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关于分数PI控制器：一些不稳定设备的鲁棒性调整规则。
C. A. Monje (cmonje@unex.es)埃斯特雷马杜拉大学，西班牙
Blas M. Vinagre (bvinagre@unex.es)
埃斯特雷马杜拉大学，西班牙
Yang Quan Chen (yqchen@ece.usu.edu)
犹他州立大学,美国
Vicente Feliu (vicente.feliu@uclm.es)
卡斯提亚-拉曼彻大学,西班牙
摘要：这项工作的目的是找出一个分数PI控制器的最优设置，以满足补偿系统设计的三个不同鲁棒性规范，利用分数阶lambda;。 由于这种分数控制器的参数比传统的P I控制器多一个参数，因此可以实现更多规格，从而提高系统的性能，并使其对设备不确定性（例如增益和时间常数的变化）更具鲁棒性。为了调节控制器，已经基于非线性参数最小化例程使用迭代优化方法。 给出了两个实际的应用实例，并给出了仿真结果来说明这种非常规控制器的有效性。
关键词: 分数微分器，分数阶动态系统，比例积分（PI）控制器，PID，控制器调节。
1.绪论
迄今为止，PID控制器是迄今为止最主要的反馈形式。 由于其功能简单和性能稳定，比例积分微分控制器已广泛用于过程工业。 自从1942年齐格勒和尼科尔斯提出他们的方法以来，PID控制器的设计和调整一直是一个很大的研究领域（见[1]）。 自那时以来，PID控制器的规格，稳定性，设计，应用和性能得到了广泛的处理（参见[2]和[3]以获取更多参考资料）。
另一方面，近年来，我们发现越来越多的研究与分数控制器在许多科学和工程领域的应用有关。 这一事实是由于更好地理解许多现象（例如粘弹性和阻尼，混沌，扩散和波传播，渗流和不可逆性）所揭示的分数微积分（F C）电位。
关于自动控制理论，FC概念适用于基于频率的方法。Manabe（见[4]）和最近的[5]介绍了非整数积分（实际上是Bode的理想传递函数）的频率响应和瞬态响应及其在控制系统中的应用。Oustaloup（见[6]）研究了控制动态系统的分数阶算法，并证明了CRONE（Commande Robuste dOrdre Non Entier）方法优于PID控制器的优越性能。最近，Podlubny（见[7]）提出了PID控制器的泛化，即控制器，涉及到阶数为lambda;的积分器和阶数为mu;的微分器。与经典的PID控制器相比，他还表现出了这种类型的控制器的更好的响应，当用于控制分数阶系统时。 [8]中也研究了使用分数PID控制器的频域方法。
正在开展进一步的研究活动，以便为分数控制器开发新的调整规则，先前研究了微分和整数部分的非整数阶的影响，以设计一个更有效的控制器，以用于实际模型（参见[9]和[10]）。 其中一些技术是基于经典PID控制理论的扩展。在这方面，文献[11]将推导和积分阶次从整数扩展到非整数提供了一种更灵活的调整策略，因此相对于经典控制器更容易实现控制要求。在文献[12]中，使用差分进化算法设计了基于指定增益裕度和相位裕度以及最小ISE准则的最优分数阶PID控制器。
在[13]中已经开发了更广泛的工作，其中部分PID控制被应用于主动减少垂直尾部抖振。在这项工作中，PID算法对于阻尼的线性描述是足够的，例如在传统的金属航空航天结构中，其中阻尼被建模为与速度成线性比例。然而，对于表现出粘弹性行为和/或非线性强迫函数（例如抖振）的非线性阻尼结构，使用PID算法的控制系统的设计不准确，并且是用于模拟和控制这些非需要线性阻尼情况。如上所述，分数阶微积分已被证明是建模和控制粘弹性阻尼结构的非常有力的工具。
分数阶控制策略也已成功应用于功率电子降压转换器的控制（参见[14]，[15]，[16]和[17]），更具体地说是分数滑动模式控制。控制策略基于使用具有史密斯预测器结构的分数阶控制器，并且Bode的理想传递函数已被用作参考系统。
