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时域电磁场方程有限差分近似的吸收边界条件
GERRIT MUR
摘要——当在无界空间中使用有限差分技术求解时域电磁场方程时，必须有一种方法限制场的计算域。限制计算域可以通过截断网格并在人造边界处使用吸收边界条件来模拟无边界环境实现。本文提出了可用于二维或三维配置的电磁场方程的高度吸收边界条件。数值计算结果表明了高度吸收边界条件适用的准确性和局限性。从二维时域电磁场问题中推导出了一种简化的，但同样准确的吸收条件。
关键词——电磁场方程，时域，有限差分近似，吸收边界条件
1.引言
时域电磁场问题的三维有限差分近似是解决散射问题的便捷工具。此方法的主要优点在于它可以容易地应用于（无限地）传导障碍物或是均匀的或不均匀的电介质和形状任意的磁障碍物。此外，有限差分技术提供了解麦克斯韦方程的一种有效方法。在有限差分方法中，引入时空网格，麦克斯韦方程由网格上的有限差分方程组代替。用该方法尝试解决场问题时面临的困难来自于：散射问题通常是开放型问题，例，需要计算的域是无界的。由于没有计算机能存储无穷量的数据，需要使用方法限制需计算的区域。这可通过使用有限大小的网格来实现，网格足够大以至于能完全包含障碍物，且通过使用网格外边界的边界条件使得无界环境被模拟得尽可能准确。该类型的边界条件称之为吸收边界条件。对于麦克斯韦方程的有限差分近似，泰勒等人已经描述了吸收边界条件，其使用了一个简单的外推法；Taflove和Brodwin等人也描述了吸收边界条件，他们模拟出射波并使用平均过程来试图解释出射波传播的所有可能的角度。Taflove提出的一个替代方法是在围绕要建模的结构的地区引入损失量，因此吸收发射波和网格边界反射的波。然而，数值实验表明，为了获得精确解，要求使用相对较厚的传导层，这使得吸收发射波的方法变得不可靠。Merewether [6] 和 Kunz 和Lee [7] 使用距离散射体中心较远距离的辐射条件获得一个吸收边界条件。
上文提到的吸收边界条件，尽管在第一次近似时有效，但也有缺点，当靠近网格边界的域没有向特定的方向（垂直于网格的边界的方向或者从障碍物的中心开始的径向）传播，它会引起相当大的反射。此外，没有一种理论可用于提高这种近似。该文中，解决上文给定问题的一个非常有前景的方法被推导出来用于二维和三维电磁场方程；这类似于Engquist 和Majda [8]的标量推导。这种方法的第一个近似值似乎与上面给出的相当。二阶或者更高阶的近似值较少受到反射问题的影响，特别是外部边界的场，使得它们成为高度吸收的边界条件。对于二维场，一个简化的，但是一样准确的吸收边界条件将会被导出。将会给出数值结果以阐明高度吸收边界条件的有效性。
2.麦克斯韦方程的有限差分近似
所以该文中，我们不关心本身的障碍或不均匀性，而是围绕它们的均匀区域，我们可以在不失一般性的情况下，将注意力集中在麦克斯韦方程的真空区域，
在矩形的笛卡尔坐标中：
(1a)
(1b)
其中和分别表示真空的介电常数和渗透率。 我们现在引入（1）的有限差分近似，并且遵循Yee的符号[1]，我们将网格点表示为
其中，是空间增量，并且任何空间和时间的函数可以写成
其中是时间增量。 通过以图1所示的方式将E和H的场分量定位在网格上并且在交替的半个时间步骤处评估E和H，Yee获得了在所有增量具有二阶局部结构误差的有限差分表达式。现在读取（1a）和（1b）的x分量的最终差分近似值：
(2a)
(2b)
易推导出（1）y分量和z分量的有限差分近似。（2）的稳定性为：
(3)
其中为真空中的光速。
对于二维问题，我们在网格中仅适用单平面，因此（2）适当简化，稳定性情况表示为：
(4)
在每个坐标方向上，通过将网格包围在与相关坐标轴相垂直的两个平面之间，并通过网格点（i，j，k），i，j，k整数来截断网格。我们从图1可以看出，
图1 在Yee网格中每个点的场分量
