性理论的，所以都不太完美。因此，线性化分析是必要的，但必须注意所有操作点的研究。如果考虑到一个参数由于不同的操作点而可以承担的值的范围，那么真正的分析就不会受到过度的限制。
考虑图6-1中示意图所示的阀-马达组合，让我们首先确定伺服阀方程。假设伺服阀孔匹配且对称，管路中的压力将在Ps/2上下等量上升，以便两个阀孔之间的压降相同。因此，阀门系数因为正向流和反向流都是相同的。因此，假设恒定的供给压力，线性化的伺服阀流量方程为
Q1=Kqxv-2KcP1（6-1）
Q2=Kqxv 2KcP2（6-2）
注：Q1, Q2 = 向前和向后的流量，in.3/sec
P1, P2 = 向前和向后的压力, psi
xv=阀的中性点位移, in.
Kq= 阀门流量增益系数, in.3/sec/in.
Kc=阀门流量压力系数, in.3/sec/psi
第5章讨论了各种阀类型的阀门系数。图6-1中每个端口的流量压力系数是整个阀门的两倍，因为Kc是相对于PL定义的，PL的变化是整个端口的两倍。把伺服阀流量方程相加则得到
QL=Kqxv-2KcPL（6-3）
注：QL=(Q1 Q2)/2=负载流量，in.3/sec
PL=P1-P2=负载压差psi
这是正常形式的线性化流量方程。负载流量表示线路中流量的平均值，除非外部泄漏为零，否则不能解释为等于每条线路中的流量。如第4-3节所述，负载流体的概念是有用的，因为它减少了所要求流量变量的数值。
现在让我们转向马达腔室，假设每个腔室中的压力都是相同的，并且不饱和或空穴化，腔室中的流体速度很小，因此小的损耗是可以忽略的，没有线现象，温度和密度是恒定的。通过连续方程（3-53）在各马达腔流体变量中的应用（可以得到）
注：Cim= 发动机内部或之间泄漏系数(即从一条线路泄漏到另一条), in.3/sec/psi
Cem=外部泄漏系数(即从每一个电机线路到外部的泄漏排放), in.3/sec/psi
beta;e=系统的有效体积模量（包括油,夹带空气和腔室的机械顺应性），psi
V1=前腔室容积（包括伺服阀，连接线路、通过活塞或叶片的马达通道和体积）in.3
V2=回油室容积（包括伺服阀，连接线路、通过活塞或叶片的马达通道和体积），in
t=时间，sec
每个马达腔室的容积不是恒定的，而是随着轴的旋转以不连续的锯齿形变化。如图6-2所示。这是所有类型马达的一个特点，可以从检查腔室中推断出来。例如，考虑活塞式马达的高压室，因为活塞完成了它的动力行程，所以在端口瞬间腔室容积发生了变化。累积了一个大的前方容积，它被一个小前方容积的活塞代替。因此有一个瞬间
体积变化等于一个活塞的面积乘以其行程。每次活塞从高压腔过渡到低压腔时，都会出现这些不连续现象，因此频率等于活塞数乘以马达转速。在另一个马达腔室中同时发生相同但相反的体积变化。两个腔室的体积可以表示为
注：V0=每个马达室（包括伺服阀、连接线路和马达通道）的平均容纳体积，in.3
fv(theta;m)= 每个腔室容积的锯齿变化，in.3
theta;m=马达轴的角位置，rad
Dm=马达的体积位移，in./rad
显然，腔室的容积必须取决于轴的旋转。由于腔室之间没有直接的连接，只有当其中一个腔室的体积随着轴的位置而逐渐增大，而另一个腔室的体积则随着轴的位置而减小。这在物理上是可能的，因为活塞缸充满了液体，然后被困住的液体被输送到另一个腔室，在那里液体被排空，一系列这样的活塞形成了一种允许连续流动的激烈运动。因此，容积随轴位置增加（或减少）的速率为马达位移。因此由（6-7）和（6-8）的时间导数
分别表示进出马达的理论流量。方程式6-9忽略了图6-2中的不连续性，并假设马达位移恒定。虽然后者对许多马达来说是不正确的，但位移的变化通常很小，可以忽略不计。
联系（6-7）和（6-8），我们得到
注：Vt=两腔室总容积，in.3
Vt是压力P1和P2下的油的总体积，因此，通常称为总压缩体积，也使用“总包含体积”这个名称，强调它是限制在马达内的体积，而不是用于产生轴旋转的体积fv(theta;m)。Vt是以下体积的总和：（a）伺服阀的两条马达线路（以阀芯为中心），（b）伺服阀和马达之间的连接管路，以及（c）两个马达室和相关通道。
用更有用的形式来表示连续性方程是可取的，也是可能的。把（6-7）到（6-9）代入（6-5）和（6-6），然后相加，我们得到
