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翻译 时间 2016.1.24-2.6 字数 5000
篇名：赫姆霍兹共鸣器的开口位置以及形状对其性能的影响
作者：R. R. Gadyl shin
摘要：通过符合渐近展开原则的方式，来调节赫姆霍兹共鸣器的开口位置以及开口形状的选择范围，从而影响它的性能。结果表明，这些参数会影响赫姆霍兹共鸣器格林函数的解析延极点的虚部大小。因而从另一方面来说，这些参数的得出对于解决相应的散射及辐射问题的思考方法也有着极大的借鉴意义。
介绍：
瑞利 [1] 已经指出了这样一个事实：一个带有小口的完美刚性球体的声场散射在波数k的特定值的情况下，与一个没有开口的球体是不同的。之后的结果也表明[2-6]，共鸣器器壁的厚度，它的对称性以及它的边界条件类型都不会影响到我们所需要观测到的现象的实质。通过下列事实可以解释共振现象，赫姆霍兹共鸣器格林函数承认有这样的解析延，关于波数k至复平面C以及在半平面内，当klt;0时，存在这样的极点，趋于使开口收缩于密闭共鸣器格林函数实数极点处。事实上，阻碍解决问题的关键是我们并不能确保解决求解波数k所对应的边界值问题。然而，这些极点趋于实轴的邻域正是共振现象的原因。可以见得，共鸣器开口的位置以及其形状会强烈反映在共振系数的表达式中。而这些参数都将会在文中加以分析论述。
- 求边界值公式
令，，形成一个有界单连通区域，其中是含线性尺寸的的开解，并且把无穷可微边界代入，，当中。 当外部场通过该边界值问题的解决方案所描述的绝对刚性面发生散射时，就会产生声场。
其中，k为实数，n为面的外法线，
，
如果公式（1）中假设的函数f是任意的，那么式子（1）-式子（2）就可以被认为是面的散射问题。已知该边界值问题表达式（1）-式（2）是的唯一解，这里的面，被看作是双面。
把作为在面中诺伊曼问题拉普拉斯算子的简单特征值，这里是与其相对应的特征函数，可以将其标准化为，而且在面外通过零点扩展。实数是内诺伊曼问题格林函数的一阶极点，那么求解此内诺伊曼问题所对应的解析延具有以下形式：
，
其中，是附近的一个函数解。（需要确定的是，我们所作假设应当首先保证）
结果表明，对于附近的中的赫姆霍兹共鸣器格林函数的解析延，具有以下形式：
，
其中，在，的时候，在，，中有一个准特征函数，而是一个常规函数；是圆心位于原点的球体半径，R是大于0的任意值。为了求解边界值问题表达式（1）-式（2）中的实数k，我们列出以下有效表达式：
其中，在中有，而，则与k一一对应。
此时，。
式（3）等号右侧的第一项，是共振参数，其本质特征是Im 。如果其相对于参数，极点的渐近性是已知的，那么对于放射问题（）在中的解，其首项的渐近性应当满足公式（3）和公式（4）。但是，由于，在外直接使用公式（3）和公式（4）是极为困难的。而对于散射问题来说，在共鸣器内直接使用公式（3）和公式（4）是无效的，因为在这种情况下，。因此，有必要知道准特征函数的渐近性。从另一方面来说，所切开口的位置及其几何形状对，Im 和首项的渐近性有很大的影响，因此，它存在于内，外，以及开口的邻域中边界值表达式渐近解的首项中。
- 准特征函数极点的渐近性
假如是该可收缩开口的中心点，那么，Im ，和的渐近性对的值有很大的影响。在一般情况下，。但是，因为特征值，通过选取（开口的位置）就能实现。面在开口处的曲率不影响我们所关注的参数在渐近表达式中的首项的大小。因此，为了简化讨论，我们假设在原来的面的附近，它对于半平面是一致的，是与平面相关联的量。判断开口位置的符号可以通过不等式或等式来表示。
对于，Im ，渐近表达式的首项能够用函数和来表示，其中一些标准函数的依赖于的几何特性系数。令（r,,x）为极坐标，当时，就有：
这里， 是定向图解，是相应区域的横截面积[8]。我们可以表示为：
对于，有下列表达式：
用分部积分法加以整合，可得下列表达式：
对于实数k与R，我们可以很容易证明，
，
二次型为正定时，
，
我们记。面和面称为双面表面。令为向无穷远处递减的调和函数，并且，将时的与时的相结合使之保持一致。当时，它们具有渐近性。
其中是满足边界条件，当时，的度数q的齐次调和多项式。
常数称为圆盘的容量，并且当时，常数是与偏振相关偶极子式子的系数[9，10]。这里需要注意的是，如果是单位圆盘，那么[10]。
对于差分多项式我们引入符号，
，
其中是定常数。我们设定，当时，，当时，。
在下列表达式中，一般情况下（）具有渐近性。
其中，时，
扩展式（7）-（9）对于所有的R和m以及任何边界的邻域都满足公式，，，且是均匀的。这里以及下文中，准特征函数与通过式子的限制在时相关。
这些渐近表达式（如之后的扩展式）也可通过符合渐近扩展式的方法[11，12]，并且类似于椭圆形具有奇异跳动的边界条件的有界区域的边界值问题的特征值的渐近表达的求解方法[13，14]。对有这些情况的，公式将在下面给出。
我们现在考虑这种情况，当，
如果条件（14）满足的话，绕轴旋转坐标系就可以得到，
为了简化式子，在之后所有的情况中，我们都假设已经旋转好了坐标轴。结果表明，在条件（14）满足的情况下， ，Im ，的渐近表达式也都强烈地依赖于的几何参数。否则，常数都等于0。等式以及不等式都可以采取分部积分法加以整合得出。
