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钢的激光表面硬化的PID控制
摘要：我们讨论钢的激光表面硬化的控制策论。目的是实现规定的硬化深度，避免表面熔化。我们的数学模型由与热方程耦合的相体积分数的常微分方程组（ODE）的系统组成。这个系统通过使用半隐含有限元方法求解。为了获得均匀的硬化深度，首先尝试的是使用比例积分微分（PID）控制在表面上的激光束的的热点中实现恒定的温度。然而数值结果证明这是不充分的。我们显示的最好策略是去控制温度接近硬化区的下边界。然后可以计算在光束的热点的最佳温度，并将其作用于实际过程的高温计控制的设定点。
关键词：反馈控制 热传导 热处理 激光材料处理 优化 相变 表面硬化
I引言
在机械工程的大多数结构部件中，表面特别受力。因此，表面硬化的目的是通过快速加热和随后的硬化去提高工件边界层的硬度。这种热处理导致微结构的变化，产生所需的硬化效果。使用的典型实例是各种切削工具，齿轮，驱动轴，仅举几个例子。
根据各自的热源，可以区分几种硬化技术，最重要的是火焰，感应和激光硬化。当工件非常大或者待硬化的表面的部分具有复杂的形状时，后者是特别有吸引力的。
图1描述了激光表面硬化的过程。激光束沿着工件表面移动。吸收的激光能量导致边界层的加热和随后的奥氏体的增长，奥氏体是钢中的高温相。如果工件体积足够大，则在工件自冷却期间奥氏体将完全转变成马氏体，这是一种具有很大硬度特征的钢相。否则，可以生产其他相如铁素体，珠光体和贝氏体，这些相比较多韧性和较少硬度[1]。激光硬化区的典型深度在0.3和1.0mm之间。
图1 激光表面硬化图。
图2 具有恒定能量和速度的激光硬化的效果：靠近工件边
缘（底部）和在工件内部（顶部）的孔上的过热和表面熔化。
图2示出了为什么需要激光表面硬化中的精确过程控制。在底部，可以看到激光硬化的六个轨迹，每个具有不同（但恒定）的激光能量和速度。虽然每个激光迹线的中间部分看起来相当固定，但是可以观察到激光离开表面的边缘周围的迹线增厚。在一些轨道中，这伴随着表面的熔化。为了避免这种过热效应，重要的是当光束接近工件边缘时减少激光能量。 如果工件厚度在激光轨迹下方变化，也会发生同样的情况。图2（顶部）示出了平行于工件表面并垂直于激光轨迹的圆柱孔的效果。在这里，甚至可以观察到表面的爆裂。再次，希望在穿过孔时减小激光能量。
新一代激光热处理设备通常包括用于过程控制的装置。其操作模式如图3所示。通过高温计测量工件表面上的激光束的热点中的温度，同时使用比例积分微分（PID）控制器去调整激光功率以接近期望的设定点温度。如果后者被选择为低于工件的熔化温度，则可以容易地避免没料到的熔化效应如图2所示。
图3 高温计过程控制草图
在第二部分，我们描述了一个用于钢表面硬化的数学模型，包括一个普通微分方程的系统，用于相变的演化与准线性热方程耦合。在第三部分，我们研究了激光功率和移动速度相互影响，最重要的过程参数。我们提出数值模拟的完整非线性系统，并通过比较数值结果与实验确认其有效性。
第四节专门用于激光硬化的PID过程控制。 在这里，我们的目标是双重的。 一方面，我们表明用恒定的设定点温度控制表面温度可能导致不期望的直接硬化，特别是在腔上方的薄材料部分，从而促进疲劳和裂纹形成。另一方面，我们演示如何通过控制地下温度来避免这种影响。显然，这只能使用计算机在数字上可行。 然而，获得最佳激光功率的数值计算也提供了激光束的热点中的最佳温度，其又可以用作于实际硬化机的过程控制的设定点温度。
II数学建模
A.相变
我们的建模方法的基本假设是关于钢中相变演化的所有信息包含在各个钢的等温和非等温时间—温度—转换（TTT）—图表里[1]。因此，我们不试图导出一个模型，每个元素可以给出一个精确的物理意义。相反，我们的目标是开发一个现象学模型和一个参数识别程序，使得转换图可以很好地再现。
接下来，令为一个具有时间导数的温度场。奥氏体，铁素体，珠光体，贝氏体和马氏体的体积分数由，，，和表示。该表达式描述的是的正数部分，即的正数部分。描述单相分数的增长的主要构件是速率定律
