大地测量网优化与设计的基本概念外文翻译资料

 2022-08-26 16:40:44

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大地测量网优化与设计的基本概念

A. R. Amiri-Simkooei, M.ASCE1 ; J. Asgari2 ; F. Zangeneh-Nejad3 ; and S. Zaminpardaz4

摘要

本文综述了大地测量网优化与设计的几个基本概念。对控制网的适当评估和分析是许多大地测量项目中的一项重要任务。大地测量网应确定适当的质量控制措施，并寻求最佳设计。大地测量网的质量具有精度、可靠性和成本等特点。其目的是提出一些案例研究，以满足最佳的精度和可靠性标准。虽然这个案例研究本身可能引起大地测量界的关注，但其目的是为了深入了解大地测量网的一般优化问题。这也有可能引起教育目的的兴趣。案例研究包括一个零阶设计，和一个一阶设计，以提高导线网中的点的精度，以满足高可靠性和最大精度标准的大地测量网。结果表明，不仅是网的结构，而且观测结果的类型也会影响设计标准。例如，案例研究表明，如果观测结果用角度而不是距离代替观测值（三角网)，三角测量网的最佳形状(与距离相交）可能会导致可靠性和精度意义上的弱网。与大地测量网的优化问题密切相关，全球定位系统卫星也针对最小精度的特定情况进行了优化。

关键词：大地测量网的优化与设计；质量控制措施；精度的几何稀释。

项目简介

大地测量网的优化设计和优化是许多大地测量应用中的一项重要任务。大地测量网的质量特征在于其精度、可靠性和成本（Seemkooei2001a，b）。重复性是另一种质量控制标准，主要是基于卫星的定位技术的一个问题，特别是在极长基线干 涉测量、绝对全球导航卫星系统定位和连续运行的网络上。在经典的大地测量网络，重复性与精度相结合在一起，不能完成任何单独的作用。

大地测量网的精度可以用参数的协方差矩阵来表示。在二（或三维）网络中，可以从协方差矩阵的元素中提取误差椭圆啊（或椭球）。此外，在两个极端的情况下，精度准则可以用一维情况下未知参数（对角项）的方差或多维情况下参数的协方差矩阵的完整结构来表示。由Baarda （1968）引入的大地测量网的可靠性分为内部可靠性和外部可靠性。内部可靠性是指网能够检测到观测中的粗差，外部可靠性是指无法检测的误差对估计参数的影响。几何强度分析（稳健性分析）是可靠性的另一个方面(Vaniacute;cek et al. 1990, 2001; Berber et al. 2006)。可靠性和几何强度标准与高度相关（Seemkooei2001a ，b）。Hsu（2004）和Hsu et al. (2008)为这一关系建立了数学基础。 几何强度并不是在目前的贡献中被讨论的主题。

大地测量网的优化设计包括对网的最优配置（例如，网点的位置和点数的选择），以及对观测结果的类型、数量和权重的优化选择。它们需要进行最优选择，以满足期望的标准，如精度、可靠性和成本。大地测量网的优化设计问题源于Baarda（1973)和Grafarend (1974）的工作。后者确定了四个设计顺序：零阶设计(ZOD)、为网络设计参考系统 （数据）、一阶设计(FOD)、为网设计进行最优配置、二阶设计(SOD)、选择观测值的最优权值，以及三阶设计(THOD)。许多作者在关于大地测量网优化和设计的参考书中详细介绍了这些顺序设计(Grafarend and Sanso 1985)。

该设计问题可以用分析法和试错（启发式)法两种方法来解决。在试错方法中，用户假设一个解决方案，然后计算设计标准。如果两个标准中的任何一个不符合，则假定一个新的解决方案，并重新计算标准。重复此步骤，直到实现令人满意的网络(Cross 1985)。在分析方法中，有一系列独特的数学步骤，自动为网络提供最优的质量控制措施。Kuang（1991,1996）详细介绍了分析方法的说明。

Amiri-Simkooei (2004)，Amiri-Simkooei 和 Sharifi (2004)提出了一种分析SOD算法，使可靠性参数尽可能统一。利用模拟退火(SA)进行测地网络优化设计的研究正在进行中，这是全局优化问题的通用概率方法。例如，我们可以参考Berneacute; and Baselga (2004) and Baselga (2011),，他们分别为经典的FOD和SOD问题提出了SA方法。Baselga（2007） 也将SA用于稳健估计方法。