在（2）中出现的电场矢量E的所有分量都被应用到网格边界中的一个特定点，与这个边界相切，而磁场矢量H的相关分量是正常的。后者的场分量可以通过使用相关的有限差分方程来评估。然而，电场分量不能以这种方式进行评估，因为这需要网格外部的H场分量。在下一节中，我们将描述可用于计算这些电场分量的吸收边界条件。为了吸收边界条件，假定边界附近的场是出射波，因此它们只能应用于散射场，即在网格中心附近某处找到它们的原点。因此，如果存在于网格上，则应该从网格边界附近的总场中减去入射场。最后，我们注意到，在从（2）中消除H后，我们得到了：
(5)
例：电场的每一分量都满足三维波动方程。
3.吸收边界条件
在之前的部分中，我们看到在图1所示的网格上麦克斯韦方程的吸收边界条件只需要吸收电场三个分量的边界条件。我们也看到每个场分量都满足三维标量波动方程
(6)
在本节中，我们将使用一种被Engquist和Majda [8]详细描述的方法来呈现必要的边界条件。 在不失一般性的前提下，我们假设网格位于0 lt;x的区域，给出了平面x = 0的边界条件。一个时空平面波分量在x方向上传播，其速度分量Sx，Sy，Sz可以写成：
(7)
并且，，对于发射波，一阶边界条件 (8)
对于Sy和Sz的固定值，将确定与出射波一致的外表面上的W，即其被吸收。 由于我们不知道接近x = 0的波的入射角，所以在（8）中做了一个近似。写作：
(9)
我们获得一阶近似：
(10)
使用下一个近似的平方根
(11)
产生边界条件的二阶近似值
(12)
从（10）到（12），从（10）和（12）可以在外边界上确定W的近似值。 用不同的方法得到相同边界条件的Engquist和Majda证明，这些边界条件给出了适当的初始边界值问题。 他们还给出了他们声称稳定的第三个近似值。 然而，二维配置的数值实验，对后一种边界条件的差分近似，显示出对于（4）给出的最大值的的不稳定性。
对于二维电磁场问题，简化二阶近似是可能的。假设不取决于z，并且是E极化的，例：E = Eziz and H = Hxix Hyiy，12仅适用于 Ez。现在，在该情况下，我们从（Ia）中有：
(13)
将（11）中的（13），（a=0）代入W = EZ，对t进行积分并且对于t lt;0使用Ez = 0，我们得到
(14)
w其中边界条件远比（12）简单，但仍然是同阶近似。我们注意到（14）的前两项近似减少到一阶近似。可轻易推导出H极化的边界条件。
4.吸收边界条件的有限差分近似
该节中，我们提出从第三节的吸收边界条件的有限差分近似。这些近似值在所有增量中都有二阶的局部截断误差。如我们上文所述，我们需要相应的与边界相切的E电场分量的边界条件。因此，x-0平面的边界条件用E_y和E_z表示。我们给出E的边界条件的离散化形式，在这个边界上，Ey的边界条件和其他平面上的边界条件很容易从Ei的边界条件开始。 （10）的有限差分近似是利用空间和时间增量的中心差分得到的，它在所有增量中都有一个二阶局部截断误差。 我们更愿意以可直接管理计算机程序的形式呈现实际公式。 E的第一个近似（10）被离散化如下：
(15)
T对E的第二种近似在边界x=0处被写作：
(16)
最终，二维问题的二阶近似（14）可描述为：
(17)
在这里我们已经从我们的符号中删除了字段的z依赖性，因为z的值在所有方面都是相同的。使用中心差分来推导（16）和（17），并且这些有限差分近似也在所有增量中具有二阶局部截断误差。我们注意到，第一个近似（15）的离散化与[8]中的离散化相同。 然而，第二个近似（16）的离散化与[8]中的不同。我们的优点是可以使用更接近网格的顶点，它需要更少的存储空间。
5.数值结果
在本节中，我们给出了显示高吸收边界条件效率的数值结果。由于我们需要一个相对较大的网格来清楚地展现吸收边界条件的特性，所以我们只给出二维结构的结果。尺寸相当大的三维网格会导致对于作者在本研究进行时使用的计算机存储要求过高。通过研究二维配置获得的结果可以很容易地应用于三维配置，因为（16）的结构对于二维和三维问题是相同的。（（16）的二维形式是通过从中删除沿着圆柱轴的微分而获得的）。我们给出了不依赖于z并且是E极化的场（即E-E2i）的结果。使用正方形的二维网格（0 lt;i lt;34，0）
