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运用螺旋理论的方法分析3-RPS并联机器人
摘要 在本项研究中，对拥有相同支链RPS类型的并联机器人的正向姿态分析采用递归的高斯消去法，接着，执行机构的速度与加速度分析采用螺旋理论。在这项研究中，列举了大量的例子来证明我们所选择的运动学分析方法的有效性。
关键词 并联机器人 解析解 凯恩方程法 螺旋理论 正向运动学
1介绍
根据国际机器与机构学传动学会提出的定义，并联机器人是一种末端执行器也就是移动平台被至少两条运动的支链所控制的机械装置。和串联机器人不同的是，不是所有的并联机器人的运动副都可以主动致动。因此，被动运动副的存在就成了这些机构的一个典型的特点。从另一方面来说，正是由于紧凑的拓扑机构，并联机器人的精度和承载力比串联机器人要好，但是随之带来的是有限的运动空间，较差的灵敏性还有一个反复的问题也就是所谓的局部奇异性。这些缺点和分配给运动平台的名义自由度数，机构的维度，支链的个数都有着直接的联系。
如图1所示，一个3-RPS并联机器人是一种动平台和固定平台通过三条支链连接的机械结构。每一条支链都是由通过移动副连接的上肢和下肢组成。动平台通过三个独立的球铰与上肢相连，同时，固定平台通过三个旋转关节与下肢相连。移动关节可以被独立激活来为动平台提供三个自由度。
3-RPS并联机器人首次被Hunt提出并且已经成为了一个被详细研究的领域，对这个领域的研究做出了大量的贡献，包含了大范围的研究点，比如运动学和动力学分析，综合分析和奇异性分析，超冗余度机构的扩展等等。特别是，螺旋理论已经被证明在决定3-RPS并联机器人的动力学特性上是一个卓有成效的数学方法，包括对机构在速度分析水平上的瞬时运动分析。
这篇论文解决了3-RPS并联机器人的运动学分析包括加速度分析，正向姿态分析解析形式的解决方案通过高斯消元法得以实现。速度和加速度的分析采用螺旋理论的方法。为此，速度和减少的活动平台（就固定平台而言）的加速度状态通过机构的每一条支链被写成螺旋形式。最终，克莱因形式的表达式的综合应用允许得到一个简单而紧凑的表达式来计算速度和加速度的分析。在接下来的段落提供了很多例子。
图1 空间3-RPS并联机器人
2姿态分析
通常，3-RPS并联机构的正运动姿态分析包括寻找动平台相对于动平台的姿态，位置和方向。如图2，每个支链分别为q1，q2，q3，，球铰位置分别为P1，P2,P3，很显然姿态分析的问题等同于计算连在动平台上三个球铰的中心的坐标.
如图2所示，当并联机器人的每一条支链q1，q2，q3，都被锁住了之后，这个机构就变成了3-RS结构。为了简化分析，附在固定平台的XYZ参考坐标系用在X-Z平面上的表示三个旋转关节的名义位置的点Bi=（bxi,0,bzi） iisin;{1,2,3}。
图2 3-RS结构的通用几何概形
2.1闭合方程
由图2可得，三个旋转关节的轴线都在同一平面上，并且被接下来的这些运动副施加了三个约束。
(1)
指的是沿旋转关节的螺旋轴的单位向量此外，很显然链
的长度也被限制了
(2)
最后，三个兼容性约束都可以得到了
(3)
(4)
(5)
表达式1-5构成了系统的对给出的九个未知量{X1，Y1，Z1，X2，Y2，Z2，X3，Y3，Z3}的九个方程。值得一提的是，由Tsai[13]在这里推导的形式可得，不考虑表达式（1）.因此在他的成果报告中就对固定平台上的旋转关节相对于XYZ参考系的位置有特殊的要求。此外，很明显表达式（1）不仅仅只对三角形的3-RPS并联机器人（图1所示的结构）使适用也对所谓的并行3-RPS并联机器人适用。
2.2 解的解析形式
表达式(1)-(5)分步地系统的导入对含有三个未知量的三个方程的非线性系统。然后，用高斯消元法来推导含有一个未知数的16阶多项式。
表达式(1)产生三个线性方程组
(6)
然后，将表达式(6)导入表达式(2)得到
(7)
Pi 是Zi中的二次多项式
最后将表达式(7)导入表达式(3)-(5)中得到
(8)
(9)
(10)
其中c，d，e是根据并联机器人的广义坐标值和参数所计算出来的系数
表达式（8-10）表示了一个拥有三个未知量{Z1,Z2,Z3}的三个方程组组成的非线性系统。这些方程式和那些Tsai推导的很像，然而他们的演绎由于所包含的表达式变得更简单。
请注意方程式中只有两个未知量，表达式8,9,10，因此他们的解决方法似乎是一个简单的任务。事实上，Z2和Z3可以像得到Z1的函数那样从方程式（9
）和（10）中得到。然后把这些变量代入到方程式（8）中，得到一个关于Z1的更高阶非线性方程。然而，处理这样一个表达式是一个艰难而又不切实际的任务。因此，我们迫切的需要一种更加合适的方法来解决这些联立方程组，一些可供选择的方法如下：