（1a）
（1b）
这里，是相z的平衡体积分数，即在固定温度T下可渐近取得体积分数。在这种情况下，，，，和，与正常数c，导致典型的阿夫拉姆柯尔莫哥洛夫动力学
在这种情况下，我们恢复勒布隆和德沃的模型[2]。
图4描绘了激光表面硬化期间的相变。加热导致在边界层中形成高温相奥氏体。在冷却时，通常其最大部分溶解于马氏体。根据工件几何形状，可以形成更少量的其它相铁素体，珠光体和贝氏体。总之，产物相，，和是相对体积分数，分别描述了从加热期间产生的奥氏体部分转变的铁素体，珠光体，贝氏体和马氏体的部分。（1b）的直接推广导致在加热和冷却的一个热处理循环期间的相变的一般模型如下：
（2a）
（2b）
（2c）
（2d）
（2e）
（2f）
方程（2b）描述了使用标准勒布隆和德沃模型的奥氏体增长。平衡分数在低于阈值温度时为零，在高于另一阈值温度时为1。其间，其单调增长。因此，随着温度的升高，当达到温度时，奥氏体的增长开始。在冷却时，由于正数部分函数，式（2b）的右手侧的第一项变为零，并且由于在（2c）—（2f）中表示的其他相的增大，体积分数将减小。
在任意时刻t，可以产生的铁氧体的最大体积分数为，即迄今为止已经产生的量和奥氏体的剩余分数的和。因为这同样适用于其他产物相，我们通过下式定义函数，，和
（3a）
（3b）
（3c）
（3d）
注意，必须对铁素体，珠光体和贝氏体采取严格的正初始条件，以获得（2a）， —（2f）的唯一解。平衡体积分数和可以从相应的等温TTT图导出。 函数描述了根据勒布隆和德沃公式[3]的马氏体体积分数，即
其中和再次可以从相应的TTT图中得出。
图4 激光表面硬化过程中的相变
对于温度相关函数，，，，，，，和，我们从基于等温变换图系统（2）的重复解来导出识别工具。在非等温情况下，转化的开始移动到更晚的时间和更低的温度。这种效应由因素，和描述，并且必须从非等温图中识别。特别地，在等温转变（即）的情况下，这些系数必须满足
在与冶金学家和工业伙伴的跨学科项目中，我们已经确定了与光束表面硬化相关的许多钢的必要模型参数。结果记录在[4]中。
图5示出作为在给定温度下的表面硬化期间（2）的解的相体积分数的演变（从左边的第一曲线）。由于加热，奥氏体开始增长，其被溶解成马氏体和少量的贝氏体。
B.导热
忽略机械效应和采用傅立叶热传导定律，我们考虑不可压缩体的内在能量的如下平衡：
（4）
其中是质量密度，是比内能和是导热率。
图5 典型的温度演变和作为在表面硬化期间
（2）-（3）的体积分数的演变
在空间模型中，必须考虑在相变期间消耗或释放的潜热的传播。简单地说，我们假设所有相变的潜热量相同。我们选择奥氏体体积分数作为内部变量后，在加热期间，奥氏体形成，然后在冷却过程中，其他相以奥氏体为代价形成。式（5）中，我们假设存在一个可微分的材料函数，使内部能量采取形式
（5）
与偏导数
（6）
上式中c表示恒压下的比热并且Lgt;0，潜热。
因此，我们获得以下内部能量平衡：
（7a）
该项描述相变的再生效应。加热时，是正数，因此消耗潜热。在冷却时，产物相以奥氏体为代价增长，因此，是负数，所以潜热被释放。该相在数值模拟中的重要性将在第五节中更详细地讨论。
初始和边界条件是
（7b）
（7c）
上式中是吸收系数，是辐射通量和是T的法向导数。
辐射通量是辐射功率G和归一化辐射分布的乘积，即
（8）
图6 气体激光器（左）和固态激光器（右）的辐射分布
辐射功率G将作为后续的控制变量。速度矢量v（假定常数以简化阐述）描述热源在工件表面上的移动。图6描绘了气体激光器（左）的高斯轮廓和固态激光器的矩形轮廓。较激光束，也可以使用可能具有更复杂的辐射分布的电子束。
由于工件的自冷却是激光表面处理的主要效果，我们忽略通过表面的冷却。 因此，在表面的未被激光接触的部分上，我们从（7c）获得绝热条件
表面硬化的完整数学问题在于找到耦合系统（2），（7）的解。具体的数学困难在于温度的时间导数的非线性。 然而，对于具有类似非线性的数学问题，存在一个独特的解决方案已经被证明[6]。
III 数值模拟
A.控制参数的相互作用
