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基于改进离散傅里叶变换的谐波分析
摘 要
随着电网规模的不断扩大，产生了大量的非线性元素，从而产生谐波问题。离散傅里叶变换(DFT)是一种有效的谐波分析工具，但DFT中隐藏着混叠、栅栏效应和频谱泄漏等问题，影响了谐波分析的精度。本文对DFT进行了改进以避免频谱泄漏。实验证明，该改进算法能有效抑制频谱泄漏，在精度和复杂度之间取得平衡，适用于多种器件。
关键词: DFT、窗口函数、谐波
1 介绍
随着经济的快速发展，电力需求急剧增加。电网规模的不断扩大，产生了大量的非线性元素，从而产生谐波问题。高次谐波对电网有着严重的危害。电网中的谐波电压和电流会消耗大量电能，造成输电线路不必要的功率损耗，对包括电动机在内的各种电器造成严重的损坏。因此，谐波的检测、分析和控制具有重要的意义
目前常用的谐波分析方法有:
- 基于带通滤波器的谐波检测与分析:带通滤波器有模拟和数字两种类型。模拟带通滤波器通过带通滤波器获得各谐波分量。它的原理和电路结构简单，但误差大，要求基波平稳，对电路元件要求高，容易受测量环境的影响。数字带通滤波器与模拟带通滤波器功能相似。它能适应基波信号，具有更稳定的性能。但它是基于模拟带通滤波器设计的，需要归一化处理，设计参数较多。如果要求更高的精度，其结构复杂性将急剧增加。因此，带通滤波器分析谐波的可行性不高。
- 基于小波变换的谐波检测与分析:小波变换是一种根据信号频率调整时间窗和频率窗长度的分析方法。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较低的频率分辨率和较高的时间分辨率。小波变换对各个频段的分析不够细致，会导致一个频段的能量向另一个频段扩散，导致频谱泄漏，降低谐波分析的精度。
- 基于离散傅里叶变换的谐波检测与分析: 该方法首先通过对模拟电压信号进行周期性采样得到离散序列，然后利用窗函数提取离散序列的有限长度段，然后利用DFT算法对有限长离散序列进行离散傅里叶变换，通过频谱分析得到各谐波的分析结果。该算法易于实现，具有较高的精度。但容易受到混叠、栅栏效应和频谱泄漏的干扰，其中频谱泄漏最严重，治理最困难。
在插补多项式中增加插补点的数目可以有效地抑制栅栏效应。根据奈奎斯特采样定理，如果信号的最高频率为当采样频率可以有效地抑制混叠。信号的捕获等于信号乘以矩形窗，这可以看作是与矩形窗在频域上的卷积，这会带来频谱泄漏。整数周期捕获(保证所有谐波的整周期)可以防止频谱泄漏。然而，实现这一目标极为困难。增加DFT长度，对窗口函数进行重构，都可以有效抑制频谱泄漏。但过长DFT或过复杂的窗口函数会影响计算机的处理效率。
因此，本文针对离散傅里叶变换，提出了一种改进的离散傅里叶变换算法。实验结果表明，该算法具有较好的谐波检测效果。
2 改进的谐波分析DFT算法
- 采用改进的双峰线插值方法，消除了频谱泄漏带来的误差
建立一个持续的交流电压信号，首先对信号进行周期性采样，采样频率为获得离散序列，。采用窗口函数提取有限长度序列，考虑到精度和效率，窗口函数的长度，其中m是任意整数。
在取N点进行傅里叶变换，通过DFT算法在频域内采样，来获得频谱。
次谐波的离散表达式，是谐波幅值，是初始相位。为添加矩形窗口，当是另一个值的时候等于0。。对进行离散傅里叶变换： } （1）
在处，是频域内的矩形函数。
当基频不是整数时，测量的频率可能不在插值点上，这是频谱泄漏的主要原因之一。因此，采用改进的双峰线插值方法来消除频谱泄漏引起的误差。
假设不在积分点上，位于和之间，和是在附近最大和第二大的插值点，。因此，在频域内引入矩形窗口函数即可得到：
（2）
带来并忽略旁瓣的影响：
（3）
使。相比较于，的值可被看作无穷大，所以和可以被看作无穷小。因此，我们得到了这个函数：
（4）
计算的绝对值：
（5）
振幅可由公式（5）推导出：
（6）
同理可得：
（7）
合并由和得到值：
（8）
可以由方程（8）得到：
（9）
