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文 目Power System Oscillation Modes Identifications: Guidelines for Applying TLS-ESPRIT Method
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二Ｏ一九 年 四 月 十 日
电力系统振荡模式识别：TLS-ESPRIT方法应用指南
摘要：通过广域测量系统快速测量可用的电力系统数量可以实现对电力系统机电振荡的直接观测。但是原始观测数据需要经过处理以获得所需的有关电力系统状态的推断量化参数。对振荡模式识别的一般问题背后的理论提出详细的讨论。本文给出了一些应用于广域频率测量系统的振动模式识别的结果。提供了从所用方法获得最可靠结果的参数选择指南。最后，给出了实际测量的一些结果，并对其进行了推论。
关键词：电力系统振荡，环境测量，TLS-ESPRIT
1引言
由于负荷的随机性，电力系统不断地发生变化。负荷的每一次变化都会引起电力系统的振荡响应。这是由于发电系统的动态特性。在大多数被测变量中，如母线电压、输电线路电流、支路功率以及频率中，都可以观察到电力系统的振荡。
随着广域测量系统（WAMS）的发展，适合于电力系统振荡测量的数据采样率提高了。此外，一个孤立的地方，可以从数百公里的距离分隔的地方获得同步数据。这些数据可以通过测量观测到的振荡模式来监测电力系统的状态。
以前有几项研究提出了从环境电力系统测量中提取系统振荡模式信息的方法。这一领域的研究可以追溯到30年前[1，2]，他们使用简单的离散傅立叶变换（DFT）技术进行光谱分析，并使用快速和自相关技术进行模式识别。最近的研究[3–7]开发了几种先进的信号处理方法来执行模式识别任务。Tripathy等人[8]提出了一种基于子空间分离的技术，称为通过旋转不变技术（tls-esprit）对信号参数进行的总最小二乘估计。该方法最初是为天线系统的到达方向测量而提出的[9]，它也被应用于电能质量事件的分析[10]。主要结论Trudnowski等人[3]和Turunne等人[7]是指大多数方法在类似条件下得出可比较的结果。本文将采用TLS-ESPRIT方法对环境频率测量中的模式识别进行研究，并讨论一些有趣的发现。
在下面的章节中，我们讨论了电力系统振荡和广域频率测量系统的显著特征，这些系统测量了本研究中使用的输入数据。最后，对模式识别中所遵循的方法和实际数据的结果进行了详细的讨论。
2.电力系统振荡
为了研究电力系统的动态响应，必须按照[11]、[12]中的描述进行详细的多机分析。回顾多机分析的细节超出了本文的范围，但分析的主要结果是，任何一个大型电力系统都会有一些主要的机电振荡模式，这些模式在大多数系统测量值中都可以观察到。母线电压频率是这种输出变量之一。振荡模式可大致分为区域间模式、局部模式和工厂内模式。区域间模式的频率范围为0.2至0.5赫兹。并且可以在分布在广阔区域的几个测量输出中观察到。本地模式的频率范围为0.8至1.8赫兹。与一小群发电机在一个大系统上振荡有关。在较小面积的测量值较少时可以观察到。电厂内部模式的频率在1.5至3赫兹范围内更高，只能在发电厂内部和附近观察到。在这些模式之上，还有一些与控制相关的振荡模式，如高压直流、事实和涡轮调节器。其振荡频率不固定，取决于控制器参数，测量值的可观测性取决于被控制设备的功率处理能力和被控制的参数。大容量高压直流输电线路的控制方式在系统有功功率和频率范围内是可以观测到的，而小容量的SVC控制方式则可以在其附近的母线电压幅度内观测到。
我们展示了通过一个简单的广域频率测量系统测量这些振荡模式的方法。
3广域频率测量系统
频率是电力系统中每一点都可以测量的一个参数。在低压电平下测得的频率也将提供该区域高压母线中可观测到的机电模式的测量值[11，12]。与相位角测量需要高度精确的时钟同步不同，频率测量在时钟同步中可以容忍几毫秒的误差。