，
此时。如果是一个圆心在原点的圆盘，那么按照对称性原则，它必然要满足这一条件，而此时在函数的渐近表达式中，我们可以得出此多项式：
，
但是，在一般情况下，
例如，假设是在平面上的单位圆盘，其圆心位于坐标（1，0，0）处，那样它就可以很简洁的表达为。
假如满足条件（14）和条件（15），我们也能得出下列渐近表达式：
当时，
最终，如果保持条件（14）不变，并且是一个圆心在原点的圆盘，那么就可以得出：
当时，还有：
- 渐近表达式的形成
在不等式（5）始终满足的条件下，极点的渐近表达式（6）在这种情况下就可以给出[6]。由于推出该渐近表达式的方法是一样的，为了简洁，在之前并没有考虑，在相对于式子（14）和式子（15）之间关系的情况下，我们建立了极点以及准特征函数式（16）-式（23）的渐近表达式。
我们通过和来表示系列式（17）和系列式（18），分别地，在公式中都不用来替代k。然后，准特征函数的渐近表达式（17）和式（18），都有这种形式。根据定义，该系列式的系数在的邻域内部是可以被解析出来的，满足在上的内诺伊曼边界条件，而且在内，以及外部，是亥姆霍兹方程的解，另外地，对于实数k，该系列式的系数也满足放射条件式（2）。
对于任意的内部以及外部诺伊曼问题的格林函数，该诺伊曼问题的解在我们原先阐述过的邻域内，
其中，函数在原先邻域内无限可微，且满足边界条件，在时，=0，而且在的邻域内可以用k解得。显然， 函数依赖公式)的系数。注意由于式子（14）和式子（15），在的情况下：
对于系列式（19）的系数，其边界值问题按照所需要求可以求解 [12，14]。在式子（1）中，我们根据式子（16）和式子（19）可以替换k和，另外，而且在式子（1）中，我们可以设定这个变量：。然后，我们单独写出对于相同值的方程式，而且，也要限制，使。之后，我们就可以得出后面的递归边界值问题的系统：
这里就是关于的系列式子的系数。
在这种形式的式子的总和为的情况下，我们按照要求来定义所需要使用的参数。我们在总体上扩展了系列式的系数，使r，而且，设定了这个变量：。在所得的双重系列式中，我们取这种表现形式为：当时，得出函数其条件的总和，我们称之为。
假如它们的和是个多项式，我们就可以说，存在两个渐近幂级数，它们是共轭的。假设函数和系列式有渐近展开式，其中，。
而且，当i时，其对应的微分多项式为，当q时，其对应的系数，是任意的。然后从之前论述的式子（32），式子（33），式子（35）就可以看出，它遵循此公式：
对于任意自然数N1，
，
系列式()是相互共轭的，并且它们是边界值问题表达式（34），在时的正式渐近解，其中，函数是被替代，而且，对于它们，我们有以下表达式：
其中，j2，，，而且，当qj时，系列式并不依赖于，，，。
因此，符合系列式（17）和式（19）的问题已经减少到我们能够找出相应的边界值问题，式子（34）的解，为，在限制时，对于，分别的，系列式的渐近表达式就可以确定了。分部可以通过常数，，，和可微多项式的选择而获取。在时，有：
，
而且对于，边界值问题，按照式子（34）的表达形式，有
，
按照式子（23），选取函数，我们会发现函数是边界值问题，式子(34)的一个解，而且，对于，我们会具有以下形式：
在式子（39）的右侧，我们令，，，等同于0，为了，我们获得表达式（20），而且定义下式：
从式子（40）和式子（20）以及的定义，遵循式子（22）。在式子（39）右侧，我们令剩余项的系数相等，想要可微多项式，而且，当，时有下列渐近等式：
，
进一步的证明可以通过感应得到的。在步骤N中，当的时候，我们确定边界值问题表达式（34）的解决方案具有渐进性。
此外，在相同的系列式，式子（38）的函数中，令渐近展开式趋于无穷，我们就可以确定，，，以及可微多项式，由此，在第N步中，当，，或时，我们就能得到下列渐近等式：
，
我们可以证明式子（21）始终成立。根据(x,0,k)=0，求解实数k，它必须遵循所作推导的第一步的设定，而且，式子（34），，是边界值问题的一个解。
因此，
令，的渐近展开式的项的系数，与系列式（38）的虚部所对应的系数相等，考虑，，所得到的值，我们就可以确定下式：
式子（41）和方程式(0,0,)=都遵循式子（21）。
我们类似的建立渐近展开式（24）-式（31）以用于下列情况：开口被切的位置是根据式子（14）来进行选择的，并且，是一个圆心在原点的圆盘。渐近展开式，式子（16）-式子（31）的推导建立则根据公式[6，7]。
- 边界值问题的应用程序：
在下列情况下可以看出，表达式（3）中的实数k的共振系数取最大值，
因此，对于边界值问题式（1）-式（2）的解的更深入的研究将会在更高次的式子（42）中推出来。从极点式（6），式（16）以及式（24）的渐近展开式可以看出，在以下情况的更高次中，有
i 不等式（5）保持不变；
ii 式子（14）和（15）的关系保持不变；
iii 式子（14）保持不变，并且是一个圆心在原点的圆盘。
此时就会产生下列不同的
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