如果采样是同步的，目标频率在插补点上,可以被认为是无穷小的，不需要修改。把代入方程（6），可以得出：
（10）
- 采用窗口函数来调节频谱泄漏
窗口函数在抑制频谱泄漏中起着至关重要的作用。一般情况下，信号的截获采用矩形窗口。矩形窗口在时域和频域的响应如图1所示
图1：矩形窗口在时域和频域的响应
从图1可以看出，矩形窗口的主瓣更窄、更集中，频率分辨率更高，结构更简单，是理想情况下的良好选择。但矩形窗口的旁瓣宽，衰减速度慢，会导致严重的频谱泄露。当频谱泄漏到一定程度时，会导致频谱间的干扰，严重干扰幅值的计算，特别是当目标频率不在插补点上时，会导致严重的误差。
因此，优先考虑旁瓣宽度和衰减程度。汉宁窗和布莱克曼窗的长度表达式如方程（11）、方程（12）所示，其时域和频域特征如图2、图3所示。
汉宁窗：
（11）
布莱克曼窗：
（12）
图2：汉宁窗在时域和频域的响应
图3：布莱克曼窗在时域和频域的响应
可见，布莱克曼窗的侧瓣较窄，衰减速度较快。因此，布莱克曼窗有助于抑制频谱泄漏，获得更准确的振幅。
3 振幅校正
- 同步采样时的振幅校正
以布莱克曼窗为例：
（13）
在这个方程中：
（14）
显然，汉宁窗和布莱克曼窗可以看作是幅值修正后的矩形窗口，所以他们的频谱幅值会改变，因此利用恢复系数校正谐波振幅是必要的。例如，将通过方程（10）得出的振幅代入方程（15）：
（15）
通过仿真得到汉宁窗和布莱克曼窗的恢复系数：选择信号，选择与信号相适应的采样频率对窗口函数进行采样后提取，对其进行离散傅里叶变换，提取，将代入方程（15）得到。
通过计算，汉宁窗的值为1.9998，布莱克曼窗的值为2.3812。这里的是理论值，当使用时，由于各种因素，需要围绕理论值进行调整。
- 非同步采样时的振幅校正
在实际应用中同步采样的要求过高，绝对同步采样难以实现。因此，非同步采样的出现频率较高。因此要关注非同步采样。在非同步采样的情况下，需要采用添加窗口的双谱线插值算法，在频域内加窗后的信号函数为：
（16）
忽略旁瓣的影响，方程（16）变成：
（17）
如果，不是整数，取值在和之间，这两点振幅的绝对值为：，。，参考方程（17）
（18）
方程（18）可表示为，也就是，这个反函数可以通过多项式逼近得到。但是方程（18）太复杂了，容易被影响，所以我们可以用来获得。。根据资料可得：
（19）
，拟合函数为：
（20）
能够根据和计算出来：
（21）
在方程（21）中，分母部分受到和其他因素的影响。方程（21）可以变为：
（22）
能够可以通过多项式逼近得到：
（23）
4 仿真与误差分析
实验表明，由于采样率、谐波幅值、采样电路等因素的影响，频谱存在偏移。因此，在实际应用中需要对频谱进行校正。在不同的采样电路中，需要对不同的功能进行调整。
本文利用一组标准谐波源电压采样数据对该算法进行了测试。
采用矩形窗时，各次谐波的幅值、误差和相对误差分别如图4、图5和图6所示：
图4：利用矩形窗口计算各次谐波的振幅
图5：利用矩形窗口计算各次谐波的误差
图6：利用矩形窗口计算各次谐波的相对误差
采用布莱克曼窗时，各次谐波的幅值、误差和相对误差分别如图7、图8和图9所示：
图7：利用布莱克曼窗口计算各次谐波的振幅
图8：利用布莱克曼窗口计算各次谐波的误差
图9：利用布莱克曼窗口计算各次谐波的相对误差
实验结果表明，无论是矩形窗口还是布莱克曼窗口，均具有较高的精度。但是，在采用矩形窗时存在部分谱漏。在采用布莱克曼窗口的情况下，与采用矩形窗口相比，大部分点的谐波误差减小，精度更高。
虽然布莱克曼窗口的精度与某些窗口相比略有不足，但各次谐波的相对误差均小于6%，满足要求。另外，当窗口函数比较复杂时，系统的分析效率也会受到影响。因此，采用布莱克曼窗比较合适。
5 结论
基于离散傅里叶变换，本文讨论了通过信号截距、频谱插值和窗口函数来抑制谐波检测中频谱泄漏的实现。实验结果表明，采用布莱克曼窗时，50次内各次谐波的效率和精度均较高，且计算量适宜。因此，该方法适用于多种设备。
6 参考文献
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