广域频率测量系统（WAFMS）[20]由印度孟买电力系统实验室开发和部署，使用网络时间协议（NTP）对测量频率进行时间标记。频率测量设备放置在分布在同步连接网络上的多个学术机构实验室的电源插座上。印度的奥克。每台设备每20毫秒在本地执行一次测量，测量数据流到中央服务器。该项目自2009年年中开始运作，至少有两年的测量档案可供本研究使用。
通过该系统测得的电力系统振荡有几起，其中一些在Salunkhe和Kulkarni[11]中有报道。由大扰动引起的波动是非常有意义的，并提供了有关系统行为的重要信息。然而，本文的研究重点更多的是在无重大故障、发电机跳闸或甩负荷等情况下，在环境条件下测得的电力系统振荡模式。
4随机线性响应时不变系统
前几节讨论了电力系统网络的典型振荡模式及其测量。这些构成了研究线性时不变（LTI）系统的广阔领域的一部分。研究了LTI系统的性质。LTI系统的响应由两部分组成。一种是依赖于强迫函数，形成稳态分量。另一个组件独立于强制函数，但取决于系统本身的属性。本文是对LTI系统的所有已知事实的重复，但足以说明系统响应是时间阻尼指数的线性组合。指数可以过阻尼，没有任何振荡，或者过阻尼，有几个周期的振荡。这些响应可以通过给定已知的强制函数（如脉冲函数或单位阶跃函数）从系统中得到。
考虑一个简单的连续时间单输入单输出（siso）系统
其中
系统具有单振型，固有频率omega;n=0.40032Hz，阻尼系数xi;=3.97%。根据状态矩阵A的复特征值对，计算出固有频率和阻尼因子。
上述系统的阶跃响应和脉冲响应如图1所示。如果我们已经不知道模型，那么测量阶跃或脉冲响应可以用来估计模型。
然而，不可能总是得到动力系统的阶跃或脉冲响应。如果系统受到白噪声随机输入的激励，输出如图2所示。
如果我们的目标是通过测量电力系统的参数来获得电力系统的特性，那么我们必须通过测量来实现，这些测量可以最好地近似为白噪声激励下的系统响应。电力系统本质上是一个非线性系统和时变系统。但在短时间（几分钟）内，对于小扰动，系统可以围绕一个给定的工作点线性化，系统可以近似为一个LTI系统。
本文的目的是通过测量电力系统变量来获得系统的特性，这些变量可以被视为白噪声激励下LTI系统的响应。但是在我们研究LTI系统的一些特性之前，我们还必须研究白噪声激励的假设。
4.1白噪声假设的有效性
白噪声是指在给定频带内沿频率轴均匀分布的信号。它统计白噪声信号被映射到一个平均值为零，方差为常量的随机变量[13，14]。任何独立且相同分布（I.I.D）的随机变量都满足白噪声的特性。特别是，所谓的正态分布随机变量，即具有零均值和常方差高斯分布，是白噪声的常见例子。在本文中，白噪声总是被称为高斯白噪声，这里需要注意的是，如果一个随机变量具有非零均值，那么白噪声信号是从一个高斯分布的随机变量中减去其均值得到的。
电力系统负荷可以用大量由二元开关连接的均匀负荷来近似计算。当开关接通时，一个机组负荷接通，当开关断开时，负荷断开。在统计学中，二项分布是n个试验中成功x个数的概率分布[15]。当试验次数n较大，单个试验成功概率p不太接近0或1时，根据中心极限定理，离散二项分布可近似为连续高斯分布。实际上，罗斯[15]指出，二项分布随机变量的正态（高斯）近似对于满足n的值是相当好的。在任何实际的电力系统中都能很好地满足这个条件。Turunne等人报告的结果。[7]也支持这一假设。
从上述讨论中，可以安全地假定，实际上，在给定工作点代表电力系统线性化模型的LTI系统是由不断变化的负载激励的，该负载可以在短时间内近似为白噪声。负荷本身的平均值，因此，电力系统的运行点会随着时间的推移而变化。预计代表负荷随机变化的白噪声方差也会在一段时间内发生变化。然而，这个时间段可以是几十分钟。在几分钟的短时间内，白噪声假设仍然有效。
4.2 LTI系统受激励时的输出
我们已经在[1]中看到了系统在图2中被白噪声激励时的时间响应图。本文对白噪声激励下的LTI系统进行了适当的分析。
如果将[1]中的连续时间LTI系统离散为[7]，则分析变得容易：
其中a d、b d、c d和d分别是从a、b、c和d派生的离散化状态矩阵，离散化时间t[16]：
当采样时间t为0.1秒时，[1]中的样本的离散表示变成
当采样时间t为0.01秒时，样本在[1]中的离散表示变成
从[9]可以看出，离散矩阵中的值取决于所用的采样时间段。