另一种方法是使用一种新的控制策略来控制具有延迟的一阶系统（参见[18]），该控制策略基于具有分数阶积分和微分部分的控制器。此外，正在开发另一种基于使用具有阶数alpha;的分数整数部分的P控制器的死区时间较长的方法（参见[19]和[20]）。从得到的结果中可以得出结论，用这种类型的控制器控制的系统更加稳健以获得改变。
在这项工作中，研究了设计一个非整数形式控制器的问题：
(1)
这种控制器的兴趣由更好的灵活性来证明是合理的，因为它展示了阶数lambda;的分数整数部分。因此，在这个结构中可以调节三个参数（，和lambda;），即比常规P I控制器（lambda;= 1）更多的参数。我们可以利用分数阶lambda;来满足额外的设计规范，并使系统更稳健，以便处理增益和时间常数变化等不确定因素。
本文的结构如下。第2部分提出了不同的设计规范，以使系统分别更加稳健地获得更改和时间常数更改。在这两种情况下都使用这个分数控制器来补偿问题。在第3节中，用于调整分数控制器的优化方法进行了评论，很快就描述了非线性最小化的问题。在第4节中提出了两个应用实例，将这种控制器应用于两种实际情况：开放式灌溉渠的模型和甘蔗原汁中和过程中的pH动态模型。最后，第5节引用了一些结论性意见。
2.鲁棒性设计规格
在本节中，几个有意义的设计规范被指出要通过分数补偿系统来满足，以便更稳健地获得变化和时间常数的变化。
2.1可靠的增益变化：
让我们谈论三个有趣的规格来增强设备增益的稳定性：
-增益和相位裕度一直是衡量稳健性的重要指标。从经典控制中可知，相位裕度与系统的阻尼有关，因此也可以作为性能测量（见[21]）。这样，系统的稳定性就考虑了相位裕度（）和相位交叉频率（）规格。因此，必须满足以下条件：
Arg(F(j))=Arg(C(j)G(j))=-pi; (2) ==0dB (3)
其中F(s)是系统的开环传递函数。
-稳定的设备增益变化。在这方面，必须满足下例约束（见[2]和[20]）：
=0 (4)
在这种情况下，相位必须在处保持平坦，因此在附近的区间内几乎保持恒定。这意味着该系统对于获得更改更加稳健，并且在该区间内响应的过冲几乎是恒定的。
为了满足这三个规范（2,3,4），必须解决一组三个非线性方程和三个未知变量（，，lambda;），因为分数控制器有三个参数可调。 这组非线性方程组的复杂性非常显着，尤其是当引入拉普拉斯变量s的分数阶时。
所提出的优化方法处理这类问题，求解上述方程组并获得分数控制器的最佳设置。 这个方法将在第三节中解释。
由于阶数k lambda;，kisin;N，0 lt;lambda;lt;1的分数积分器适用于稳定状态，所以仅通过引入分数积分器即可满足没有稳态误差的条件，而没有任何其他要求，状态错误消除与k 1阶整数阶积分器一样有效（见[22]）。
2.2控制器对时间常数变化的鲁棒性
出于时间常数变化的稳定性目的，增益和相位裕度已被视为以前谈论原因的主要指标。因此，在这种情况下满足的规格是等式（2）和（3）中的规格，参考相位裕度（）和相位交叉频率（）规格，以及涉及增益裕度（）的规格是：
Arg(F(j))=Arg(C(j)G(j))=-pi; (5)
增益裕度（）与增益交叉频率（）之间存在以下关系：
== (6)
因此，必须通过使用前面提出的优化方法来求解一组具有四个未知变量（，，lambda;，）的四个非线性方程（2,3,5,6）。另外，没有稳态误差的情况已经通过引入分数积分器来实现。
3.非线性最小化问题
本文讨论了通过使用等式(1)中的形式的分数控制器补偿一般系统G(s)的问题，以便满足上述设计规范。
这样，必须解决一组非线性方程。这种系统的解决方案并不是一个微不足道的问题。 因此Matlab的优化工具箱已经被用来以最小的误差达到更好的解决方案。用于此目的的函数称为FMINCON，它可以找到几个变量函数的受限最小值。 它解决了F(X)形式的问题：C(X)= 0， (X)= 0，LB = X = UB，其中F是最小化的函数; C和分别表示非线性不等式和等式(非线性约束); X是我们正在寻找的最低要求; LB和LU定义了设计变量X的一组下限和上限。