通过选择激光器类型，即气体或固态激光器来确定强度分布的主要形状。剩余的控制参数是移动速度v和激光功率G。为了获得关于速度和功率之间的相互作用的一些信息以实现期望的硬化深度。我们对式（7）进行了一些参数研究。 我们已经限制了半空间的特殊情况，其中热源具有对应于气体激光器的高斯形状（见图6左）并且以恒定速度移动。在这种准静态情况下，明确的解决方案在手边[7]。
图7描绘了对应于具有高斯强度分布且光束直径为3mm的气体激光器的温度曲线，其中功率已被调整以在激光器的热点中获得1500℃的温度。对于静止激光器（顶部），温度等值线围绕激光束的中线对称地居中。对于移动激光器（底部），等值线滞后于激光束的中间线。此外，产生高温相奥氏体的阈值温度，在该示例中为=800℃。在用于激光器静止的距离d=1.35mm时达到，而对于移动激光器仅为d=1.0mm。因此，参数d可以用作对于给定激光速度可以获得的最大硬化深度的上限。注意，只有激光器静止时，表面上的热点的位置和离表面1mm的距离处的激光束的位置与激光束的中心重合。在非完美速度的情况下，它们落后。
图8示出了d如何随着速度增加而减小。调节激光功率，使得温度保持刚好低于熔点。三条曲线对应于三个不同的光束直径D。特别地，可以得出，对于每个期望的硬化深度，其不能超过存在最大速度v。
图7 对应于高斯强度分布的温度分布
顶部：激光器静止 底部：以恒定速度移动
B.几何影响
为了研究几何对硬化剖面的影响，我们对完整的非线性数学模型进行了数值模拟。有关数值算法的详细信息，请参考[1]。我们只想在这提到，为了获得一个稳定的数值方法，在时线性使用隐式离散是不可或缺的。数值内核基于pdelib，一个有限元素EM）和有限体积（FVM）工具箱，在魏尔施特拉斯应用分析和随机学院（WIAS）开发，德国柏林[8]。
已经在引言中提到的工件几何形状对所得到的硬化轮廓的影响再次反映在图9，其中具有平行于表面的孔的板（左）的电子束硬化的数值模拟与相应的实验结果（右）进行比较。可以得出结论，数值结果与实验良好一致。对许多相关钢进行了进一步的模拟和实验，结果记录在[4]中。
图8 硬化深度和移动速度之间的关系
现在，我们考虑一个对应于图9所示情况的二维（2-D）例子。具有恒定能量和速度的激光束沿着矩形工件的上表面从左向右移动。为了观察硬化深度的发展，激光束从距离左边缘5mm的距离开始。在工件的中间存在距离表面2mm的矩形腔（10mmtimes;4mm）。激光速度为v=0.25cm / s，其光束直径为4mm。得到的硬化分布和表面热点温度如图10所示。因为激光束以恒定速度移动，所以的时间坐标对应于硬化轮廓的空间坐标。
图9 几何对硬化剖面的影响。与钢板C45相对应的实验结果（右）
相比，电子硬化模拟平行于表面距离2毫米的板的孔（左）。
最初，温度和硬化深度仅逐渐增加。孔上方和右侧边缘显示过冲，硬化深度增加。在空腔上方，材料完全转变成马氏体。这种贯通硬化是特别不利的，因为它可以促进疲劳和裂纹的成核。
图10 恒定激光功率的结果。顶部：表面上的热点
中的温度。底部：具有黑色硬化轮廓的工件。
IV 温度反馈控制
A.激光表面硬化的PID控制
1）算法：令为工件和给定的空间曲线。假设我们可以测量沿着曲线所有
时间，我们的目标是使用PID控制器来近似所需的设定点温度。 我们定义设定点温度和实际温度之间的差值为
并使用激光能量G[见（8）]作为控制参数。介绍时间离散化
我们可以通过下式制定PID光束硬化控制的算法：
（9b）
（9b）
（9b）右边的三个项对应于PID控制器的比例，积分和微分部分。确定常数，和的最佳值，并在第IV-C节中解释。注意，当将该算法与状态方程的数值近似相耦合时，（9b）中的积分和微分必须由相应的离散对应物代替。
2）表面控制：如第一节所述，激光硬化中的过程控制的标准方法是测量激光束的热点中的表面温度，并将其调节到通常选择为恒定和低于熔化的温度（见图3）。为此，我们定义这里， <!--
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