1 一种数值方法比如牛顿-拉普森法。这是一种非常有效的方法，但是这种方法只能得到一组或者不完全的解，它不能保证所有的解都能够被计算出来。
2 利用计算机代数来计算比如Mapel软件。一个绝对可行的方法并且能够保证所有的解都能被计算出来。
3高斯消元法的应用，一个能计算出所有可能解的简洁的方法。
在这篇论文中，选择了最后一种方法，计算的结果将在接下来为大家展示出来。
出于消除Z3的目的，表达式(8)和(9)改写以下的形式
(11)
(12)
P1,P2,P3是Z2的二次多项式，P4,P5,P6是Z1的二次多项式。
在数学变换的处理后，Z23式（11）和（12）中被消去。之后便得到两个含有两个未知数，变量Z3，和标量l 的线性方程组。把矩阵形式按照接下来的表达式一样写出来：
(13)
其中
(14)
很明显，有且只有当M1=0时，表达式（13）才成立。
因此得到
(15)
其中P7，P8，P9，P10，P11是Z1的四次多项式，至此，高斯消元法的第一阶段在这个消元式被计算出来之后就算完成了。
为了解出表达式（14），有必要把表达式（5）好好研究一下。显然，这个表达式可以被改写成以下形式：
(16)
其中P12，P13，P14是Z1的二次多项式。我们可以做出一个很吸引人的假设，由表达式（14）和（15）组成的含有两个未知数Z1，Z2的两个方程组的非线性系统可以很简单的被解出来，按照从表达式（15）中得到Z1一样得到最初的Z2，然后将其置换到表达式（14）中。然而当意识到这个显而易见的推导在计算机代数的帮助下会派生出一个非常长的表达式，那么它的处理将是一个非常碰运气的事情。因此，高斯消元法的应用是一个可行的方法，然而这样一个过程需要一些获取相应的系数的经验。
作为最初的一步，为了避免增根的出现，这里强烈建议去演绎最小的线性方程。例如，通过P12倍增表达式（14）和P7Z22倍增表达式（15）来消除Z24，得到的表达式通过相减得到
(17)
因此表达式（15），（16）代表了一个包含死歌我指数的两个方程组的线性系统，所以就有必要去寻找另外两个线性方程组。其中一个方程式可以通过表达式（15）和Z2相乘来得到
(18)
第四个方程式的寻找是很难懂得，所以详细的细节要求读者参照Tsai[13]。在最后，将表达式（14）与（P12Z2 P13）相乘，将表达式（15）与（P7Z23 P8Z22）相乘然后将得到的表达式相减最后得到
(19)
接下来将表达式（15）-（18）以矩阵形式表示出来：
(20)
其中
同样的，表达式（19）有且只有当detM2=0时才有效。这个消元式在未知的Z1里产生了一个第十六阶多项式。这里值得一提的是，表达式（14），（15）有着和那些Innocenti和Parenti-Castelli为了解决Stewart平台机构的正运动分析得到的表达式一样的结构。然而这篇论文和和他们完成的6times;6矩阵行列式的计算不同，在本项工作中运用高斯消元法完成的是4times;4矩阵行列式的计算。
一旦Z1被计算出来了，Z2，Z3分别通过表达式（15），（12）被计算出来。然后，坐标系的其他部分Yi，Xi表达式（6）和（7）被计算出来。这里要着重提到的是，为了确定Pi点坐标的可行值，对应的Z2，Z3,Yi的判别式符号必须在内。当然，如果由表达式（8-10）组成的非线性系统表达式是通过计算机代数软件Mapel所计算出来的，我们也可以忽略掉最后一条建议。
最后，一旦P1，P2，P3所有点的坐标都被计算出来了的话，动平台的几何中心在参考系XYZ中表示出来，矢量rc/o结果为：
(21)
3 速度分析
在本节内容中，3-RPS并联机器人的速度分析通过和Lie algebra同形的螺旋理论来推导。本节内容应用了著名的螺旋理论。然而，对于那些对这个数学方法不太了解的读者，在论文的末尾提供了合适的参考文献。
由于研究的机构是一个空间传动机构，因此，Lie algebra要求dime（3）=6。为了被螺旋理论限制的每条子链的子空间的维度，3-RPS并联机器人可以模仿3-3*RPS并联机器人，此处可参照Huang[11]，在他的文章中，旋转副是虚构的运动副，它所对应的关节旋转率也为零。
omega;=（omega;x，omega;y，omega;z）为动平台相对于固定平台的角速度。VO=(VOX,VOY,VOZ)为点O的平移速度，如图3，三个维度的向量都在参考系XYZ中表示出来。然后，动平台相对于固定平台的运动状态VO=(omega;,VO)，也因为螺旋扭曲而被知晓，通过每一条支链可以写成以下表达式
(22)
图3 一条支链和它的无限小螺旋
其中是移动副的联合速度，是同一条支链上的虚构旋转副的联合速度。另外，为了简
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