本文的目标是设计和优化一个大地测量网。为此，将考虑不同的设计顺序，如ZOD和FOD。本文的结构如下。首先，介绍了大地测量网络的质量控制措施。简要说明了精确度和可靠性标准。然后，考虑了一些简单的大地测量网/问题。将解析和数值ZOD和FOD 问题应用于网络中进行优化设计。虽然所提供的例子在所呈 现的一些案列研究来说可能在直观上看起来微不足道，但据我们所知，它们在给出的解析推导的意义上是独一无二的。此外，所提供的案例研究本身也可以应用于地籍、细节和土地测量，以及地理信息系统(GIS)。此外，他们还可以提供对最优设计问题的见解，并可以从教育的观点指导。

优化设计标准

在本节中，简要介绍了大地测量网的可靠性和质量控制测量精度，细想一下观测方程线性化模型：,,式中，A是m * n的矩阵，是已知的m * n的可观测协方差矩阵，y是可观测项的m向量，x是未知参数的n向量。E和D分别是期望算子和色散算子。精密度估计值由参数协方差矩阵的对角线元素表示，其形式为

(1)

式中 P= = 权重矩阵。在这个协方差矩阵上可以定义不同的精度准则。例如，的对角线元素解释参数的变化。当未知参数是点的坐标时，可以使用误差椭圆（椭球）。误差椭圆的尺寸和方向是精确描述坐标的度量。这种精确的描述也可以在设计阶段实现，因为计算不需要观测结果。

可靠性矩阵R在其主对角线上包含冗余数（ri），其形式如下：

(2)

式中，I =大小为m的单位矩阵。当观测值不相关时，冗余数在0和1之间()。在极端情况下，当它们为零时，无论其大小，都无法检测到任何误差；而在另一极端情况下，当它们为1时，无论其大小，都可以检测到所有误差。对于前一种情况，存在与观测值相同数量的未知量，因此，A是导致R=0的可逆矩阵，而后一种情况发生在测量已知量（模型中没有未知量）时，其中设计矩阵A为零，因此，R=I。在这种情况下，R的所有非对角项都是零，表示一个可观测项的残差不受其他可观测项误差的影响：它只表达了特定可观察到的误差。

然而，在实际情况中，期望具有相对大且均匀的冗余数的网，以便在网的每个部分中粗差检测的能力是相同的。因此，内部和外部可靠性标准的形式如下（Baarda 1968）

(3)

应该提到的是，上述任何设计顺序都可用于达到高精度和/或最大可靠性的网络。本文通过一些案例研究，探讨了如何利用ZOD和FOD问题来实现满足这两个优化设计准则的网络。对于精度标准，这可以通过最小化网点中误差的绝对大小，或者通过使用圆误差的均匀性而不是（拉长的）椭球误差来来实现。对于可靠性准则，人们可以寻求一个最优网，以达到网可观测值的统一（例如，相等的）冗余数。

几个优化案例研究

下面通过几个分析例子，给出了满足某些精度和可靠性准则的网络的ZOD和FOD问题。提供的案例研究显示了优化问题是如何工作的，尽管所示的一些示例本身在许多大地测量应用（如地籍、详图和土地测量以及GIS）中很有意义。

案例1：附合导线测量

导线网在许多测量工程项目中有着广泛的应用。在附合导线中，测量点之间的连续距离和角度（图1）。给定参考点的位置，目的是确定导线最后一个点的位置。我们还需要知道至少一个方位角（方位）测量点，以确定网的方向。优化问题的目标是找到这样一个方位角的位置（即，确定索引j），以确保点处的位置误差尽可能小（最小）。

图1-通过连续距离和角度测量的开放穿越网络

点的坐标假定已知到一定精度。假设所有角度的测量精度相同 ，所有的距离都是以同样的精度测量的 。假设测量是独立的。还有，唯一的方位角是精确测量的。

经过一些简单的代数运算后，点之前方向的方位角计算如下

而j点后方向的方位角

最后一点的坐标计算如下：

以及

为了获得单个坐标的标准误差，误差传播定律应用于等式(4） 和（5）。由式（5）可知

通过取偏导数并将其代入预分方程，k点y分量的方差读取（附录）

这将被最小化。注意，式（7）中的前三项与点j的位置无关。有人可能会说，第三项（第一次求和）也取决于j。尽管这在直觉上是正确的，但是请注意，对于从1到k的所有值，summand的表达式都是相同的。换言之，如果把总和分成两部分（第一部分从1到j，第二部分从j 1到k），就会得到相同的结果（与j无关）。因此，式（7）中的最后一项是唯一应最小化的项（即Phi;→最小）超过j。此最小化问题等价于以下最小化问题（附录）：