现在让我们来看看（6-11）右边的最后一项，对于线性化分析，此项必须为零。可以通过假设| fv(theta;m)| ≪ V0或通过微分（5-18）和（5-19）来忽略它。假设适用，以表明dP1/dt十dP2/dt=0。因此，（6-11）现在可以被拉普拉斯变换为
注：Ctm = Cim Cem/2=马达总泄漏系数，in.3/sec/psi
s=拉普拉斯算子，sec-1
方程6-12是所有液压执行机构连续性方程的基本形式。事实上，通常直接写出这个方程，以及（6-3），而不详细考虑每个腔室的流量。与压力导数成比例的流动称为可压缩流动。因此，负载流量QL是被泄漏的流量、位移执行器的流量和由于压缩性而存储的流量消耗。
最后的基本关系是马达的转矩平衡方程，经拉普拉斯变换，为
注：Tv=马达产生的扭矩，in.*lb
Jt=马达和负载的总惯性（指马达轴），in.*lb*sec2
Bm=粘性阻尼系数（包括马达内部负载阻尼），in.*lb*sec
G=扭转弹簧负载梯度，in.*lb/rad
Tl=马达上的负载转矩，in.-lb
静态和库仑摩擦载荷也在一定程度上存在，但在线性化分析中必须忽略。
方程式6-3、6-12和6-13定义了阀-马达组合。现在让我们把它们结合起来，得到物理上可解释的结果和一个全面的传递函数。合并和简化收益率。
（6-14）
注：Kce=Kc Ctm= Kc Cim Cem/2=总流量压力系数，in.3/sec/psi
对于许多旋转马达，有一个内摩擦力矩与管道压力和符号之和成比例，取决于速度（见第4-3节）。虽然压力和几乎是恒定的，即P1 P2=P3，且通过伺服阀控制这个摩擦力矩是恒定的，则必须从线性分析中忽略，因为它对速度的非线性依赖性，定性地说，这种摩擦力矩会在小的输入下增加马达的阻尼，则这一阶段需要进行非线性分析[1]。
方程式6-14给出了马达对阀门位置和负载扭矩输入的响应。系统特性方程为三次方程。应该强调的是，Jt、Bm和G是表示总加速度、速度的集中系数。因为通常的荷载通常比较简单，所以（6-14）的一些特殊情况值得注意。Dm2/Kce是主要由阀门引起的阻尼系数，通常比Bm大得多。因此，与（6-14）中的单位相比，BmKce/Dm2可以忽略不计。此外，让弹簧荷载暂时不存在，即G=0，这样（6-14）就化简为
注：omega;h=液压无阻尼固有频率，rad/sec
delta;h=液压阻尼比，无量纲
方程式6-15给出了以惯性负载为主的马达的动态响应。分子中的第一项可以被识别为空载速度，第二项给出由负载引起的速度差。
两个输入产生的两个传递函数是：
与阀门位置有关：
与负载扭矩有关
方程式6-18是阀控马达组合传递函数的常用形式。因为它通常用于分析和设计液压伺服系统，对其参数的详细了解是必不可少的。传递函数包含一个积分，简单地说，对于缓慢变化的输入，马达速度与阀门位置成比例。我们还注意到增益常数Kq/Dm是阀低增益除以马达位移。增益常数的变化完全是由于增益的变化引起的，最大流量增益出现在零位，并在加载时减小，在最大负载条件下，使用通常的设计规则PL=2/3Ps，阀增益将降低到radic;（Ps-PL）/radic;（Ps）=radic;（1/3）或空载值的57.7%。如果阀欠压，并且从零位开始旋转，则额外增益降低50%。因为增益的下降不会对普通伺服系统的稳定性产生不利影响，因此通常为了设计目的使用（6-18）中的零流量增益。然而，值得强调的是可能会遇到50%或更多的流量增益降低。如果伺服回路是或倾向于表现为条件稳定系统，那么这样的减少可能会导致稳定性问题或慢响应问题。
参数omega;h是由于惯性与困油弹簧相互作用而产生的固有频率，它对阀-马达组合的整体响应速度有影响，因此非常重要。很明显，每个马达通道中的油截留量会导致扭转弹簧的速度为beta;eDm2/V0in.*lb/rad。因为这两个弹簧加在一起，总的液压弹簧率是
正是这个液压弹簧加上总惯性，引起了omega;h，我们将在后面的章节中看到，omega;h决定了液压伺服系统和系统响应速度的上限。如果需要快速响应，那么omega;h必须很大。
通常情况下，omega;h的计算值比测量值要高大约40%。为了解释这个目前还没有完全解决的差异，有些人很容
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