在我们的例子中，要根据所需的规格求解一组三个或四个非线性方程，已经考虑了函数FMINCON的以下参数：
[参数，错误]=
=FMINCON(lsquo;main_funrsquo;,init_cond,[],[],[],[],lb,ub,rsquo;constraint_funrsquo;,options)
其中:
- main_fun是与等式(3)中的大小规格相对应的函数，即我们想要最小化的函数。
- init_cond 是控制器参数的初始条件集合。
- lb 是控制器（参数）参数的下限集合。
- ub 是控制器（参数）参数上限的集合。
- constraint_fun 是（2），（4）中的规格所对应的函数所对应的函数，对增益变化具有鲁棒性的情况以及（2），（5）和（6）中的规格，对于情况、时间常数变化的鲁棒性。
- options 是定义优化参数的结构，例如允许的功能评估的最大数目，功能main_fun值的最大限度，违反函数constraint fun中定义的约束的最大限度，以及其他。
- parameters 是最小化功能main_fun的控制器参数集。事实上，我们正在寻找解决方案。
- error 是解决方案参数中目标函数main_fun的值。
因此，等式（3）中的规格被认为是最小化的主要功能，其余规格被认为是最小化的约束，所有这些规格都受到在options中定义的优化参数。
4.应用实例
本节展示了使用分数控制器补偿具有时间延迟的二阶装置和具有时间延迟的一阶装置的结果。这两个模型对应于两个实际工厂，这些工厂将在下一小节详细介绍。
4.1开放式灌溉渠的补偿
要控制的真实单通道池的动态行为可以用具有时间延迟的二阶传递函数来表示：
= (7)
其中是静态增益;，是时间常数; 是时间延迟。 在这个实际的装置中，= 1.25， = 300s， = 60s和= 600s（见[23]）。
补偿系统所需的设计规格如下：
-相位交叉频率:= 0.0011rad / sec。
-相位裕度:= 1.31radasymp;75°度。
-增益裕度: = 2.4。
对于这些设计规范，通过应用所提出的优化方法获得的分数参数是= 0.1435， = 10.5269，lambda;= 0.5883和= 0.0027。因此，分数控制器将由下式给出：
(8)
尽管最终值定理表明，如果lambda;gt; 0，分数控制器表现为零稳态误差，但lambda;lt;1的事实使得输出比整数控制器更慢地收敛到其最终值。 为了避免这个问题，分数积分器必须实现为=，从而确保整数积分器1 / s的效果。 在这个特定的应用实例中，小数部分已通过分数微分器的Oustaloup连续近似实现（参见[24]）。
图1显示了用分数控制器获得的补偿系统的波特图。
正如可以观察到的那样，满足频率规格，即在频率= 0.0011rad / sec时的相位裕度=1.31radasymp;75o，在频率= 0.0027rad / sec时的增益裕度 = 2.4。
现在我们将显示和比较使用传统的PID控制器，分数阶控制器（见[23]）和这个分数控制器补偿上述开放式灌溉渠道时获得的阶跃响应。
图1.使用控制器的补偿系统的波特图
-满足给定规格的传统PID控制器是= 0.5511 80.1334s 。
-补偿该系统的分数控制器是= 0.0089 。
-分数控制器是方程（8）中提出的。
图2示出了考虑时间常数在[6sec，10000sec]范围内的使用传统控制器的补偿系统的动态行为。
图3显示了使用分数控制器的补偿系统的动态行为，考虑到时间常数的递减值。 该行为在同一幅图中与使用所提出的分数控制器获得的行为进行比较。
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