(18)
在，有关的有限差分方程。 在（18）中，表示海维赛德单位阶跃函数。 结果在141步后给出。
各向同性的点源有一个圆形的辐射模式，我们调查这个模式在截断的网格上保持的好坏。图2给出了位于节点（i，j）=（5,5）处的点源的网格上的辐射图的等高线图，
图2 在141次迭代后的辐射等高线图
一个35*35的点网格中位于（5,5）这个点的各向同性源（任意单元中）
该点的位置被选择为尽可能清楚地显示高度吸收边界条件。等值线图中的数字与局部电场强度成比例。
给出了一阶近似和二阶近似的等高线图。一节近似结果较差，尤其是距离源较远时。然而，利用第二近似，在边界附近和远离源的点处仅获得几乎变形的近圆形图案。这些误差是由于擦过的波引起，边界上的入射波不能被很好吸收，但是部分散射。相比较而言，图3给出了现在位于更接近网格边界的相同源的场的等高线图，在（i,j）=（3,3）。由于相同的等高线已经给出，可以与图2比较。从图3，我们观察到，
图3 在141次迭代后的辐射等高线图
一个35*35的点网格中位于（3,3）这个点的各向同性源（任意单元中）
在靠近网格的边界，对于靠近边界的源的二阶近似不够精确。可以概括出，在给定维数的网格处，当二阶近似使用且散射场的源位于距离网格5或者更多节点的边界处，可以获得更精确的值。对于一阶近似，结果更不精确，且散射场的源应相对更远离边界。由于（16）易于实现，使用二阶近似是有利的。
为了简化二维场（17）的二阶近似，我们指出它给出了与后面更复杂的结果同样精确的结果。
考虑到点源，精确辐射场是下式的结果：
(19)
即围绕r旋转对称，并且由出射波组成。 这个解决方案很容易获得[10]
(20)
在图4中，
图4 在图2网格的对角线用精确方法得出的结果的对比图
精确解作为与点源距离的函数，并与图2给出的结果在同一时刻作图。为了比较，我们在图4中还给出了有限差分结果 这是在图2的通过点源的对角线上获得的。 事实证明，考虑到我们有一个相对较粗的网格（6 = 2/10），我们已经获得了准确的结果。
6.入射场
在本文中，我们已经使用了一个点源来产生网格边界处的发射波。实际上，发射波并不是由网格处的一个源产生，但是代表由于障碍物的存在产生的散射场，散射入射场，（入射场假设已知）。如果需要最大精度，则利于计算总场，而不是散射场[5],[9],尤其是在一些区域散射场几乎取消了入射场（在散射物体的后面或内部）。然而，吸收边界条件不能应用于总场。
为了解决这个问题，可以引入位于网格的吸收边界附近的边界（见图5）。
图5 有被有干扰物的网格占据的区域，有计算总场的区域，有计算散射场的区域（二维结构图下）
处理计算该边界和总场，也计算外部的散射场，因此使得吸收边界条件应用。当（2）用来边界内部节点的总场（散射），但邻近他，总场将要求来自于外部的节点。对于相应的节点，（2）被修改。当计算内部边界的总场时，将入射场添加到从边界外的节点获得的散射场中，类似地，当计算边界外的散射场时，从在边界内部获得的总场中减去入射场。由于入射场在任何时间，任何地点都是已知的，上述步骤不涉及任何近似，此外，它不要求任何存储或引起任何杂波反射。
致谢
作者在这里想感谢A.T. de Hoop对呈现在论文中相关工作的建议。
参考文献
[1] K. S. Yee, 'Numerical solution of initial
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资料编号：[21377]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
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