使用[7]的形式，我们现在展示白噪声输入u和对应的输出y之间的关系。可以证明，如果a是稳定的，输入u是零均值和恒方差信号，则输出信号y也将具有零均值，其方差由katayama[17]得出：
其中，协方差矩阵定义为期望值，
这这里mu;u是u的平均值，等于零，可以忽略不计。类似的方程适用于和。还为不同的整数滞后I定义了自协方差矩阵：
这表明x和y的均值为零，协方差矩阵为常数，因此x和y都是平稳过程。这当然受制于a的稳定性，这意味着a的所有特征值都有一个非正实部。对于一个d，这转化为它所有特征值的绝对值小于或等于1的要求。
最后，可以证明，LTI系统的脉冲响应与LTI系统的离散值脉冲响应直接相关，b是具有零滞后的y的协方差，如[13]所示：
4.3响应的一些重要方面随机LTI系统
我们的目标是从随机LTI系统响应的被测信号中识别系统或信号分量。一般来说，电力系统的信号，施加在系统上的激励不在我们的控制范围内，但是，有一些方法应用人工激励，称为探测信号[18，19]。该信号的主要目的是用足够的能量激励系统模式，使其测量变得更容易。在我们的分析中，探测信号对应于白噪声输入U，并且通过额外的探测，信号努力增加方差U COV，以获得Y的更高方差。探测信号的一个重要选择是其带宽。更高带宽的探测信号需要快速变化的装置和可能更高的能量。这里我们比较了[1]的LTI系统在单位方差u激励下的响应，带宽为10pi;和100pi;弧度。输出y如图3所示，从长度为150秒的输出中获得的y的协方差图如图4所示。可以看出，除比例因子外，它与图1所示系统的脉冲响应非常相似，也可以看出，振荡频率捕捉非常准确，而振荡阻尼与实际脉冲响应相比，显示出一些误差。这是因为用于估计协方差矩阵的有限时间段与计算预期值所需的无限时间（如[15]）相反。接下来，我们看到阻尼对白噪声激励的LTI响应的影响。这里我们看到，较低的阻尼转化为较高的y协方差，因此具有较低阻尼的系统将具有较低的信噪比。同时证明了y的协方差只依赖于振动频率对应的特征值实部。因此，只有实部alpha;而不是阻尼因子zeta;控制着信噪比和系统辨识的成功。这一结果在一定程度上对现有文献和传统的阻尼应力的理解更为重要。但是，这里可以看出，即使是阻尼比更高的极低频振荡，其信噪比也将与频率更高、阻尼比更低的信号具有相同的信噪比。如表1所示，情况1和2的协方差几乎相同，即使它们的阻尼比非常不同。这表明，即使阻尼比很高，我们也希望观察到非常低频的振荡。图5和图6显示了对应于案例2和4的响应的输出和协方差图。然而，在使用具有有限滞后的协方差数据时，仍然需要注意。如图5所示，超过20秒的协方差图是非常错误的。这个协方差图是由600秒（10分钟）的模拟时间得出的。超过20秒延迟的精度可以提高，但它需要非常长的持续时间数据，这是不合理的。我们的实验表明，在3600秒（1小时）的数据下，对于长达30秒的延迟，合理的协方差估计精度是可以实现的。此讨论适用于所有实际部分为lambda;的情况，即alpha;等于minus;0.1。如果阻尼较低，即如果0gt;alpha;gt;？0:1，那么即使超过20秒的滞后，协方差也是准确的，如图6所示。
5方法论
假设在环境条件下，电力系统表现为LTI系统是合理的。系统响应可以表示为有限个阻尼正弦信号的和。表示为时间函数
主要目的是从信号y（t）的离散测量样本中识别或估计所有a、alpha;、omega;和f。通常的方法从上一节的结果中得到提示，具有足够滞后的被测信号的协方差与系统的脉冲响应成正比。通过增加测量周期，可以减轻附加测量噪声和有限测量周期产生的固有噪声的影响。
一旦获得了足够精度的自协方差矩阵，就可以将参数曲线拟合的众多方法之一用于估计系统的参数[13]。目前使用的方法有几种，结果几乎相似；这里我们将使用TLS-ESPRIT方法，这是Proakis和Manolakis中最精确的光谱估计方法之一[13]。
采用TLS-ESPRIT [9]算法，从信号y（t）的离散测量样本中估计出所有a、alpha;、omega;和f。
Proakis和Manolakis[13]以及Roy和Kailath[9]提供了TLS-ESPRIT方法的数学细节。本文讨论了
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