这导致使用以下表达式确定索引j：

以类似的方式，可获得以下公式，以最小化x方向上的标准误差：

为了使最后一个点位置的标准误差最小化，指数j如下所示：

对上述极小化问题的分析评估是困难的。在实践中，我们必须通过数值计算来满足。对于不同的t值（范围从t=1到k），可以计算任何等式的数值(9）、（10）或（11）。与计算的最小可能（最小）值相对应的t值被设置为j的最佳值。

特殊情况

现在考虑前面方程的一个特例，可以得到解析表达式。假设连续测站之间的距离大致相同，并且导线大致沿直线继续，即角度接近180°。此外，假设点位于原点。在这种情况下，得到和，x和y具有常量值。方程式(9） --（11）可以相应地简化为

索引j如下所示（附录）：

这表明在附合导线中测量方位角的最佳位置在网络的中间。因此，这个例子可以被认为是一个优化的ZOD问题，在这个问题中，基准的方向是通过一个分析方法来优化选择的。

案例2：有两个距离的交点

假设有一个交叉网（图2）。我们希望使用两个已知点和测得的两个距离来估计未知点P（x，y）的位置。假设这两个测量以相同的精度不相关。要求对未知点进行最优精度描述。如果点P处的（绝对）误差椭圆变为圆，则提供这种最优性。我们需要确定满足此优化准则的这些位置的几何轨迹。因此，需要解决一个最优FOD问题。

为了实现这个目标，需要计算协方差矩阵 。观测方程为：

由此得到的设计（系数）矩阵A为

其中， 和 是用在（式14）中给出，s是已知量。在不丧失一般性的情况下，还可以假设权矩阵是单位矩阵，即。然后求出未知参数的协方差矩阵

其中对角项是x和y的方差，非对角项是x和y之间的协方差。如果（1）协方差矩阵的对角项相同（(即，)，和2）非对角项变为零（）。

在这种条件下，人们必须：

如果满足以下两个关系之一（附录），则等式（17）成立：

图2使用从两个已知点到一个未知点的两个距离测量的交线；s是已知量

以类似的方式，如果满足以下两个关系中的任何一个（附录），公式（18）将成立：

从等式中得到的前两组关系式(17） 和（18）表示公共项[即，等式(20） 和（22）]将满足这两个方程。因此，如果

这是一个以（s，0）为圆心，半径为s的圆的方程。这意味着该圆上的所有（未知）点（即，与直角相交，90°) 有一个误差圆来描述其精度的均匀性。请注意，误差圆的半径是与等式（23）中圆内外所有点的半长轴相比可能最小的（最小）。

这个例子说明了如何解决FOD问题，以达到一个网络，满足一个正确的精度描述未知点P。通过引入误差圆代替误差椭圆，满足了这一优化准则。

案例3：三点交叉/后方交会

将考虑三种情况：（1）三个距离相交，（2）三个方位相交，（3）三个角度后方交会。

使用三个距离相交

假设交叉网（图3）。我们希望利用从三个已知点, , 和 测得的三个距离来估计未知点P（x，y）的位置。假设这三个点构成一个三边相等的等边三角形。在不丧失一般性的情况下，可以假定三角形的质心是原点（0，0）。假设这三个测量值以相同的精度不相关。要求对未知点进行最优精度描述。如果点P处的（绝对）误差椭圆变为圆，则提供这种最优性。

图3 使用三个已知点到一个未知点的三个距离测量的交叉网

需要确定满足该最优性准则的这些位置的几何轨迹。因此，需要解决一个最优的焦点问题。 要实现这个目标，就需要计算一下 . 观测方程为

(24)

由此得到设计（系数）矩阵A

式中 , , 和 a在式（24）中给出。在不丧失一般性的情况下，还可以假设权重矩阵是标度单位矩阵，即, . 未知参数的协方差矩阵如下：

其中对角项为方差，非对角项为协方差。如果（1）协方差矩阵的对角

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